Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 đề thi môn: Toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1 (2,0 điểm). 
Cho biểu thức: 4 1 2 5: 1
4 2 2
   + +
= + −   
−
− +   
x xA
x x x
. 
a) Rút gọn biểu thức A. 
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
Câu 2 (2,0 điểm). 
a) Giải phương trình: 2( 1)( 2)( 6)( 3) 45+ − + − =x x x x x . 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( );x y thỏa mãn: ( )2 1 4 1yx x x+ + = − . 
Câu 3 (1,0 điểm). 
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 1+ =x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2= − + + + −H x y xy x y . 
Câu 4 (3,0 điểm). 
Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kì thuộc đoạn AB sao cho 30
4
AC AB< < ; 
tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt sao cho 3.= =CE CA
CB CD
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm 
thứ hai H (H không trùng với C). 
a) Chứng minh rằng 
 
ADC EBC= và ba điểm , ,A H E thẳng hàng 
b) Xác định vị trí của C để HC AD⊥ . 
c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố 
định. 
Câu 5 (1,0 điểm). 
Cho ba số thực không âm , ,x y z thỏa mãn 2+ + =x y z . Chứng minh rằng: 
2 (2 )(2 )(2 )+ + ≥ − − −x y z x y z . 
Câu 6 (1,0 điểm). 
Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và 
không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi 
qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường 
tròn. 
-----------Hết----------- 
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.. Số báo danh:... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
1 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 
( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) 
I) Hướng dẫn chung: 
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài 
không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như 
thang điểm quy định. 
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm 
sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo. 
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. 
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. 
II) Đáp án và thang điểm: 
Câu Ý Nội dung trình bày 
1 
Cho biểu thức: 4 1 2 5: 1
4 2 2
   + +
= + −   
−
− +   
x xA
x x x
. 
a) Rút gọn biểu thức A. 
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
 a 
Điều kiện: 
0
0
4 0
4
2 51 0
2
x
x
x
x
x
x

 ≥ ≥
− ≠ ⇔ 
≠
+
− ≠
 +
Ta có: 
( ) ( )2 3 3
:
4 2
x x
A
x x
+ − +
=
− +
2
2
A
x
⇔ =
−
b Để ,x A∈ℤ thì 2 x− là ước của 2. Suy ra 2 x− nhận các giá trị 1; 2± ± . 
2 1 1x x− = ⇔ = , khi đó 2A = 
2 1 9x x− = − ⇔ = , khi đó 2A = − 
2 2 0x x− = ⇔ = , khi đó 1A = 
2 2 16x x− = − ⇔ = , khi đó 1A = − 
Vậy x nhận giá trị là: 0; 1; 9; 16. 
2 
2 
 a) Giải phương trình: 2( 1)( 2)( 6)( 3) 45+ − + − =x x x x x . 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( );x y thỏa mãn: ( )2 1 4 1yx x x+ + = − . 
 a Phương trình tương đương: 2 2 2( 7 6)( 5 6) 45x x x x x+ + − + = 
Nhận thấy 0x = không là nghiệm của phương trình. 
Phương trình đã cho tương đương: 6 65 7 45x x
x x
  
+ − + + =  
  
Đặt 
6 1t x
x
= + + , ta được: 2 81 0 9t t− = ⇔ = ± 
Với 9t = , ta có: 26 8 0 8 6 0 4 10x x x x
x
+ − = ⇔ − + = ⇔ = ± 
Với 9t = − , ta có: 26 10 0 10 6 0 5 19x x x x
x
+ + = ⇔ + + = ⇔ = − ± 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: 4 10x = ± ; 5 19x = − ± . 
b ( ) ( )( )2 21 4 1 1 1 4y yx x x x x+ + = − ⇔ + + = 
Do , , 0x y x y∈ ⇒ ≥ℤ 
Nếu 0 0x y= ⇒ = , suy ra ( )0;0 là nghiệm của phương trình đã cho 
Nếu 0 0 1x y x> ⇒ > ⇒ + chẵn, đặt 2 1, 0x k k= + ≥ 
Khi đó ( )( )2 11 2 2 1 4 yk k k −+ + + = 
Do 22 2 1k k+ + là số lẻ, suy ra 0 1 1k x y= ⇒ = ⇒ = 
Suy ra ( )1;1 là nghiệm của phương trình đã cho 
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm ( );x y là ( )0;0 và ( )1;1 
3 
 Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 1+ =x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 2 2 2= − + + + −H x y xy x y . 
 Do ,x y ∈ℤ và 3 2 1x y+ = , suy ra x, y trái dấu 
1 13 2 1
2 2
x x
x y y x t− −+ = ⇔ = − + ⇒ = ∈ℤ 
1 2 ; 3 1x t y t⇒ = − = − 
Khi đó 2 3 1H t t t= − + − 
Nếu ( )20 1 2 2t H t≥ ⇒ = − − ≥ − , dấu “=” xảy ra khi 1t = 
Nếu 20 4 1 1 2t H t t − > − 
Vậy, min 2H = − khi 
1
1
2
x
t
y
= −
= ⇒ 
=
3 
4 
Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kì thuộc đoạn AB sao cho 
30
4
AC AB< < ; tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân 
biệt sao cho 3.= =CE CA
CB CD
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn 
ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H (H không trùng với C). 
a) Chứng minh rằng 
 
ADC EBC= và ba điểm , ,A H E thẳng hàng 
b) Xác định vị trí của C để HC AD⊥ . 
c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một 
điểm cố định. 
x
I
H
D
E
C
BA
a Từ giả thiết, có: CE CD> ; 
 
3; 90oCE CA DCA BCE
CB CD
= = = = 
suy ra hai tam giác ADC , EBC đồng dạng. Suy ra: 
 
ADC EBC= (1) 
Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra: 
 
AHC ADC= (2) 
Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra: 
 
 0180EBC CHE+ = (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 
 0180AHC CHE+ = , suy ra ba điểm , ,A H E thẳng hàng. 
b Ta có: 
 
 
tan 3 60 60o oACADC ADC EBC
CD
= = ⇒ = ⇒ = 
Do 
 
 60oAD HC ACH ADC⊥ ⇒ = = 
Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra 
 
 60oAEB HCA= = 
Suy ra ABE∆
đều C⇒ là trung điểm của AB 
4 
 c Do 
 90oAHB H= ⇒ thuộc đường tròn đường kính AB cố định. 
Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H) 
Suy ra 
 60oAHI = I⇒ cố định 
Vậy HC luôn đi qua I cố định khi C thay đổi trên đoạn AB. 
5 
Cho ba số thực không âm , ,x y z thỏa mãn 2x y z+ + = . Chứng minh rằng: 
2 (2 )(2 )(2 )x y z x y z+ + ≥ − − − . 
Đặt 2 ; 2 ; 2 , , 0; 2.x y a y z b z x c a b c a b c+ = + = + = ⇒ ≥ + + = 
Bất đẳng thức trở thành: 4a b abc+ ≥ 
Ta có: 2 2 ( )a b c a b c= + + ≥ + Dấu “=” a b c⇔ + =
1 ( )a b c⇒ ≥ + 
2( ) 4 .a b a b c ab c⇒ + ≥ + ≥ 
Dấu “=” 
1
2
12
a b
a b
a b c
ca b c
= 
= = 
⇔ + = ⇔ 
  =+ + = 
Vậy 2 (2 )(2 )(2 )x y z x y z+ + ≥ − − − . 
Dấu “=” 
1
1
2
0
2
x y y z
x z
z x
y
x y z
+ = + =
= =
⇔ + = ⇔ 
= + + =
6 
Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng 
hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn 
tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có 
đúng một điểm nằm bên trong đường tròn. 
Từ 5 điểm có 4 3 2 1 10+ + + = đoạn thẳng tạo thành. Do đó có ít nhất một đoạn 
thẳng có độ dài nhỏ nhất. Giả sử 5 điểm là , , , ,A B C D E và hai điểm ,A B có độ dài 
AB nhỏ nhất. Khi đó 3 điểm C, D, E còn lại có hai khả năng sau: 
TH1. Cả ba điểm này nằm cùng phía nửa mặt phẳng bờ AB 
E
C
D
BA
Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên , ,C D E nhìn AB với các 
góc nhọn khác nhau. Giả sử: 
 
 
ACB ADB AEB> > , khi đó đường tròn đi qua ba điểm 
, ,A B D
chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài. 
5 
TH2. Có một điểm khác phía hai điểm khác ở hai nửa mặt phẳng bờ .AB Giả sử E 
khác phía hai điểm C, D. 
E
C
D
BA
 Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên ,C D nhìn AB với các góc 
nhọn khác nhau. Giả sử: 
 
ACB ADB> , khi đó đường tròn đi qua ba điểm , ,A B D
chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài. 
Vậy luôn có một đường tròn thỏa mãn điều kiện. 
-----------------------Hết----------------------