Khảo sát chất lượng lớp 12 trung học phổ thông năm học 2014 ­ 2015 môn thi: Toán 12 thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH HểA 
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THễNG 
NĂM HỌC 2014 ư 2015 
Mụn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề 
Đề cú 10 cõu và 01 trang 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 2  2 4 - - =  x x y 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số. 
b) Tỡm m để phương trỡnh  3 2  2 4 + = -  m x x  cú 4 nghiệm phõn biệt. 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
a) Giải phương trỡnh:  0 5 sin 8 2 cos 2 = - +  x x  . 
b) Cho số phức z thỏa món hệ thức:  i z i i  2 4 ) 1 )( 2 ( - = + + -  . Tớnh mụđun của  z . 
Cõu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trỡnh:  0 3 3 . 10 9 . 3 Ê + -  x x  . 
Cõu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: 
2 2 2 
3 6 2 2 
1 2 2 
( 1) 3 ( 2) 3 4 0 
x y x x x y 
y x y x y 
ỡ + + = + ù 
ớ 
- + - + + = ù ợ 
( , ) x y ẻ R  . 
Cõu 5 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn I = ũ + 
2 
0 
2  sin ) cos ( 
p 
xdx x x  . 
Cõu 6  (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD  cú đỏy  là hỡnh  thoi,  tam giỏc SAB đều và nằm 
trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Biết  a BD a AC  4 , 2 = =  , tớnh theo a thể 
tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AD và SC. 
Cõu  7  (1,0  điểm).  Trong mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ  Oxy,  cho  điểm  E(3;  4),  đường  thẳng 
0 1 : = - + y x d  và đường  trũn  0 4 2 4 : ) (  2 2 = - - + +  y x y x C  . Gọi M  là điểm  thuộc đường 
thẳng d và nằm ngoài đường trũn (C). Từ M kẻ cỏc tiếp tuyến MA, MB đến đường trũn (C) 
(A, B là cỏc tiếp điểm). Gọi (E) là đường trũn tõm E và tiếp xỳc với đường thẳng AB. Tỡm 
tọa độ điểm M sao cho đường trũn (E) cú chu vi lớn nhất. 
Cõu 8  (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho điểm  ) 2 ; 3 ; 1 ( A  , đường thẳng 
2 1 
4 
2 
1 
: 
- 
= 
- 
- 
= 
+  z y x 
d  và mặt  phẳng  0 6 2 2 : ) ( = - + -  z y x P  .  Tỡm  tọa độ  giao điểm  của d 
với (P) và viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua A, cú tõm thuộc d đồng thời tiếp xỳc với (P). 
Cõu 9  (0,5 điểm). Gọi M  là  tập hợp cỏc số tự nhiờn gồm 9 chữ số khỏc nhau. Chọn ngẫu 
nhiờn một số từ M, tớnh xỏc suất để số được chọn cú đỳng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa 
hai chữ số lẻ (cỏc chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là cỏc chữ số lẻ). 
Cõu 10 (1,0 điểm). Cho x, y, z là cỏc số thực thỏa món  0 , 0 , 2 2 1 2 2 1 > > + - < < - -  z y x 
và  1 - = + +  z y x  . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2  ) ( 8 
1 
) ( 
1 
) ( 
1 
z y z x y x 
P 
+ - 
+ 
+ 
+ 
+ 
=  . 
Cảm ơn bạn nam nguyễn (namtoanlvt@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl
1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH HểA 
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT NĂM 2015 
Mụn thi: TOÁN 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
Cõu  Nội dung  Điểm 
Cõu 1 
(2,0 điểm) 
a) (1,0 điểm) 
1) Tập xỏc định :  D = R 
2) Sự biến thiờn: 
a, Giới hạn : +Ơ = 
-Ơ đ 
y 
x 
lim  ; +Ơ = 
+Ơ đ 
y 
x 
lim 
0,25 
b, Bảng biến thiờn: y’ =  x x  4 4  3 -  , y’ = 0 Û x = 0,  1 ± = x 
x  ư Ơ  ư 1                     0  1                             + Ơ 
y'  ư  0  +  0  ư  0            + 
y 
+ Ơ  ư 3  + Ơ 
ư 4  ư 4 
0,25 
Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng (ư 1; 0) và  ) ; 1 ( +Ơ  , hàm số nghịch biến trờn mỗi 
khoảng  ) 1 ; ( - -Ơ  và (0; 1). 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) =  ư 3. 
