Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

1. ðịnh nghĩa 1:
Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi tại điểm nếu số gia tồn phần 
cĩ thể biểu diễn được dưới dạng:
 (1)
trong đĩ A, B là những số khơng phụ thuộc ∆x, ∆y; cịn α, β → 0 khi ∆x, ∆y → 0
Khi đĩ, đại lượng A.∆x +B.∆y được gọi là vi phân tồn phần của hàm số f(x;y) tại 
 ứng với các số gia ∆x, ∆y và được ký hiệu 
Ví dụ:
Xét hàm số . Ta cĩ:
Hay:
Do đĩ:
Cho nên hàm số khả vi tại và 
Nhận xét:
1. Xét , 
Cho thì . Khi đĩ, áp dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta cĩ:
Do đĩ, ε là VCB khi ρ → 0.
Vì vậy, biểu thức (1) cĩ thể viết dưới dạng:
 , 0(ρ) là vơ cùng bé bậc cao hơn ρ.
Hàm số khả vi và vi phân tồn phần
Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết được tốc độ thay đổi của hàm số khi 
cho 1 trong các biến số thay đổi giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 
biến khi cho cả hai biến số thay đổi.
Xét hàm số và là điểm thuộc miền xác định D. Ta cho x, y thay đổi 1 lượng 
tương ứng sao cho . Khi đĩ, giá trị của hàm số sẽ thay đổi một 
lượng:
Chứng minh:
Vì hàm số khả vi, nên từ cơng thức (1) ta cĩ:
Vậy: 
Do đĩ, hàm số liên tục tại .♦
Nhận xét:
1. Nếu hàm số f(x;y) khơng liên tục tại thì sẽ khơng khả vi tại điểm đĩ.
2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đĩ.
3. ðịnh lý 2:
Nếu f(x;y) khả vi tại thì nĩ cĩ các đạo hàm riêng tại và chúng 
tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của định nghĩa hàm số khả vi.
Chứng minh:
Thật vậy, từ cơng thức (1) ta cho , ta được:
trong đĩ α →0 khi ∆x → 0.
Do đĩ:
Vậy 
Hồn tồn tương tự ta cĩ: 
Nhận xét:
1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại thì vi phân tồn phần của hàm số tại 
được xác định bởi:
2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số cĩ đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f
(x,y) cĩ các đạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nĩ đã khả vi tại điểm đĩ. Ta xét 
hàm số sau:
3. Hàm số được gọi là khả vi trên miền D nếu nĩ khả vi tại mọi điểm thuộc D.
2. ðịnh lý 1: (ðiều kiện cần để hàm số khả vi)
Nếu hàm số khả vi tại thì nĩ liên tục tại điểm đĩ.
2. Ta khơng thể dùng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số như ở ví dụ 1 được. 
Tổng quát, chỉ cĩ thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm số dạng đa thức, cịn các 
hàm số khác thì khơng thể dùng định nghĩa để khảo sát sự khả vi tại 1 điểm. Vì vậy, ta cần phải 
tìm một cơng cụ khác để giải quyết vấn đề này.
Tương tự ta cĩ: nhưng hàm số G(x;y) khơng liên tục tại (0; 0) (xem phần giới hạn 
hàm nhiều biến) nên khơng khả vi tại (0;0)
4. ðịnh lý 3 (ðiều kiện đủ để hàm số khả vi)
Cho hàm số f(x;y) cĩ các đạo hàm riêng trong một miền D chứa điểm . 
Nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M thì hàm số khả vi tại điểm đĩ.
5. Các ví dụ:
1. Cho hàm: 
Tính và . Hàm cĩ khả vi tại (0;0) hay khơng?
Giải
ðể tính các đạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng định nghĩa mà khơng thể thế giá trị (0;0) vào biểu 
thức đạo hàm
Ta cĩ:
tương tự: = = 
Mặc dù, hàm số cĩ 2 đạo hàm riêng tại (0;0) nhưng khơng khả vi tại điểm đĩ vì hàm số đã cho 
khơng liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta cĩ.
Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn khơng tồn tại.
Do đĩ: 
Nên hàm số khơng liên tục tại (0;0) và do đĩ nĩ khơng khả vi tại (0;0)
2. Tìm vi phân của hàm số: 
Hàm số luơn xác định và liên tục với mọi nên khả vi tại mọi điểm . 
Khi đĩ ta cĩ:
Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta cĩ: