Kì thi khảo sát chất lượng trước tuyển sinh năm 2015 môn thi: Toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GD và ĐẠO TẠO THANH HểA  Kè THI KSCL TRƯỚC TUYỂN SINH  NĂM 2015 
TRƯỜNG THPT ĐễNG SƠN 1  Mụn Thi: TOÁN 
Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) 
Cõu 1 (4,0 điểm). Cho hàm số  m m x m mx x y - + - + + - =  3 2 2 3  ) 1 ( 3 3  (1) 
a)  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
b) Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú hai điểm cực trị nằm về cựng một phớa của đường thẳng  1 = y 
(khụng nằm trờn đường thẳng). 
Cõu 2 (2,0 điểm). 
a) Giải phương trỡnh  2 ) 10 ( log log  4 4 = - +  x x  . 
b) Giải phương trỡnh  0 ) cos )(sin cos 2 1 ( 2 cos = - + +  x x x x 
Cõu 3 (2,0 điểm). 
a) Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  ) 1 (  2 - - =  x x e y  x  trờn đoạn [0;2]. 
b) Tớnh giới hạn 
) 1 ln( 
1 2 
lim 
sin 
0  x 
x 
L 
x 
x + 
+ - 
= 
đ 
. 
Cõu 4 (2,0 điểm). 
a)  Cho n là số tự nhiờn thỏa món  326 3 2  2  2 
2 = + + n n  A C  . Tỡm hệ số của 
6 x  trong khai triển nhị thức 
Niutơn của  0 , 
3 
2  2 > ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ -  x 
x 
x 
n 
. 
b) Cú 40 tấm thẻ được đỏnh số từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiờn ra 10 tấm thẻ. Tớnh xỏc suất để trong 
10 tấm thẻ được chọn ra cú 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đú chỉ cú đỳng một 
tấm thẻ mang số chia hết cho 10. 
Cõu  5  (2,0  điểm).  Trong  khụng  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz,  cho  tam  giỏc  ABC  với  ) 2 ; 1 ; 1 ( - A  , 
B(ư1; 1; 3), C(0; 2; 1). Tớnh diện tớch tam giỏc ABC và tỡm tọa độ chõn đường cao kẻ từ A của tam 
giỏc ABC. 
Cõu 6 (2,0 điểm). Cho hỡnh chúp  ABC S.  cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, mặt bờn SAB là tam 
giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), gọi M  là điểm thuộc cạnh SC 
sao cho  SM MC  2 =  . Biết  AB a =  ,  3 BC a =  . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC và khoảng cỏch 
giữa hai đường thẳng AC và BM. 
Cõu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn  (T) 
cú phương trỡnh  25 ) 2 ( ) 1 (  2 2 = - + -  y x  . Cỏc điểm K(ư1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chõn đường cao hạ 
từ A, B của  tam giỏc ABC. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC biết rằng đỉnh C  cú hoành độ 
dương. 
Cõu 8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
+ + + = + + - 
+ - = + + 
y xy x x y y 
x y y x 
3 1 2 1 
7 3 3 
2 2 
2 2 
Cõu 9 (2,0 điểm).  Cho  z y x  , ,  là cỏc số thực thỏa món  9 2 2 2 = + +  z y x  ,  0 Ê xyz  . Chứng minh rằng 
10 ) ( 2 Ê - + +  xyz z y x  . 
ưưưưưưưưưưưưưưưư***Hết***ưưưưưưưưưưưưưưưư 
Họ và tờn thớ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     Số bỏo danh:. . . . . . . . . . . .  . . . . . . . 
Cảm ơn thầy Đào Trọng Xuõn ( trongxuanht@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT ĐễNG SƠN I  Kè THI KSCL TRƯỚC TUYỂN SINH NĂM 2015(LẦN 1) 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM MễN TOÁN 
Cõu  Nội dung  Điểm 
1a  Khảo sỏt hàm số và vẽ đồ thị hàm số...  2,00 
Khi m = 1, ta cú hàm số  2 3  3x x y + - = 
1) Tập xỏc định :  D = R . 
2) Sự biến thiờn: 
* Giới hạn : -Ơ = + - = +Ơ = + - = 
+Ơ đ +Ơ đ -Ơ đ -Ơ đ 
) 3 ( lim lim , ) 3 ( lim lim  2 3 2 3  x x y x x y 
x x x x 
0,5 
* Đạo hàm  y’= ư 3x 2 + 6x , y’ = 0 Û x = 0, x = 2. 