Hàm số đạt cực tiểu tại x =  1 ±  , yCT = y(  1 ±  ) =  ư 4. 
0,25 
3) Đồ thị:  Đồ thị (C) của hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox tại 2 
điểm (±  3 ; 0). 
0,25 
b) (1,0 điểm) 
Ta cú  m x x m x x = - - Û + = -  3 2 3 2  2 4 2 4  (1).  0,25 
Số nghiệm của phương trỡnh (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng  m y =  0,25 
Theo đồ thị ta thấy đường thẳng  m y =  cắt (C) tại 4 điểm  phõn biệt khi và chỉ khi 
3 4 - < < -  m  . 
0,25 
Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm phõn biệt khi  ) 3 ; 4 ( - - ẻ m  .  0,25 
Cõu 2 
(1,0 điểm) 
a) (0,5 điểm) 
0 5 sin 8 2 cos 2 = - + x x  0 5 sin 8 ) sin 2 1 ( 2  2 = - + - Û  x x 
0 3 sin 8 sin 4  2 = + - Û  x x 
0,25 
1 1 - 
3 - 
y 
x O 
4 - 
3 3 -
2 
ờ 
ờ 
ờ 
ờ 
ở 
ộ 
= 
= 
Û 
2 
1 
sin 
) (
2 
3 
sin 
x 
x  loại p p 
p p 
ộ = + ờ 
Û ẻ ờ 
ờ = + ờ ở 
Z 
2 
6  ( ) 
5 
2 
6 
x k 
k 
x k 
0,25 
b) (0,5 điểm) 
Đặt  bi a z + =  , ( ẻR , a b  ), khi đú  bi a z - =  . Theo bài ra ta cú 
i i b a i bi a i i  2 4 ) 1 ( 3 2 4 ) 1 )( 2 ( - = - + + Û - = - + + - 
0,25 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
= 
Û 
ợ 
ớ 
ỡ 
- = - 
= + 
Û 
3 
1 
2 1 
4 3 
b 
a 
b 
a 
.  Do đú  i z  3 1+ =  , suy ra  10 3 1  2 2 = + = z  0,25 
Cõu 3 
(0,5 điểm) 
Đặt  ) 0 ( 3 > =  t t  x  . Bất phương trỡnh đó cho trở thành 
3 
3 
1 
0 3 10 3  2 Ê Ê Û Ê + -  t t t 
0,25 
Suy ra  1 1 3 3 
3 
1 
Ê Ê - Û Ê Ê  x x  . 
Vậy bất phương trỡnh cú tập nghiệm là  ] 1 ; 1 [- = S  . 
0,25 
Cõu 4 
(1,0 điểm) 
Điều kiện:  2 2 - ³ y x  .  Gọi hai phương trỡnh lần lượt là (1) và (2) 
Û ) 2 (  ) 1 ( 3 1 3 3 3  2 3 2 3 6 - + - + - = +  y y y y y x y x 
Û  ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) (  3 2 3 2 - + - = +  y y y x y x  (3) 
0,25 
Xột hàm số  t t t f  3 ) (  3 + =  cú = + > " ẻR 2 '( ) 3 3 0, f t t t 
Do đú  2 2 (3) ( ) ( 1) 1, ( 1). f x y f y x y y y Û = - Û = - ³ - 
Thế vào (1) ta được  1 2 1 2 2 + = + +  y x x y x 
1 1 0 ) 1 1 ( 0 1 1 2 ) 1 (  2 2 = + Û = - + Û = + + - + Û  y x y x y x y x 
0,25 
Do đú hệ đó cho tương đương với 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
> 
= + - 
- = 
Û 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
> 
- = 
= + 
Û 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
- = 
= + 
0 
) 4 ( 1 ) 2 ( 
2 
0 
1 
1 
1 
1 1  2 2 2 
2 
2 
2 2 
2 
x 
x x x 
x y 
x 
y y x 
x y x 
y y x 
y x 
0 ) 1 )( 1 ( 0 ) 1 ( 0 1 3 ) 4 (  2 2 2 2 2 2 4 = - + - - Û = - - Û = + - Û  x x x x x x x x 
ờ 
ờ 
ờ 
ờ 
ở 
ộ 
± - 
= 
± 
= 
Û 
2 
5 1 
2 
5 1 
x 
x 
.  Do x > 0 nờn 
2 
5 1+ 
= x  hoặc 
2 
5 1+ - 
= x 
0,25 
Với 
2 
5 1 
2 
5 1 - 
= ị 
+ 
=  y x  .  Với 
2 
5 1 
2 
5 1 + 
= ị 
+ - 
=  y x  . 
Vậy hệ đó cho cú nghiệm ữ ữ 
ứ 
ử 
ỗ ỗ 
ố 
ổ - + 
= 
2 
5 1 
; 
2 
5 1 
) ; (  y x  , ữ ữ 
ứ 
ử 
ỗ ỗ 
ố 
ổ + + - 
= 
2 
5 1 
; 
2 
5 1 
) ; (  y x 
0,25 
Cõu 5 
(1,0 điểm) ũ ũ + = 
2 
0 
2 
2 
0 
sin cos sin 
p p 
xdx x xdx x I  . Đặt ũ ũ = = 
2 
0 
2 
2 
2 
0 
1  sin cos , sin 
p p 
xdx x I xdx x I  0,25 
Đặt  1 sin cos cos 
cos sin 
2 
0 
2 
0 
2 
0 1 
= = + - = ị 
ợ 
ớ 
ỡ 
- = 
= 
ị 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
= 
ũ 
p 
p 
p 
x xdx x x I 
x v 
dx du 
xdx dv 
x u  0,25
3 
3 
1 
3 
cos 
) (cos cos sin cos 
2 
0 
3 2 
0 
2 
2 
0 
2 
2 = - = - = = ũ ũ 
p p p 
x 
x xd xdx x I  .  0,25 
Vậy 
3 
4 
3 
1 
1 = + = I  .  0,25 
Cõu 6 
(1,0 điểm) 
Gọi  BD AC O ầ =  , H là trung điểm 
của AB, suy ra  AB SH ^  . 
Do  ) ) (  ABCD SAB AB ầ =  và 
) ( ) (  ABCD SAB ^  nờn  ) (ABCD SH ^ 
+) Ta cú  a 
a AC 
OA = = = 
2 
2 
2 
, 
a 
a BD 
OB  2 
2 
4 
2 
= = =  . 
5 4  2 2 2 2  a a a OB OA AB = + = + = 
0,25 
+) 
2 
15 
2 
3  a AB 
SH = = 
2 4 4 . 2 
2 
1 
. 
2 
1 
a a a BD AC S ABCD = = =  .  0,25 
Thể tớch khối chúp  ABCD S  là :  3 
15 2 
4 . 
2 
15 
3 
1 
. 
3 
1  3 2  a a 
a 
S SH V  ABCD = ì = =  . 
Ta cú BC // AD nờn AD //(SBC)  )) ( , ( )) ( , ( ) , (  SBC A d SBC AD d SC AD d = = ị  . 
Do H là trung điểm của AB và B =  ) (SBC AH ầ  nờn  )). ( , ( 2 )) ( , (  SBC H d SBC A d = 
Kẻ  BC H BC HE ẻ ^  ,  , do  BC SH ^  nờn  ) (SHE BC ^  . 
Kẻ  SE K SE HK ẻ ^  ,  , ta cú  )) ( , ( ) (  SBC H d HK SBC HK HK BC = ị ^ ị ^  . 
0,25 
5 
5 2 
5 2 
4 
. 2 
2  2  a 
a 
a 
AB 
S 
BC 
S 
BC 
S 
HE  ABCD ABC BCH = = = = =  . 
91 
1365 2 
91 
15 2 
60 
91 
15 
4 
4 
5 1 1 1 
2 2 2 2 2 2 
a a 
HK 
a a a SH HE HK 
= = ị = + = + = 
Vậy 
91 
1365 4 
2 ) , ( 
a 
HK SC AD d = =  . 
0,25 
Cõu 7 
(1,0 điểm) 
Đường trũn (C) cú tõm  ) 1 ; 2 (- I  , bỏn kớnh  3 = R  . Do  d M ẻ  nờn  ) 1 ; (  a a M -  . 
