Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs năm học : 2012 – 2013 môn thi : Toán thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
PHÚ YÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Năm học : 2012 – 2013
Môn thi : Toán
Thời gian : 150 phút
( Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
Họ và tên thí sinh
Số báo danh
Chữ kí
Câu 1: ( 5,0 điểm)
Cho . So sánh A và B?
Tính giá trị biểu thức: .
Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : .
Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : .
Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N.
Chứng minh rằng : 
Xác định vị trí điểm Q để 
Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE.
Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : 
 ----------------- Hết ---------------
Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1: ( 5,0 điểm)
a) Cho . So sánh A và B?
b) Tính giá trị biểu thức: .
c) Cho . Chứng minh rằng: 
Giải: a) Ta có : 
Mà 
Nên hay A > B.
 b) Tính giá trị biểu thức: .
c)Cho . Chứng minh rằng: 
 Mình chưa biết giải, bạn nào biết chỉ giúp. Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng.
 Cho 
Thì ( Thỏa mãn đẳng thức)
Nhưng 
Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : .
 ĐKXĐ : 
Đặt thì 
 . Vậy 
Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : .
* Điều kiện xác định : .
Ø Nếu thì : PTVN
Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm.
ØNếu Chia 2 vế phương trình (1) cho . Ta có :
Đặt thì 
+ Với thì 
Thay vào (**). Ta có :
Với ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Với ( thỏa mãn ĐKXĐ)
+ Với thì . Thay vào (**). Ta có :
 : Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : và 
Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N.
Chứng minh rằng : 
Xác định vị trí điểm Q để 
GIẢI: 
Gọi .
Ta có: . (1)
Mặt khác : Áp dụng định lí Talet. Ta có: 
 (2)
Vì MI // AC nên (3) 
Vì (g-g)
 mà nên (4)
Từ (1), (2), (3) và (4). Suy ra : 
Hay 
b) Từ câu a. Ta có : 
.
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm. 
Ta có : .
Dấu “ = ” xảy ra khi CI = IH = HB.
Đẳng thức xảy ra khi Q là trung điểm của BC
 và 
Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE.
Giải: 
Cách vẽ: + Vẽ phân giác của cắt AB tại E.
Đường phân giác của và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I.
Ta có : là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O).
Thật vậy : Hạ . Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác)
Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông.
Chứng minh: 
+ Chứng minh ba điểm B; F và G thẳng hàng.
Ta có : cân tại I nên 
Xét ( Tính chất góc ngoài)
= 
Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì 2 tia GF và GB trùng nhau)
+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 
Nên (1). 
+Áp dụng tính chất tiếp tuyến. Ta có : 
 (2)
Mặt khác : ( g-g).
 (3)
Từ (2) và (3). Suy ra : (4)
Từ (1) và (4), suy ra : BD = BE.
Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : 
Giải: Từ 
* Nếu x = 0 ; Nếu y = 0 
* Nếu 
Thì ( *)
Đặt 
Thì 
Giải phương trình theo biến t. Ta có :
.
Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ra )
Thì 
Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1
( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư 
 “ tailieu20112012@gmail.com” )