Hướng dẫn Giải 12 bài toán tam giác

Giải 12 bài tốn TAM GIÁC
Trong 89 Bài tập hình chương 2 về nghỉ têt (của Phung Thanh Violet 1/2/2016)
 (Trả lời cho hungoanhyenchau@gamil.com)
Bài 58:
 Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3 AB. Từ D kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AC cắt BC ở F.
Chứng minh rằng:
 a/ DF vuơng gĩc với BC.
 b/ Tam giác DEF đều.
Bài Giải
a/ Đặt cạnh của tam giác đều ABC là a
 Theo đề thì ∆ADE và ∆CE F đều là tam giác vuơng cĩ 1 gĩc bằng 600
 Þ Cạnh nhỏ = 1/2 cạnh huyền: 
 AD/AE = CE/CF = 1/2. 
mà AD = 1/3 a Þ CE = 1/3a 
Þ CF=2/3 a Þ FB = 1/3a 
Xét tam giác ∆FDB cĩ: 
DB = 2/3a; FB = 1/3a Þ FB = 1/2DB 
mà ÐB=600 Þ ÐFDB = 1/2 ÐFBD = 300
 è DFB = 1800 - (600 + 300) = 900 hay DF ^BC.
b/ Ba tam giác vuơng ∆ADE = ∆CEF = ∆BFD (c-g-c) Þ DE = E F = FD
 hay ∆DE F là tam giác đều.
Bài 59:
 Cho tam giác ABC cĩ gĩc B= 500. Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của gĩc B ở E.
 a/ Chứng minh tam giác AEB cân.
 b/ Tính gĩc BAE.
H D 
a/A E // BC à gĩc so le bằng nhau
à ∆AEB cĩ 2 gĩc đày = 25ºàAEB cân
b/ Từ ý a/ à BA E = 180º - 50º = 130º 
Bài 60:
 Cho tam giác cân ABC( AB= AC). Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC.CMR:
 a/ DE//BC.
 b/ 
 c/ 
H D
 CM 2 gĩc M1, M3 của 2 tam giác MBD& MCE bằng 2 gĩc tương ứng của tam giác cân AED à à M D = M E à 
Bài 61:
 Cho . Các tia phân giác của gĩc B và gĩc C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, cắt AC ở E. 
 Chứng minh rằng: DE= BD + CE.
H D: Bài này chỉ cần vẽ hình đã nhìn ra:
Do ED//BC; ÐC1=ÐC2 và ÐB1=ÐB2 
nên ÐB1 = ÐI1 và ÐC2 = ÐD3
Þ ∆DBI và ∆EIC là 2 tam giác cân 
 Þ BD = DI và CE = IE
 è BD + CE = DI +IE = DE (ĐPCM)
Bài 62
 Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD= BE = CF.chứng minh tam giác DEF đều.
H D
Do 3 gĩc ngồi kề 3 gĩc trong của tam giác đều ABC bằng nhau; 
3 tam giác cùng cớ các cặp cạnh bằng nhau (c-g-c) nên 3 tam giác đ ĩ (vàng) bằng nhau 
Þ DE = E F =FD
è Vậy DE F là tam giác đều (ĐPCM)
Bài 63:
 Cho tam giác ABC vuơng cân ở A. Trên đáy BC lấy hai điểm M, N sao cho BM= CN= AB. a/ chứng minh tam giác AMN cân.
 b/ tính gĩc MAN.
H D 
Đặt cạnh gĩc vuơng của ABC là a ta cĩ 
 hình bên à
a/ Theođề ta dễ thấy: 
∆BAM va ∆CAN là 2 tam giác∆ cân bằng nhau 
ÞAN =AM Þ AMN là tam giác cân
b/* Nếu đã học về tam giác đồng dạng 
thì thấy :AMN BAM và CAN 
 (2 gĩc đáy cùng bằng nhau)
Þ ÐMAN =ÐABC = ÐACB = 45o 
*Nếu chưa học TG đồng dạng thì tính :
tổng 2 gĩc đáy của ∆AMN = 135o Þ ÐMAN = 180o - 135o = 45º ( ĐPCM)
Bài 64:
 Cho cĩ gĩc A = 600. Vẽ ra phía ngồi của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC.
 a/ Chứng minh M,A, N thẳng hàng.
 b/ BM= CN. (Ý này đề ra vơ lí !? )
HD (Gợi ý): 
 Theo đề (vẽ đúng hình) à
a/ Ta cĩ 3 gĩc kề nhau tại đỉnh A đều bằng 60o Þ ÐMAN = 180º
 hay M,A,N thẳng hàng.
b/ Ý này đề ra vơ lí !?
Bài 65:
 Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối AB lấy điểm D, trên tia đối AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh:
 a/ DE//BC
 b/ BE= CD
 c/ 
HD:
a/ 2 tam giác cân ABC và AED đồng dạng (2 gĩc A đối đỉnh) -> ÐAED = ÐACB đây là 2 gĩc so le E D //BC
b/ Cĩ ∆AEB = ∆ADC (c.g.c) -> BE = CD
c/ Từ ∆ AEB = ADC cộng 2 về ta cĩ:
∆ AEB + AED = ADC + AED
 è (ĐPCM)
Bài 66:
 Cho tam giác ABC vuơng cân ở A. Vẽ phía ngồi của tam giác hai tam giác đều ABD và ACE.
 a/ Chứng minh BE= CD.
 b/ Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính gĩc BIC.
 Giải:
a/ Xét ∆BDC & ∆CEB cĩ BC chung; DB = EC; ÐB = ÐC = 60o + 45º = 105º
 Þ∆BDC = ∆CEB Þ BE = CD.
b/Xét ∆AEB cĩ AB =AE Þ ∆AEB cân
 ÞÐA = 90o+ 60o = 150o 
 ÞÐ ÐE2 = ÐB2 = 15o
 Þ Ð B1 = 45º - 15º = 30º [*]
 Tương tự ta cĩ ÐC1 = 30º [**]
 Từ [*] và [**] Þ ∆IBC cân ở I, 
mà ÐB1 = ÐC1 = 30º è ÐBIC = 120º 
Bài 67:
Cho tam giác ABC vuơng cân ở A, biết AB= AC= 4cm.
 a/ tính BC,
 b/ từ A kẻ đường thẳng AD ^ BC. (DỴ BC).
 Chứng minh D là trung điểm của BC.
 c/ từ D kẻ DE ^AC. Chứng minh tam giác AED là tam giác vuong cân.
 d/ tính AD.
H D: 
Biết hình vuơng cạnh là a thì 
đường chéo là a Ư2 (tính theo Pytagor)
 --> BC = 4 Ư2 (cm)
b/ AD là dường cao của tam giác cân thì cũng là trung tuyến AD. ( nếu chưa học tính chất này thì CM 2 tam giác vuơng DAB = DAC)
c/ CM tương tự ý b/
d/ Cĩ A DB là tam giác vuơng cân 
--> AD = DB = BC:2 = 2 Ư2 (cm)
Bài 68:
 Cho tam giác ABC vuơng tại A ( AB> AC). 
 a/ cho AB= 8cm, BC= 10cm. Tính AC
 b/ gọi M là trung điểm của BC.trên tia đối MA lấy D sao cho MD= MA. Vẽ AH vuơng gĩc với BC tại H, trên tia đối của HA lấy E sao cho HE = HA. CMR:
 1. CD vuơng gĩc với AC. 
 2. cân. 
 3. BD= CE. 
 4. AE vuơng gĩc với ED.
H D
a/ AC2 = BC2 – AB2 = 100 – 64 = 36
AC = 6 (cm)
b/ Trung tuyến tới cạnh huyển của TG vuơng thì bằng ½ cạnh huyền 
 è AM = M D = MC = MB [*]
 1/Tứ giác ABC D cĩ 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau ở trung điểm, lại cĩ 1 gĩc vuơng
 thì tứ giác ABC D là hình chữ nhật è CD^AC
 2/ Trong ∆CAE, AH là đường cao đồng thời là trung tuyến nên CAE là TG cân
(Nếu chưa học tính chất này thì CM 2 tam giác vuơng HC E = HCA )
 3/ CA E cân nên CE = AC mà AC = B D Þ B D = CE
 4/ Xét ∆DBC và C EB cĩ BC chung C E = B D; gĩc EC D = ÐCB D ( các cạnh tương ứng vuơng gĩc nhau) Þ ÐDBC = ÐECB è Tứ giác C E DB là hình thang cân Þ E D // CB Þ A E ^CB thì cũng cĩ A E^ E D
Bài 69:
 Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH vuơng gĩc với BC tại H. Vẽ HD vuơng gĩc với AB tại D. HE vuơng gĩc với AC tại E. CMR:
 a/ BH= HC 
 b/ BD= CE
H D
a/ Đường cao AH chia tam giác cân ABC thanh 2 tam giác vuơng AHB = AHC à BH = HC
b/ Xét 2 tam giác vuơng DBH = EHC vì cĩ 
BH =HC ; B = C --> BD =CE
Bài 70
. Cho rABC , kẻ AH BC. Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 8cm . Tính độ dài các cạnh AH, HC, AC? 
H D: Áp dụng định lí Pytago tinh:
 AH = 4 cm
 HC = 5 cm
 AC2 = 16 + 25 = 41
 AC = 6,4 cm