Do M nằm ngoài (C) nờn  9 ) ( ) 2 ( 9  2 2 2 > - + + Û > Û >  a a IM R IM 
0 5 4 2  2 > - + Û  a a  (*) 
Ta cú  5 4 2 9 ) ( ) 2 (  2 2 2 2 2 2 2 - + = - - + + = - = =  a a a a IA IM MB MA 
Do đú tọa độ của A, B thỏa món phương trỡnh:  5 4 2 ) 1 ( ) (  2 2 2 - + = - + + -  a a a y a x 
0 6 6 ) 1 ( 2 2 2 2 = + - - + - + Û  a y a ax y x  (1) 
0,25 
Do A, B thuộc (C) nờn tọa độ của A, B thỏa món phương trỡnh 
0 4 2 4 2 2 = - - + +  y x y x  (2). 
Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được  0 5 3 ) 2 ( = - + - +  a ay x a  (3) 
Do tọa độ của A, B thỏa món (3) nờn (3) chớnh là phương trỡnh của đường thẳngD 
đi qua A, B. 
0,25 
S 
A 
B  C 
D 
O 
E 
H 
K
4 
+) Do (E) tiếp xỳc với D  nờn (E) cú bỏn kớnh  ) , ( 1 D =  E d R 
Chu vi của (E) lớn nhất  1 R Û  lớn nhất  ) , ( D Û  E d  lớn nhất 
Nhận thấy đường thẳng D  luụn đi qua điểm ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ 
2 
11 
;
2 
5 
K 
Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của E lờn D 
2 
10 
) , ( = Ê = D ị  EK EH E d 
Dấu “=” xảy ra khi  EK K H ^ D Û º  . 
0,25 
Ta cú ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - = 
2 
3
;
2 
1 
EK  , D  cú vectơ chỉ phương  ) 2 ; ( + =  a a u 
Do đú  0 . = Û ^ D  u EK EK  0 ) 2 (
2 
3 
2 
1 
= + + - Û  a a  3 - = Û a  (thỏa món (*)) 
Vậy ( ) 4 ; 3 - M  là điểm cần tỡm 
0,25 
Cõu 8 
(1,0 điểm)  d cú phương trỡnh tham số 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
- = 
- = 
+ - = 
t z 
t y 
t x 
2 
4 
2 1 
. 
Gọi  ) (P d B ầ =  , do  d Bẻ  nờn  ) 2 ; 4 ; 2 1 (  t t t B - - + - 
0,25 
Do  ) (P Bẻ  nờn  ) 8 ; 0 ; 7 ( 4 0 6 2 ) 4 ( 2 ) 2 1 ( 2 - ị = Û = - - - - + -  B t t t t  0,25 
Gọi I là tõm mặt cầu (S), do I thuộc d nờn  ) 2 ; 4 ; 2 1 (  a a a I - - + - 
Theo bài ra thỡ (S) cú bỏn kớnh  )) ( , (  P I d IA R = = 
2 2 2 
2 2 2 
1 2 2 
6 2 ) 4 ( 2 ) 2 1 ( 2 
) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( 
+ + 
- - - - + - 
= + + - + - ị 
a a a 
a a a 
3 
16 4 
9 2 9  2 
- 
= + - Û 
a 
a a 
13 
35 
; 1 0 175 110 65 ) 16 4 ( ) 9 2 9 ( 9  2 2 2 - = = Û = - + Û - = + - Û  a a a a a a a  . 
0,25 
+) Với  16 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( : ) ( 4 ), 2 ; 3 ; 1 ( 1  2 2 2 = + + - + - ị = - = ị =  z y x S R I a 
+) Với 
13 
116 
; 
13 
70 
; 
13 
87 
; 
13 
83 
13 
35 
= ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - = ị - =  R I a 
169 
13456 
13 
70 
13 
87 
13 
83 
: ) ( 
2 2 2 
= ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - + ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - + ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ + ị  z y x S 
0,25 
Cõu 9 
(0,5 điểm) 
Xột cỏc số cú 9 chữ số khỏc nhau: 
ư Cú 9 cỏch chọn chữ số ở vị trớ đầu tiờn. 
ư Cú  8 9 A  cỏch chọn 8 chữ số tiếp theo 
Do đú số cỏc số cú 9 chữ số khỏc nhau là: 9.  8 9 A  = 3265920 
0,25 
Xột cỏc số thỏa món đề bài: 
ư Cú  4 5 C  cỏch chọn 4 chữ số lẻ. 
ư Đầu tiờn ta xếp vị trớ cho chữ số 0, do chữ số 0 khụng thể đứng đầu và cuối nờn 
cú 7 cỏch xếp. 
ư Tiếp theo ta cú  2 4 A  cỏch chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bờn chữ số 0. 
