Kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán - Khối 10 ( thời gian làm bài: 150 phút)

 SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TÂN KỲ Năm học 2015 – 2016
 *** Môn thi: Toán - Khối 10
 ( Thời gian làm bài: 150 phút) 
Câu 1: (6 điểm) Cho 
Tìm điều kiện của m để phương trình: có hai nghiệm trái dấu.
Tìm điều kiện của m để bất phương trình: nhận mọi làm nghiệm.
Câu 2: ( 6 điểm ) 
Giải phương trình: .
Giải hệ phương trình: 
Câu 3: ( 6 điểm ) 
Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho , N thuộc BM sao cho , P thuộc BC sao cho . Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử , phương trình đường thẳng và . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.
Câu 4: (2 điểm)
 	Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Hết 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm.
Đáp án và biểu điểm
Câu
Đáp án
Điểm
1
Cho 
Tìm điều kiện của m để phương trình: có hai nghiệm trái dấu.
Tìm điều kiện của m để bất phương trình nhận mọi làm nghiệm.
a) 
(3 điểm)
0.5
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và khi
1.0
1.0
Kết luận: 
0.5
b) 
(3 điểm)
Bất phương trình nhận mọi làm nghiệm
khi và chỉ khi vì hệ số a = 1 > 0
0.5
1.0
1.0
Kết luận:...
0.5
2
Giải phương trình: .
Giải hệ phương trình: 
a
(3 điểm)
Điều kiện: 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:...
0.5
b
(3 điểm)
Điều kiện: (*)
0.5
Vì x = 0 và y = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên
0.5
0.25
 (do điều kiện (*))
0.25
Thay vào PT (2) ta được: (3) 
ĐK: 
0.25
 (3) 
0.25
0.25
0.25
So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:...
0.5
3
Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho , N thuộc BM sao cho , P thuộc BC sao cho . Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử , phương trình đường thẳng và . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.
a)
(3 điểm)
A
B
C
M
P
N
Ta có:
0.5
0.5
0.5
Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi
0.5
0.5
Kết luận: ...
0.5
b)
(3 điểm)
B
A
C
D
H
K
I
E
- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I
 Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK AE.
 +) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và hay KE song song và bằng BC
0.5
Do đó: CE: 2x - 8y + 27 = 0
0.5
Mà , mặt khác E là trung điểm của HD nên 
0.5
- Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1).
0.5
- Suy ra AB: x - 2y +3=0. Do đó: B(3; 3).
0.5
KL: A(-1; 1), B(3; 3) và D(-2; 3)
0.5
4
(2 điểm)
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Từ giả thiết suy ra: 
Với y = 0 thì P = 1 (1)
Với ta có: 
0.5
Phương trình (*) không có nghiệm khi P = 1
0.5
Khi 
 (2)
0.5
Kết hợp (1) và (2): 
Suy ra: MinP = - 2 khi 
MaxP = 1 khi 
0.5
Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.