* Bảng biến thiờn: 
x  ưƠ  0  2                     +Ơ 
y'  ư  0  +            0  ư 
y 
+Ơ  4 
0  ưƠ 
0,5 
ư Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng (ưƠ ; 0) và (2; +Ơ ), đồng biến trờn khoảng (0; 2) 
ư Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 0, yCT =0. 
0,5 
3. Đồ thị:  Đồ thị giao với trục tung tại 
O(0; 0), giao với trục hoành tại O(0; 0); 
A(3;  0),  nhận  điểm  uốn  I(1;2)  làm  tõm  đối 
xứng 
* Điểm uốn: y’’ = ư 6x + 6 , y’’ = 0 Û x =1 
Đồ thị hàm số cú 1 điểm uốn I(1;2) 
0,5 
1b  Tỡm m để đồ thị cú 2 cực trị ...  2,00 
) 1 ( 3 6 3 '  2 2  m mx x y - + + - =  0,25 
0 ) 1 ( 3 6 3 0 '  2 2 = - + + - Û =  m mx x y  ,  ' y  cú  0 9 ) 1 ( 9 9 '  2 2 > = - + = D  m m 
Suy ra  ' y  luụn cú hai nghiệm phõn biệt  1 1 - = m x  ,  1 2 + = m x 
0,5 
Khi đú hàm số cú hai cực trị là  ) 1 ( 2 ) (  1 1 - = =  m x y y  ,  ) 1 ( 2 ) (  2 2 + = =  m x y y  0,5 
Theo bài ra ta cú  1 2 
3 1 
( 1)( 1) 0 (2 3)(2 1) 0 ,
2 2 
y y m m m m - - > Û - + > Û > < -  0,5 
Vậy ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ +Ơ ẩ ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - Ơ - ẻ  ;
2 
3 
2 
1 
; m  .  0,25 
2a  Giải phương trỡnh logarit...  1,00 
Điều kiện:  10 0 < < x  .Ta cú  2 ) 10 ( log 2 ) 10 ( log log  2 4 4 4 = - Û = - +  x x x x  0,5 
2 , 8 16 10  2 = = Û = - Û  x x x x  .  Vậy phương trỡnh cú nghiệm  2 x =  ,  8 = x  0,5 
2b  Giải phương trỡnh lượng giỏc...  1,00 
( )  0 ) 1 sin (cos cos sin 0 ) cos )(sin cos 2 1 ( 2 cos = + - - Û = - + +  x x x x x x x x  0,25 
ờ 
ờ 
ờ 
ờ 
ở 
ộ 
+ = + = 
+ = 
Û 
ờ 
ờ 
ờ 
ờ 
ở 
ộ 
= ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - 
= ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - 
Û ờ 
ở 
ộ 
= + - 
= - 
Û 
p p p p 
p p 
p 
p 
2 , 2 
2 
4 
1 
4 
sin 2 
0 
4 
sin 2 
0 1 sin cos 
0 cos sin 
k x k x 
k x 
x 
x 
x x 
x x 
0,5 
x 
y 
3 2 O 
4 
2 
1 
A
Vậy phương trình đ∙ cho có nghiệm: 
( ) , 2 , 2 
4 2 
x k x k x k k p p p p p p = + = + = + ẻZ  0,25 
3a  Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất.....  1,00 
Ta cú:  ) 2 ( '  2 - + =  x x e y  x  nờn  2 ; 1 0 ) 2 ( 0 '  2 - = = Û = - + Û =  x x x x e y  x [ ] 2 ; 0 ẽ  0,5 
1 ) 0 ( - = y  ,  e y - = ) 1 (  ,  2 ) 2 (  e y =  . Từ đú ta cú  , ) 2 ( max  2 
] 2 ; 0 [ 
e y y = =  e y y - = =  ) 1 ( min 
] 2 ; 0 [ 
.  0,5 
3b  Tớnh giới hạn...  1,00 
x 
x 
x 
x 
x L 
x 
x  ) 1 ln( 
1 1 1 2 
lim 
sin 
0 + 
- + 
- 
- 
= 
đ 
. Ta cú  2 ln 2 ln . 
sin 
.
2 ln ) (sin 
1 
lim 
1 2 
lim 
2 ln ) (sin 
0 
sin 
0 
= ỳ 
ỷ 
ự 
ờ 
ở 
ộ - 
= 
- 
đ đ  x 
x 
x 
e 
x 
x 
x 
x 
x 
0,5 
2 
1 
1 1 
1 
lim 
) 1 1 ( 
1 1 
lim 
1 1 
lim 
0 0 0 
= 
+ + 
= 
+ + 
- + 
= 
- + 
đ đ đ  x x x 
x 
x 
x 
x x x 
, 
0 
ln(1 ) 
lim 1. 
x 
x 
x đ 
+ 
=  Nờn 
2 
1 
2 ln - = L  0,5 
4a  Tớnh hệ số trong khai triển...  1,00 
326 ) 1 )( 2 ( 3 ) 1 ( 326 3 2  2  2 
2 = + + + - Û = + +  n n n n A C  n n  0,25 
0 80 2 2 = - + Û  n n  10 , 8 - = = Û  n n  (loại).  0,25 
Ta cú khai triển ồ ồ 
= 
- 
- 
= 
- - = ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - = ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - 
8 
0 
2 
5 32 
8 
8 
8 
0 
8 2 
8 
8 
2  . ) 3 .( 2 
3 
) 2 ( 
3 
2 
k 
k 
k k k 
k 
k 
k k  x C 
x 
x C 
x 
x  0,25 
Số hạng chứa  6 x  ứng với k thỏa món  4 6 
2 
5 32 
= Û = 
- 
k 
k 
Vậy hệ số của  6 x  là  90720 ) 3 .( 2 .  4 4 4 8 = - C 
0,25 
4b  Tớnh xỏc suất...  1,00 
Số phần tử của khụng gian mẫu là  1040 C = W  0,25 
Cú 20 tấm thẻ mang số lẻ, 4 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, 16 tấm thẻ mang số chẵn 
và khụng chia hết cho 10.  0,25 
Gọi A là biến cố đó cho, suy ra  1 4 
4 
16 
5 
20 .  C C C A = W  0,25 
Vậy xỏc suất của biến cố A là 
12617 
1680 . 
) (  10
40 
1 
4 
4 
16 
5 
20 = = 
W 
W 
= 
C 
C C C 
A P  A  0,25 
5  Tớnh diện tớch, tỡm tọa độ điểm.........  2,00 
) 1 ; 2 ; 2 (- = AB  ,  ) 1 ; 3 ; 1 ( - - = AC  ) 4 ; 3 ; 5 ( ] , [ - - - = ị  AC AB  0,5 
Diện tớch tam giỏc ABC : 
2 
2 5 
4 3 5 
2 
1 
] , [
2 
1  2 2 2 = + + = =  AC AB S ABC  0,5 
Gọi  ) ; ; (  c b a H  là chõn đường cao của tam giỏc kẻ từ A. 
Ta cú 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
- = 
+ = 
+ - = 
Û 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
- = - 
- = - 
+ = + 
ị = 
k c 
k b 
k a 
k c 
k b 
k a 
BC k BH 
2 3 
1 
1 
) 3 1 ( 3 
) 1 2 ( 1 
) 1 0 ( 1 
) 2 1 ; 2 ; 2 (  k k k AH - + - = ị  0,5 
Do  BC AH ^  nờn 
3 
1 
0 ) 2 1 ( 2 2 2 0 . = Û = - - + + - Û =  k k k k BC AH  .  Vậy ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - 
3 
7
;
3 
4
;
3 
2 
H  0,5 
6  Tớnh thể tớch, khoảng cỏch...  2,00 
Gọi H là trung điểm của AB  AB SH ^ ị  .Do  ) ( ) (  ABC SAB ^  nờn  ) (ABC SH ^  0,25 
Do SAB là tam giỏc đều cạnh a nờn 
2 
3 a 
SH =  .  2 2 2  a AB BC AC = - =  0,5 
Thể tớch khối chúp S.ABC là 
12 
6 
. . 
6 
1 
. 
3 
1  3 
. 
a 
AC AB SH S SH V  ABC ABC S = = =  0,25
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N  ) //( //  BMN AC MN AC ị ị 
Ta cú  ) (SAB AC AB AC ^ ị ^  mà  ) ( ) ( ) ( //  BMN SAB SAB MN AC MN ^ ị ^ ị  0,25 
Từ A kẻ  ( ) AK BN K BN ^ ẻ 
( ) AK BMN ị ^ 
( , ( )) ( , ) AK d A BMN d AC BM ị = = 
0,25 
Do 
2 2 
3 3 
MC AN 
SC SA 
= ị = 
2 2 2 2 3 3 
3 3 4 6 ABN SAB 
a a 
S S ị = = = 
0,25 
2 
2 2 2 0  7 2 . cos60 
9 
a 
BN AN AB AN AB = + - = 
7
3 
a 
BN ị =  , 
2  21 
7 
= = ABN 
S  a 
AK 
BN 
. 
Vậy 
21 
( , ) 
7 
= 
a 
d AC BM 
0,25 
7  Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc...  2,00 
(T) cú tõm  ) 2 ; 1 ( I  . Gọi Cx là tiếp tuyến của (T) tại 
C. Ta cú ã ã  1 
2 
HCx ABC = =  Sđ ằ AC (1)  0,25 
Do ã ã  0 90 AHB AKB = =  nờn AHKB là tứ giỏc nội 
tiếp ị ã ã ABC KHC =  (cựng bự với gúc ã AHK ) (2) 
Từ (1) và (2) ta cú  ã ã  // HCx KHC HK Cx = ị  . 
Mà  HK IC Cx IC ^ ị ^  . 
0,25 
Do đú IC cú vectơ phỏp tuyến là  ) 4 ; 3 ( = KH  , IC 
cú phương trỡnh  0 11 4 3 = - +  y x 
0,25 
Do C là giao của IC và (T) nờn tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 
ợ 
ớ 
ỡ 
= - + - 
= - + 
25 ) 2 ( ) 1 ( 
0 11 4 3 
2 2  y x 
y x 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
- = 
ợ 
ớ 
ỡ 
- = 
= 
ị 
5 
3 
; 
1 
5 
y 
x 
y 
x 
. Do  0 > C x  nờn  ) 1 ; 5 ( - C 
0,25 
Đường thẳng AC đi qua C và cú vectơ chỉ phương  là  ) 6 ; 3 (- = CH  nờn AC cú phương 
trỡnh  0 9 2 = - + y x  . 
0,25 
Do A là giao của AC và (T) nờn tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
ợ 
ớ 
ỡ 
= - + - 
= - + 
25 ) 2 ( ) 1 ( 
0 9 2 
2 2  y x 
y x 
ợ 
ớ 
ỡ 
- = 
= 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
= 
ị 
1 
5 
; 
7 
1 
y 
x 
y 
x 
(loại). Do đú  ) 7 ; 1 ( A  0,25 
Đường thẳng BC đi qua C và cú vectơ chỉ phương  là  ) 2 ; 6 (- = CK  nờn BC cú phương 
trỡnh  0 2 3 = - +  y x  . 
0,25 
Do B là giao của BC và (T) nờn tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
ợ 
ớ 
ỡ 
= - + - 
= - + 
25 ) 2 ( ) 1 ( 
0 2 3 
2 2  y x 
y x 
ợ 
ớ 
ỡ 
- = 
= 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
- = 
ị 
1 
5 
, 
2 
4 
y 
x 
y 
x 
(loại). Do đú  ) 2 ; 4 (- B 
Vậy  ) 7 ; 1 ( A  ;  ) 2 ; 4 (- B  ;  ) 1 ; 5 ( - C  . 
0,25 
8  Giải hệ phương trỡnh...  2,00 
A 
B  C 
H 
K 
I 
x 
S 
M 
C 
N 
A 
H 
B 
K
Ta cú hệ phương trỡnh 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
+ + + = + + - 
+ - = + + 
) 2 ( 3 1 2 1 
) 1 ( 7 3 3 
2 2 
2 2 
y xy x x y y 
x y y x 
Điều kiện:  x y x y  3 , 0 , 1  2 ³ ³ ³  . 