ư Cuối cựng ta cú 6! cỏch xếp 6 chữ số cũn lại vào 6 vị trớ cũn lại. 
Gọi A là biến cố đó cho, khi đú = =  ! 6 . . 7 . ) (  2 4 
4 
5  A C A n  302400. 
Vậy xỏc suất cần tỡm là 
54 
5 
3265920 
302400 
) ( = = A P  . 
0,25
5 
Cõu 10 
(1,0 điểm)  Ta cú  2 2 2 2 2 2  ) 1 ( 8 
1 
) 1 ( 
1 
) 1 ( 
1 
) 1 ( 8 
1 
) 1 ( 
1 
) 1 ( 
1 
x z y x y z 
P 
+ - 
+ 
+ 
+ 
+ 
= 
- - - 
+ 
- - 
+ 
- - 
= 
Ta sẽ chứng minh 
yz z y + 
³ 
+ 
+ 
+  1 
1 
) 1 ( 
1 
) 1 ( 
1 
2 2 
Thật vậy:  2 2 2 
2 2 
)] 1 )( 1 [( ] ) 1 ( ) 1 )[( 1 ( 
1 
1 
) 1 ( 
1 
) 1 ( 
1 
y z y z yz 
yz z y 
+ + ³ + + + + Û 
+ 
³ 
+ 
+ 
+ 
. 
2 2 2  ) 1 ( ) 2 2 2 )( 1 (  y z zy y z y z yz + + + ³ + + + + + Û 
2 2 
2 
) ( ) 1 )( ( 2 ) 1 ( 
) 1 ( 2 ) )( 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 )( ( 2 
y z zy y z zy 
yz zy z y zy yz zy y z 
+ + + + + + ³ 
+ + - + + + + + + Û 
0 4 ) ( ) 1 ( 2 4 2 ) )( 1 (  2 2 2 2 2 ³ - - - + - + + + - + Û  yz z y yz z y yz z y zy 
0 ) 1 ( ) (  2 2 ³ - + - Û  yz z y yz  (hiển nhiờn đỳng). 
Dấu “=” xảy ra khi  1 = = z y  . 
0,25 
Ta lại cú  yz 
z y 
³ 
+ 
2  4 
) 1 ( 
4 
) 1 ( 
2 
2 2 2  x x z y 
yz 
+ 
= 
- - 
= ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ + Ê ị 
Do đú 
2 2 2 2  ) 1 ( 4 
4 
4 
) 1 ( 
1 
1 
1 
1 
) 1 ( 
1 
) 1 ( 
1 
x x yz z y + + 
= 
+ 
+ 
³ 
+ 
³ 
+ 
+ 
+ 
2 2  ) 1 ( 8 
1 
) 1 ( 4 
4 
+ - 
+ 
+ + 
³ ị 
x x 
P 
Do  2 2 1 2 2 1 + - < < - -  x  nờn  ) 8 ; 0 [ ) 1 (  2 ẻ + x  . 
Đặt  ) 8 ; 0 [ ) 1 (  2 ẻ ị + =  t x t  và  P 
t t - 
+ 
+ 
³ 
8 
1 
4 
4 
0,25 
Xột 
t t 
t f 
- 
+ 
+ 
= 
8 
1 
4 
4 
) (  với  ) 8 ; 0 [ ẻ t  . 
2 2 
2 
2 2  ) 8 ( ) 4 ( 
240 72 3 
) 8 ( 
1 
) 4 ( 
4 
) ( ' 
t t 
t t 
t t 
t f 
- + 
- + - 
= 
- 
+ 
+ 
- = 
20 ; 4 0 240 72 3 0 ) ( '  2 = = Û = - + - Û =  t t t t t f  (loại) 
Bảng biến thiờn 
t  0                            4  8 
f’(t)  ư  0              + 
f(t) 
8 
9 Ơ + 
4 
3 
0,25 
Do đú 
4 
3 
) ( ³ ³  t f P  và 
4 
3 
= P  khi 
ợ 
ớ 
ỡ 
= = 
- = 
Û 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
- = + + 
= = 
= + 
1 
3 
1 
1 
4 ) 1 (  2 
z y 
x 
z y x 
z y 
x 
Vậy 
4 
3 
min = P  khi  1 , 3 = = - =  z y x 
0,25 
ưưưưưưưưưưưưưưưưHẾTưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn bạn nam nguyễn (namtoanlvt@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl