Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs năm học : 2014 – 2015 môn thi : Toán thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
PHÚ YÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Năm học : 2014 – 2015
Môn thi : Toán
Thời gian : 150 phút
( Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
Họ và tên thí sinh
Số báo danh
Chữ kí
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho . Chứng minh rằng:
; 
b) Rút gọn biểu thức: 
Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 3: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Tia Mx song song với AB cắt BC tại D, tia My song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song song với AC cắt AB tại F. Chứng minh rằng:
 ( : diện tích tam giác ABC, : diện tích tam giác DEF )
Câu 4: (4,0 điểm) 
 Cho đường tròn (O; R), một dây cung AB cách tâm O một khoảng d ( 0 < d < R).
Hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại M, tiếp xúc với AB lần lượt tại C, D và tiếp xúc trong với đường tròn (O) lần lượt tại các điểm E, F. (O1; O2 và O cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB)
Gọi N là trung điểm của cung nhỏ AB. Chứng minh: NC.NE = ND.NF.
Khi hai đường tròn (O1), (O2) thay đổi, điểm M chạy trên đường nào?
Câu 5: (3,5 điểm) Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Hãy tìm số tự nhiên n biết S(n) = n2 – 2015n + 8 và 0 < S(n) 
------- Hết -------
Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh:  Số báo danh:.
 Chữ kí giám thị 1: .. Chữ kí giám thị 2: ..
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1: (5,0 điểm)
Cho . Chứng minh rằng: 
Bình phương hai vế, ta có: 
 : VT.
 Chứng minh tương tự : 
chú ý : nên >0.
Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ : 
Suy ra : 
Vậy 
Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( -1; -1) và (1; 1).
Câu 3: (3,5 điểm)
Từ D, E và F lần lượt vẽ các đường thẳng 
song song với MF, MD và ME cắt AB, BC và AC
lần lượt tại P, Q và R.
Ta có : FR // BC nên 
Tương tự: 
Vì MDQE; MDPF là các hình bình hành.
Suy ra : 
Dấu “ = ” xảy ra khi AF = FP = PB = khi đó M là trọng tâm của .
Nên 
Suy ra : 
Mặt khác : MERF; MDQE; MDPF là các hình bình hành
Nên 
 nên 
Câu 4: (4,0 điểm) 
a) Vì (O) và (O1) tiếp xúc ngoài tại E nên ba điểm O, O1 và E thẳng hàng
Ta có : cân tại O nên 
 Tương tự : 
Vì CO1 // ON ( Cùng vuông góc với AB ) nên 
Suy ra : hay ba điểm N, C và E thẳng hàng.
Tương tự : N, D và F thẳng hàng.
Xét và có:
Tương tự: 
Nên (g-g)
b) 
Ta chứng minh MN là tiếp tuyến chung
của (O1) và (O2).
Giả sử NM không phải tiếp tuyến của (O1)
Suy ra : NM cắt (O1) tại điểm thứ 2 là M1.
Ta có : (g-g)
Mà 
Nên 
 chung
Nên (c-g-c)
 hay 
Nên tứ giác MDFM1 nội tiếp
Suy ra: (O1) và (O2) cắt nhau tại
2 điểm M và M1 ( Mâu thuẫn giả thiết)
Vậy MN là tiếp tuyến của (O1)
Vì O1; M và O2 thẳng hàng 
Nên MN là tiếp tuyến của (O2)
 Vậy MN là tiếp tuyến chung của (O1) và (O2)
Suy ra : NM2 = NC.NE (1)
Mặt khác: (g-g)
 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: NM = NA cố định
Nên tập hợp điểm M thuộc cung tròn tâm A, bán kính NA phần nằm trong đường tròn (O)
Câu 5: ( 3,5 điểm) 
* Nếu n = 2015 thì S(n) = 20152 – 2015.2015 + 8 = 8
 nên 0 < S(n) = 8 ( thỏa mãn.
 * Nếu n > 2015 thì S(n) = n2 – 2015n + 8 = n(n-2015) + 8 
 Vì n > 2015 nên n – 2015 1 hay S(n) > n
 Nên không có giá trị n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu n < 2015: 
S(n) = n2 – 2015n + 8 = n2 – 1 – 2015n + 2015 – 2006
 = (n-1)(n+1) – 2015( n-1) – 2006 = (n-1)(n-2014) – 2006
+ n = 0 : S(n) = 8 > 0 ( = n) ( không thỏa mãn)
+ n = 2014: S(n) = - 2006 < 0 ( không thỏa mãn)
+ 0 < n < 2014 : 
nên S(n) = (n-1)(n-2014) – 2006 < - 2006
Vậy : nên không có giá trị n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giá trị n thỏa mãn : S(n) = n2 – 2015n + 8 và 0 < S(n) là n = 2015.