Kì thi chọn học sinh giỏi Lê Quý Đôn đề thi chính thức môn toán 8 năm học: 2014 – 2015 (thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề)

PHÒNG GD&ĐT HÀM THUẬN BẮC
THCS PHÚ LONG
Khóa ngày: 14/05/2015
********************
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN 8
Năm học: 2014 – 2015
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1: (5.0 điểm)
Cho 	
Thực hiện rút gọn A
Tìm x nguyên để A nguyên
Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc với mọi số a, b, c
Bài 2: (4.0 điểm)
Giải phương trình: 
Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 
Bài 3: (4.0 điểm) 
	Cho biết 
Phân tích số 10.000.000.099 thành tích của 2 chữ số tự nhiên khác 1
Cho 2a + 3b = 5. Chứng minh 2a2 + 3b2 5
Bài 4: (4.0 điểm) 
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC; E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD
Chứng minh: Tứ giác BEFM là hình bình hành
Chứng minh: EF MN
Bài 5: (3.0 điểm) 
	Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh: BF = CE
* * * * * Hết * * * * *
(Thí sinh không được làm bài vào đề thi)
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:	 SBD: 	
ĐÁP ÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8. NĂM HỌC: 2010 – 2011 
Bài 1: (5.0 điểm)
Cho 	
Ta có 
ĐKXĐ: 
	Để A nguyên thì nguyên
	Khi đó . Vậy x = 3 hoặc x = 1
Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc với mọi số a, b, c
 a2 + b2 + c2 ab + ac + bc 
 Bất đẳng thức (*) đúng vì 
 Vậy a2 + b2 + c2 ab + ac + bc 
Bài 2: (4.0 điểm)
Giải phương trình: 
x =1 hoặc x = -3 hoặc x = 1/2
Cách khác: 
2x3 + 3x2 – 8x + 3 x – 1	2x3 + 3x2 – 8x + 3 = 0
2x3 – 2x2 	 2x2 + 5x – 3 	 (x – 1)(2x2 + 5x – 3) = 0
 5x2 – 8x + 3	 (x – 1)(2x2 + 6x – x – 3) = 0
	 5x2 – 5x 	 (x – 1)[(2x(x + 3) – (x + 3)] = 0
	– 3x + 3	 (x – 1)(x + 3)(2x – 1) = 0
	– 3x + 3	 x =1 hoặc x = -3 hoặc x = 1/2
	0	 Vậy phương trình có 3 nghiệm 
Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 
Để y Z khi 3 (x – 2) 
+ x – 2 = 3 => x = 5 => y = 39	+ x – 2 = 1 => x = 3 => y = 21
+ x – 2 = -3 => x = -1 => y = 1	+ x – 2 = -1 => x = 1 => y = 3
Bài 3: (4.0 điểm) 
	Cho biết 
Phân tích số 10.000.000.099 thành tích của 2 chữ số tự nhiên khác 1
Ta có x = 100
Khi đó 
Cho 2a + 3b = 5. Chứng minh 2a2 + 3b2 5
Ta có 2a2 + 2ab + 3b2 + 3ab = 2a(a + b) +3b(b + a) = (2a + 3b)(a + b) = 5(a + b)
=> 2a2 + 3b2 = 5 (a + b – ab) 
Vậy 2a2 + 3b2 5
Bài 4: (4.0 điểm) 
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC; E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD
Chứng minh: Tứ giác BEFM là hình bình hành
Chứng minh: EF MN
Giải:
a/ Tam giác HCD có MH = MC và FH = FD (gt)
=> MF là đường trung bình của tam giác HCD
=> MF // CD và 
Hay MF // BE và (1)
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác BEFM là hình bình hành
b/ Gọi G là trung điểm của BH.
Tam giác HBC có MH = MC và GH = GB (gt)
=> MG là đường trung bình của tam giác HBC
=> MG // BC và . Mà BC AB nên MG AB
Tam giác ABM có AH và MG là hai đường cao
=> G là trực tâm của tam giác ABM
=> AG BM. Mà BM // EF (vì BEFM là hình bình hành) nên AG EF (3)
Mặt khác, tứ giác AGMN có 
MG // BC và => MG // AN và . Ta có (gt)
Do đó, AGMN là hình bình hành => MN // AG (4)
Từ (3) và (4) => EF MN 
Bài 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh: BF = CE
AD là phân giác của góc BAC
Ta có 	(1)
ME // AD 	(2)
AD // FM 	(3)
Từ (1), (2) và (3) 
Mà MB = MC nên BF = CE
GV GIẢI: PHAN QUỐC BÌNH