Khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Thái Thụy năm học 2012-2013 môn: Toán 6

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN 6
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)
Bài 1 (3 điểm). Thực hiện phép tính
a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + ....... + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 
b) So sánh P và Q
 Biết P = và Q = 
Bài 2. (1 điểm).
 Tính N = 	
Bài 3 (4 điểm). 
	a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3.
	 Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3.
b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 và B = 32013 : 2.
 Tính: B – A.
Bài 4 (4 điểm)
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. 
Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1
Bài 5 (4 điểm).
	 a) Tìm số tự nhiên x sao cho 
	 b) Cho 	
 Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.
Bài 6. (4 điểm).
 Cho , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.
Tính BD.
 b) Biết 	 = 850, = 500. Tính .
 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK 
Họ và tên thí sinh:. ...................... Số báo danh :
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1 (3đ)
Thực hiện phép tính
a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + ....... + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 
Nhận xét : Tổng - hiệu trên có 504 số 
N = (1- 5 – 9 +13) + (17 – 21 – 25 + 29)+......+ (2001 – 2005 – 2009 + 2013)
 = 0 + 0 ++ 0 
 = 0
b) So sánh P và Q
 Biết P = và Q = 
Q = = ++ 
 + 
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q
 Kết luận: P > Q
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 2(1đ)
 Tính N = 
 N = 
0.25đ
0.75đ
Bài 3 (4 đ) 
 a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3.
	 Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3.
- Chứng minh được: Bình phương của một số nguyên chia cho được các số dư là 0 hoặc là 1	
- Nếu a2 và b2 không chia hết cho 3 thì a2 + b2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2, điều này trái với (a2 + b2 ) chia hết cho 3
Vậy a2 và b2 cùng chia hết cho 3. Do 3 là số nguyên tố nên a và b cùng chia hết cho 3
b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 và B = 32013 : 2.
 Tính: B – A.
 2B = 32013 
3A = 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 + . + 32013 
 2A = 3A – A = 32013 - 1
2B – 2A = 32013 - 32013 + 1 vậy B-A = 
0.5đ
0.75đ
0.75đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 4 (4đ)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. 
Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) 11 ; (a-1) 4 ; (a-11) 19.
 (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) 4 ; (a-11 +38 ) 19. 
 (a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19. 
Do 4 ; 11 ; 19 là 3 số nguyên tôt cùng nhau, 
 nên a +27 nhỏ nhất là BCNN (4 ;11 ; 19 ) . 
Từ đó tìm được : a = 809
 b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1
x2 – 1 = 6y2 6y2 = (x-1).(x+1) 2 , do 6y2 2 
Mặt khác x-1 + x +1 = 2x 2 (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp
 (x-1).(x+1) 8 6y2 8 3y2 4 y2 4 y 2 
 y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5. Kết luận
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 5 (4đ)
	 a) Tìm số tự nhiên x sao cho 
Do x là số tự nhiên nên 2x -1 là số lẻ . nhận các giá trị 1 hoặc 3 
Vậy 2x- 1 = -3 , x = -1 
 2x- 1 = -1 , x = 0 
 2x- 1 = 1 , x = 1
 2x- 1 = 3 , x = 2 
 b) Cho 	
 Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.
Nhận xét : Tổng có 2012 số hạng
Vậy B 
 = 2013( 1 +1+1+..+1) 2013
 Kết luận B chia hết cho 2013
0.5đ
0.5đ
 0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
Bài 6 (4đ )
 Cho , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.
y
C
A
B
D
x
.
a) Tính BD
 Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
A nằm giữa D và B
 BD = BA + AD = 5,5 + 3 = 8,5 (cm)
b) Biết = 850, = 500. Tính .
- Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD
c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK 
Xét 2 trường hợp
* Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax
Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B
Suy ra: AK + KB = AB
 KB = AB – AK = 5,5 – 1 = 4,5 (cm)
* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: KB = KA + AB
 KB = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)
 * Kết luận: Vậy KB = 4,5cm hoặc KB = 6,5cm 
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
 - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
 - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. 
 - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).