0 ) ( ) 1 2 ( 1 ) 2 (  2 2 2 = - - + - + - + - - Û  y xy y x y y x y 
0,25 
0 ) 1 ( ) 1 ( 
1 
1  2 2 = - - + - - + 
+ - 
- - 
Û  x y y x y 
x y 
x y 
0 1 2 
1 
1 
) 1 ( = ữ 
ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ỗ 
ố 
ổ 
+ - + 
+ - 
- - Û  x y 
x y 
x y 
1 + = Û  x y ữ 
ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ỗ 
ố 
ổ 
³ " ³ " > + - + 
+ - 
0 , 1 , 0 1 2 
1 
1 
Do  x y x y 
x y 
0,5 
+) Thế y vào (1) ta được  3 7 1 1  2 2 - = + - - + +  x x x x  (3) 
Xột  1 1 ) (  2 2 + - - + + =  x x x x x f  , 
3 ) 1 2 ( 
1 2 
3 ) 1 2 ( 
1 2 
1 2 
1 2 
1 2 
1 2 
) ( ' 
2 2 2 2 + - 
- 
- 
+ + 
+ 
= 
+ - 
- 
- 
+ + 
+ 
= 
x 
x 
x 
x 
x x 
x 
x x 
x 
x f 
0,5 
Xột 
2 2 3 
3 
( ) , '( ) 0, 
3 ( 3) 
= = > " ẻ 
+ + 
R t g t g t t 
t t 
suy ra g(t) đồng biến trờn R 
Do  1 2 1 2 - > +  x x  nờn  ) 1 2 ( ) 1 2 ( - > +  x g x g  suy ra 
'( ) (2 1) (2 1) 0, f x g x g x x = + - - > " ẻR . 
0,5 
Do đú  ) (x f  đồng biến trờn R , nờn  3 2 ) 2 ( ) ( ) 3 ( = ị = Û = Û  y x f x f 
Vậy hệ đó cho cú nghiệm  ) 3 ; 2 ( ) ; ( = y x  0,25 
9  Chứng minh bất đẳng thức...  2,00 
Giả sử  z y x Ê Ê  , do  0 Ê xyz  nờn  0 Ê x  . 
Do  2 2 2 2 9 9 [ 3;0]. x y z x x + + = ị Ê ị ẻ -  Ta cú 
2 2 
2 2 2  z y z y 
yz 
+ 
Ê ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ + Ê  , do đú 
0,25 
2 
. ) ( 2 2 2 ) ( 2 
2 2 
2 2  z y x z y x xyz z y x 
+ 
- + + Ê - + + 
) 9 ( 2 2 
2 
5 
2 2 
) 9 ( 
) 9 ( 2 2 2  2 
3 2 
2  x 
x x x x 
x x - + - = 
- 
- - + = 
0,5 
Xột  ) 9 ( 2 2 
2 
5 
2 
) (  2 
3 
x 
x x 
x f - + - =  với  x  ] 0 ; 3 [- ẻ 
2 
2 
9 
2 2 
2 
5 
2 
3 
) ( ' 
x 
x 
x x f 
- 
- - = ị 
x x x 
x 
x 
x x f  2 4 ) 3 5 ( 9 0 
9 
2 2 
2 
5 
2 
3 
0 ) ( '  2 2 
2 
2 - = - - Û = 
- 
- - Û = 
2 2 2 2  32 ) 3 5 )( 9 (  x x x = - - Û  (Điều kiện  0 3 5  2 ³ -  x  ) 
3 
25 
, 3 , 1 0 225 327 111 9  2 2 2 2 4 6 = = = Û = - + - Û  x x x x x x 
Do 
3 
5 2 Ê x  nờn  1 , 1 1 2 = - = Û =  x x x  (loại). 
0,5 
2 6 ) 0 ( , 10 ) 1 ( , 6 ) 3 ( = = - - = -  f f f  suy ra  10 ) 1 ( ) ( max 
] 0 ; 3 [ 
= - = 
- 
f x f  0,25
Như vậy  10 ) ( ) ( 2 Ê Ê - + +  x f xyz z y x 
Dấu bằng xảy ra khi 
2 2 
1 
1 
2 
2( ) 4 
ỡ = - 
ù = - ỡ ù = Û ớ ớ = = ợ ù 
+ = + = ù ợ 
x 
x 
y z 
y z 
y z y z 
Vậy  10 ) ( 2 Ê - + +  xyz z y x  . Đẳng thức xảy ra khi (x; y; z) là một hoỏn vị của (ư1; 2; 2) 
0,5 
ưưưưưưưưưưưưưưưư***Hết***ưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Đào Trọng Xuõn ( trongxuanht@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl