Giáo trình Hình học vi phân

ĐỖ NGỌC DIỆP - NÔNG QUỐC CHÍNH 
HÌNH HỌC VI PHÂN 
GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG 
ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG 
THÁI NGUYÊN NĂM 2006 
HÌNH HỌC VI PHÂN 
Đỗ Ngọc Diệp và Nông Quốc Chính 
GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG 
ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG 
 2
Giới thiệu 
Ở trường phổ thông, hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid 
[Ơclid]. Các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan 
hệ so sánh giữa các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình; hai vật thể 
hình học được xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua 
những phép dời hình. 
Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu thành từ 
các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 nói chung. Các quan hệ so sánh được xét như các 
phép biến đổi tuyên tính hoặc afin. Các đường bậc hai được đưa về 9 dạng chính tắc, 
các mặt bậc hai trong không gian 3-chiều được đưa về 17 dạng chính tắc Trong hình 
học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu các đường và mặt hoặc siêu 
mặt bậc 3 hay, tổng quát hơn, bậc bất kì. Phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi 
đa thức hoặc song hữu tỉ. 
Quan điểm nói trên được phát triển trong hình học vi phân khi mà các vật thể 
được cấu tạo từ các mảnh tham sô hoá bằng các tọa độ địa phương, nói chung các hàm 
tọa độ địa phương là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Do 
vậy các vật thể hình học trong hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều hơn và theo 
một nghĩa nhất định là trơn chu hơn các vật thể hình học trong các môn hình học trên. 
Phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân tương đối đa dạng . Trước hết 
hình học vi phân sử dụng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid 
Ra để xây dựng các phép tính vi phân và tích phân tương ứng trên các vật thể hình 
học. Đồng thời nó cũng vận dụng các phương pháp tổng, tổng đại số, phương pháp tổ 
hợp, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng , để tìm ra các tính 
chất của các đối tượng hình học . 
Giáo trình này được biên soạn trong khuôn khổ chương trình 90 tiết cho sinh 
viên các năm cuối đại học. Tác giả thứ nhất đã dạy chương trình này cho các lớp của 
Đại Học Thái Nguyên, Đại Học Quy Nhơn. Thực tế giảng dạy đã gợi ý cho tác giả 
chọn lọc các nội đung này. Giáo trình gồm có các chương chính sau: Chương 1 được 
dành cho việc nhìn lại lý thuyết đường và mặt bậc 1 và 2. Mục đích của chương này là 
tạo ra một khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục. Chương 2 được dành cho việc 
nghiên cứu các đường cong trong không gian Euclid n-chiều. Chương 3 được dành cho 
việc xây dựng lại khái niệm về tensơ và đại số tensơ. Chương 4 là chương trọng tâm, 
dành cho lý thuyết mặt cong trong không gian Euclid R3 . Trong chương 5 chúng tôi 
trình bày phép toán vi phân nhiều chiều cho các ánh xạ trơn, đồng thời trong chương 6 
nhấn mạnh các định lí ánh xạ ẩn và định lí ánh xạ ngược. Hai định lí này đóng vai trò 
trung tâm trong việc nghiên cứu các đa tạp con trong Rn được xác định bởi hệ phương 
trình hàm. Trong chương 7 chúng tôi trình bày lý thuyết tổng quát các đa tạp khả vi. 
Đó chính là các đối tượng trung tâm của hình học vi phân. 
Cuối mỗi chương có một số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết. Các bài tập luyện 
 3
tập cơ bản, cần được giảng viên chọn từ các nguồn khác. Giáo trình được biên soạn lần 
đầu không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được nhiều lí kiến đóng 
góp cho việc biên soạn nội dung và hình thức của giáo trình, 
Các tác giả 
 4
Chương 1 
Đường và mặt bậc hai 
Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống hoá lại những khái niệm và kết quả 
nghiên cứu đường và mặt trong Đại số tuyến tính và Hình học giải tích dưới một cách 
nhìn thống nhất là tham số hoá và tọa độ hoá. Cách nhìn thống nhất này sẽ cho một 
hình dung sơ bộ về phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân cổ điển. 
1.1 Siêu phẳng afin 
Trong Đại số tuyến tính, các siêu phẳng afin đóng vai trò cơ bản - các m-phẳng 
được xem như giao của hệ các siêu phẳng afin. 
Trong hình học afin, siêu mặt afin là đối tượng cơ bản. Các giao của các siêu mặt 
bậc 2 cho ta các đối tương kiểu các nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v 
1.1.1 Thuật khổ Gauss-jordan giải hệ phương trình tuyến tính 
Đây là công cụ cơ bản của Đại số tuyến tính cho phép đưa hệ phương trình tuyến 
tính bất kì về dạng dễ giải tới mức có thể đọc ngay được nghiệm trong dạng xếp dòng 
thu gọn. Chúng tôi không nhắc lại thuật giải đó ở đây mà chỉ lưu ý đọc giả xem nó như 
một công cụ hữu hiệu và xem lại nếu cảm thấy cần thiết. 
1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ 
Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình véctơ φ(x) = b, 
trong đó φ : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Không gian nghiệm là một m-phẳng afin 
dạng x0 + L với L là một mặt phẳng qua gốc toạ độ, là không gian nghiệm (hạt nhân) 
của ánh xạ tuyến tính φ(x) = 0 . 
Tọa độ hoá các không gian véctơ V và W bằng cách chọn trong mỗi không gian 
một cơ sở tuyến tính, ta quy bài toán về giải hệ phương trình tuyến tính. 
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với ~l biến 
và m phương trình Ax = b, với x = và cột vế 
phải b = Theo Định lý Kronecker-kapelli, hệ phương trình là có 
nghiệm khi và chỉ khi rank [A] = rank [A|b]. Nghiệm của hệ là một không gian afin 
con. Nếu ta chọn toạ độ hoá bằng cách chọn một cơ sở của không gian nghiệm rồi bổ 
 5
sung thành một cơ sở của toàn bộ Rn thì ta có thể nói rằng: Có thể tách biến x = (x, y) 
với x = (xl,, xn-r), y = (y1,, yr) sao cho r = rank [A] và ma trận con 
là khả nghịch. Các biến xl,, xn-r là biến tự do. Các biến y1,, yr là các biến phụ 
thuộc, là các hàm tuyến tính theo xl,, xn-r theo quy tắc Cramer cho hệ 
Như vậy ta có thể tìm một cơ sở trong không gian nghiệm mà trong đó các véctơ 
nghiệm tương ứng với x = (xl,, xn-r) của x0 + L. Nói một cách khác, ta có một đẳng 
cấu afin giữa Rn-r và không gian con afin x0 + L. Nên xem không gian con afin như là 
vật thể hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép 
biến đổi afin. Việc chọn một cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoá " không 
gian (đa tạp) afin đó. 
Một ví dụ khác là các hình thu được nhờ compa. Theo quan điểm trừu tượng 
compa là công cụ có tác dụng duy nhất là vẽ các đường tròn hoặc là các cung của nó. 
Một lý thuyết tổng quát các mặt bậc 2 được nghiên cứu trong phần cuối của một giáo 
trình đại số tuyến tính. Trong trường hợp này các phép biến đổi cho phép là các phép 
biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2 , tức là các phép biến đổi afin trực giao. Ví dụ với 
mặt cầu phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi trong không gian Euclid (các 
phép quay, các phép phản xạ, tịnh tiến). Bài toán quy về việc nghiên cứu hệ một hay 
nhiều (bất) phương trình bậc 2, ví dụ dạng toàn phương. Lại một lần nữa, câu hỏi tự 
nhiên được đặt ra là: có thể chăng nghiên cứu các mặt tổng quát hơn là mặt bậc 2? 
Bài toán cơ bản là các việc làm nói trên có thể thực hiện hay không khi hệ 
phương trình phi tuyến (không là tuyến tính hoặc các phương trình có bậc lớn hơn 2). 
Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng toàn bộ công cụ vi tích phân của giải tích. 
Đó cũng chính là nội dung của hình học các đa tạp khả vi. Tuy nhiên để có được điều 
đó ta phải huy động toàn bộ phép tính vi tích phân trong RA ở dạng tổng quát nhất. 
1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học 
Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp nhận các phép 
biến đổi nào. Nếu chấp nhận đủ nhiều các phép biến đổi được coi là biến đổi tương 
đương thì có đủ nhiều các vật thể hình học được đồng nhất với nhau. 
Nếu hạn chế chỉ xét các phép biến đổi hình học là tuyến tính thì chúng ta có 
nhóm biến đổi là nhóm tuyên tính tổng quát G = GL(Rn) = GLn.(R) của không gian, 
 6
gồm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. Chúng ta thu được hình học afin 
[aphin]. 
Nếu chúng ta hạn chế hẹp hơn, chỉ chấp nhận các phép biến đổi là bảo toàn 
khoảng cách, hoặc tích vô hướng, chúng ta có nhóm O(n) các biến đổi trực giao và 
hình học chính là hình học Euclid [ơclid]. 
1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc 
1.2.1 Ellipse 
Trong hình học giải tích, ellipse [elips] được định nghĩa như quỹ tích các điểm M 
mà tổng khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi 2a 
Các điểm F1 và F2 đó được gọi là các tiêu điểm. 
Gọi khoảng cách giữa hai điểm Fl và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là 
gốc O của hệ tọa độ Descartes, chọn véctơ e1 sao cho 2OF
uuur
 = de1 . Bổ sung thêm một 
véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, 
e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường 
ellipse 
1.2.2 Hyperbola 
Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích các điểm ~ mà 
trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng 
không đổi. 
Gọi khoảng cách giữa hai điểm F1 và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là 
gốc O của hệ toạ độ. Descartes, chọn véctơ e1 sao cho 2OF
uuur
= de1. Bổ sung thêm một 
véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, 
e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường 
hyperbola 
1.2.3 Parabola 
Trong hình học giải tích, parabola [parpabol] được định nghĩa như quỹ tích các 
điểm M mà khoảng cách đến một điểm F và một đường thẳng l trong mặt phẳng cho 
trước là bằng nhau. Qua điểm F, ta hạ đường vuông góc với đường thẳng l tại điểm P. 
Gọi trung điểm đoạn PF là gốc tọa độ O. Chọn các véctơ trực chuẩn e1 và e2 sao cho 
 = peOF
uuur
2. Gọi (x, y) là các tọa độ điểm M trong hệ tọa độ O, e1, e2. Khi đó ta có 
 7
phương trình đường parabola là 
1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc 
Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi 
đường bậc hai tổng quát trong mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đều được đưa về một 
trong số 9 đường chính tắc sau: 
1. Đường ellipse 
2. Đường ellipse ảo: 
3. Đường hyperbola 
4. Đường parabola 
5. Cặp hai đường thẳng song song 
6. cặp hai đường thẳng ảo song song: 
7. Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau: 
8. Cặp hai đường thẳng thẳng cắt nhau: 
9. Cặp hai đường thẳng trùng nhau: 
Chứng minh. Đọc giả có thể dễ dụng tìm thấy chứng minh định lí này trong bất 
kì giáo trình nào về Hình học giải tích. 
1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều 
 8
Định lí 1.4.1 (zĐịnh lí phân loại) Bằng phép biến đổi tọa độ thích hợp, mỗi mặt 
bậc hai tổng quát trong không gian Euclid ba chiều đều được đưa về một trong số 17 
mặt chính tắc sau: 
1 Mặt ellipsoid: 
2. Mặt ellipsoid ảo: 
3 . Mặt nón ảo : 
4. Mặt elliptic hyperboloid một tầng 
5. Mặt elliptic hyperboloid hai tầng 
6. Mặt nón bậc hai: 
7. Mặt elliptic paraboloid 
8. Mặt trụ elliptic 
9. Mặt trụ elliptic ảo: 
10. Cặp mặt phẳng ảo cắt nhau: 
11 Mặt hyperbolic paraboloid: 
12. Mặt trụ hyperbolic: 
 9
13. Cặp hai mặt phẳng cắt nhau: 
14. Mặt trụ parabolic 
15. Cặp hai mặt phẳng song song: 
16. Cặp hai mặt phẳng ảo song song: 
1 7. Cặp hai mặt phẳng trùng nhau: 
Chứng minh. Định lí được chứng minh bằng cách chọn phép đổi toạ độ thích 
hợp làm biến mất phần tuyến tính. Dạng toàn phương và hệ số tự do quyết định động 
của mặt cong. 
Trường hợp 1: Dạng toàn phương có ba giá trị riêng khác 0: : 
Phương trình được đưa về dạng 
1a. Các giá trị cùng dấu, quy về λ1>0, λ2 >0, λ3>0 
1. Nếu c > 0 ta có thể đặt 
2. Nếu c < 0, ta có thể đặt 
3. Nếu c = 0 ta có thể đặt 
1b. Các giá trị riêng khác dấu, quy về λ1>0, λ2 >0, λ3<0 
4. Nếu c > 0 ta có thể đặt 
5. Nếu c < 0, ta có thể đặt 
6. Nếu c = 0 ta có thể đặt 
Trường hợp 2 : Có đúng một giá trị riêng bằng không, ví dụ λ1≠0, λ2 ≠0, λ3≠0: 
 10
2a. λ1 và λ2 cùng dấu: λ1>0, λ2 >0, λ3=0. Khi có một giá trị riêng λ3=0 thì hệ số 
tự do lại có thể làm triệt tiêu. Nếu hệ số bậc nhất theo z khác 0 ta có thể đặt là ±2p, 
p>0. Ta có 
Nếu hệ số bậc nhất theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạng 
Ta có ba trường hợp : 
8. Nếu c > 0 ta có thể đặt 
9. Nếu c < 0, ta có thể đặt 
10. Nếu C = 0 ta có thể đặt 
2b. λ1 và λ2 khác dấu: λ1 > 0, λ2 < 0, λ3 = 0 
11. Nếu c > 0 ta có thể đặt 
12. Nếu c < 0 ta có thể đặt 
13. Nếu c = 0 ta có thể đặt 
Trường hợp 3: Có đúng một giá trị riêng khác 0, ví dụ λ1 > 0, λ2 = λ3 = 0. Khi 
đó phương trình tổng quát có dạng 
Nếu ta thực hiện phép đổi tọa độ trực giao: 
Trong hệ tọa độ mới này, phương trình có dạng 
Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ 
 11
ta có các trường hợp 
14. Nếu D = 0 thì phương trình tổng quát có dạng 
Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ theo trục x ta nhận được phương trình mới dạng: 
Ta có ba trường hợp: 
15. ta đặt 
16. ta đặt 
17. chia hai vế cho 
1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc 
Giả sử là hai hệ toạ độ Descartes với 
là phép chuyển toạ độ 
với 
tức là 
 12
Nói cách khác qua phép biến đổi tọa độ, 
Siêu mặt bậc 2 là qui tích các điểm EM trong không gian Euclid afin AV thoả mãn 
phương trình 0-điểm của một hàm bậc 2 
trong đó phần bậc hai ~ là không đồng nhất bằng 0. Nếu trên siêu mặt bậc 2 có 
(điểm) tâm đối xứng , tức là thoả mãn phương trình q(M) = 0 nếu thoả 
mãn, thì viết trong gốc tọa độ tại phần bậc nhất triệt tiêu 
Giả sử M là một điểm trên siêu mặt đang xét. Đường thẳng D có phương e qua M 
gồm các điểm có dạng + te . Cho nên giao của nó với siêu mặt bậc 2 cho bởi S: 
q(M) = 0 gồm các điểm mà t thoả mãn phương trình bậc 2 
với 
Phương e là phương không tiệm cận nếu φ(e, e) ≠ 0. 
Nếu véctơ e không thuộc hạt nhân của φ tức là φ(e, e) ≠ 0 thì siêu phẳng kính 
liên hợp với phương e được cho bởi 
Hai véctơ u, v trong không gian afin AV là liên hợp với nhau qua hàm (bậc 2) φ , 
nếu φ(u, v) = 0 . Véctơ tự do e được gọi là phương chính của hàm bậc hai q(M) nếu nó 
liên hợp với tất cả các véctơ vuông góc với nó, tức là φ(e, u) = 0. với mọi u ⊥ e. 
Kết qua cơ bản của hình học giải tích là: 
Định lí 1.5.1 (phân loại các siêu mặt bậc hai) Mỗi siêu mặt bậc hai S: q(M) = 
φ(OM, OM) + 2f(OM) + c = 0 trong không gian Euclid afin AV, bằng các phép biến 
đổi afin đẳng cự, đều được đưa về dạng chính tắc trong hệ toạ độ chính tắc (O, e1,, 
en) với ei là các phương chính của q(M): 
1. Trường hợp có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2 + λr(xr)2 + c Với r < n, λi ≠ 0, λ1 ≥ 
 ≥ λr điểm gốc O ở tâm đối xứng. 
2. Trường hợp không có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2 + λr(xr)2 + 2pxr+1, trong đó 
0 0 
 13
Nhận xét 1.5.2 Nếu trong trường hợp λ1 ≥  ≥ λr > 0 ta thêm các phép biến đổi 
siêu việt đưa tọa độ Descartes về tọa độ cực 
với , thì siêu mặt 
ellipsoid có dạng r2 + c = 0. Tương tự trong trường hợp có λi với dấu âm, ta xét các 
hàm lượng giác hyperbolic, cũng có kết quả tương tự. Như vậy việc mở rộng nhóm 
biến đổi cho phép mô tả cấu trúc các siêu mặt bậc hai. 
1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid 
Chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự trong mặt phẳng. Dễ 
dàng nhận thấy rằng " Hai đường bậc 2 trong mặt phẳng là tương đồng dời hình với 
nhau nếu và chỉ nếu chúng thu được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng 
cự" . Mệnh đề sau là một bài tập hiển nhiên. 
Mệnh đề 1.6.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiên trong mặt phẳng, O(2) là nhóm 
các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hình 
đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(2) R2 . 
l.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều 
Tương tự như trên, chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự 
trong không gian Euclid afin 3 -chiều . Dễ dàng nhận thấy rằng " Hai mặt bậc 2 trong 
không gian Euclid 3-chiều là tương đồng dời hình với nhau nếu và chỉ nếu chúng thu 
được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự". Mệnh đề sau cũng là một bài 
tập hiển nhiên. 
Mệnh đề 1.7.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiên trong không gian Euclid 3-
chiều, O(3) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép 
biến đổi dời h ình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(3 R3 . 
1.8 Phương pháp toạ độ cong 
Chúng ta nhắc lại một số phép biến đổi toạ độ quen biết: 
• Tọa độ cực trong mặt phẳng 
 14
• Tọa độ cực hyperbolic trong mặt phẳng 
• Tọa độ cầu trong không gian 3-chiều 
• Tọa độ trụ trong không gian 3-chiều 
• Tọa độ cầu trong không gian n-chiều 
v v. . . . 
1.8.1 Các đường bậc 2 tham số hoá 
Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong 
hệ tọa độ elliptic 
 15
phương trình đường ellipse trở thành r = 1 , 0 < (là < 27r. 
Hệ quả 1.8.1 Qua phép biến đổi tọa độ elliptic nói trên, đường ellipse được biến 
thành đoạn đóng-mở. 
Các phép biến đổi toạ độ tương tự được áp dụng cho các đường cong bậc 2 khác. 
1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá 
Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong 
hệ toạ độ cầu elliptic 
với phương trình mặt ellipsoid 
trở thành 
Hệ quả 1.8.2 Qua phép biến đổi toạ độ cầu e/11ptic nói trên, mặt ellipsoid được 
biến thành hình vuông đóng- Các phép biến đổi tọa độ tương tự được áp dụng cho các 
mặt cong bậc 2 khác . 
Nhận xét 1.8.3 Bằng cách chấp nhận thêm các phép biến đổi siêu việt (kiểu các 
phép đổi tọa độ phi tuyên nói trên) các đường và mặt bậc 2 trở thành các hình hình 
học hết sức đơn giản. Những phép biến đổi như thê chính là các phép biến đổi vi phôi 
(các ánh xạ khả vi khả nghịch và nghịch đảo cũng là khả vi tại mọi điểm). Phân loại 
các vật thể hình học với độ chính xác trên vi phôi chính là phương pháp của hình học 
vi phân. 
1.9 Bài tập củng cố lý thuyết 
1 . Dùng các hệ tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường bậc 2 . 
2. Dùng các hệ tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá các mặt bậc 2. 
3 . Dùng các hệ tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường conic. 
4. Xây dựng vi phôi đĩa mở với không gian Eucliđ chứa nó. 
5 . Qua phép đổi tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá đường bậc 2 và mặt bậc 2 bất 
kì. 
 16
Chương 2 
Lý thuyết đường cong trong Rn 
Hình học Riemann và hình học symplectic tổng quát sẽ được giới thiệu sơ bộ 
trong chương này. Để làm rõ bản chất của hình học chúng tôi chỉ chú trọng vào các 
đường cong và mặt cong. Hình học các đa tạp nhiều chiều là chuyên ngành về lý 
thuyết đa tạp có metric. 
2.1 Cung tham số hoá và cung chính quy 
Trước hết chúng ta nhận xét rằng tồn tại các phép vi phôi giữa khoảng mở (a, b) 
bất kì với toàn bộ R, ví dụ có thể chọn hàm 
Hàm này có đạo hàm liên tục và khả nghịch, hàm ngược chính là hàm 
cũng có đạo hàm liên tục . 
Định nghĩa 2.1.1 Cung tham số hoá trong Rn là ảnh của một song ánh liên tục 
ϕ từ một khoảng mở (a, b) ≅ R vào Rn . 
Ví dụ. Cung tham số hoá xác định bởi các hàm tọa độ 
với t ∈ R. 
Định nghĩa 2.1.2 Hai tham số hoá ϕ : (a, b) → Rn và : (c, d) → Rn được gọi 
là tương thích với nhau, nên chúng sai khác nhau một vi phôi, tức là tồn tại một ánh 
xạ khả vi liên tục, khả nghịch và ánh xạ ngược là khả vi liên tục α : (a, b) → (c, d) sao 
cho 
Định nghĩa 2.1.3 Đường cong liên tục là ảnh của một ánh xạ liên tục từ một 
khoảng mở (a, b) vào Rn. Đường cong tham số hoá là họp của một họ các cung tham 
số hoá. Nói cách khác ta có thể chia đường cong thành hợp các cung tham số hoá. 
Ví dụ. Đường tròn S1 có thể chia thành hợp của hai cung tham số hoá, mỗi cung 
là S1 trừ đi một điểm khác nhau, ví dụ, Sl = U1 ∪ T2 với các cung U1 = Sl \ {N}, U2 = 
 17
Sl \ {S}, trong đó N là điểm cực bắc và S là điểm cực nam trên vòng tròn. 
Định nghĩa 2.1.4 (Cung tham số hoá chính quy) Điểm F cho bởi r(t) trên cung 
tham số hoá : (a, b) → Rn được gọi là điểm chính quy , nếu đạo hàm của 
tham số hóa là khác 0. Cung tham số hoá được gọi là cung chính quy, nên mọi điểm 
của nó là chính quy Đường cong được gọi là đường cong chính quy, nên nó là hợp của 
các cung tham số hoá chính quy. 
Nhận xét rằng nếu một điểm là chính quy trong một tham số hoá thì, theo quy tắc 
đạo hàm của hàm hợp, nó cũng là chính quy trong mọi tham số hoá tương thích khác 
Bởi thế khái niệm chính quy không phụ thuộc việc chọn tham số hoá. 
Định nghĩa 2.1.5 (tham số hoá đường cong) Mỗi hệ toạ Descartes trong không 
gian Euclid En ≈ Rn cho ta một tham số hoá địa phương các khoảng mở của đường 
cong bằng các hàm thành phần: 
Khi đó x(t) = x1(t), , xn(t)), với xi(t) là các hàm trơn. Véctơ tiếp xúc với đường 
cong tại một điểm x = x(t) với t cố định là trong tọa độ Descartes 
của Rn . 
2.2 Độ dài đường cong trong Rn. Đường trắc địa 
Khái niệm đường cong chính quy trùng với khái niệm đa tạp con một chiều. 
Đường cong trong đa tạp M = Rn được gọi là đường cong dìm trong M = Rn nếu 
nó là đa tạp con một chiều trong mỗi bản đồ tọa độ địa phương, tức là được xác định 
bởi hệ phương trình với hạng của ma trận Jacobi là n - 1 . 
Ví dụ 
1. là đường cong dìm trong R2. Nhưng 
 thì không thể là đa tạp con dìm trong mặt phẳng R2 . 
Các điểm (0, y) không là điểm chính quy, vì chúng không có đạo hàm liên tục. 
2. Ảnh của đường thẳng y = θx, với hệ số góc θ vô tỉ không thể là đường dìm 
trong xuyến T2 = R2 / T2
Định lí 2.2.1 (Bài toán Cauchy cho đường cong) Nếu trường véctơ ξ(x) là 
trường véctơ trơn trên cung tham số hoá thì bài toán Cauchy 
Có nghiệm duy nhất và nghiệm đó gọi là đường cong qua điểm x . 
Độ dài của một véctơ tiếp xúc là 
 18
Định nghĩa 2.2.2 Độ dài của cung nôi hai điểm x0 = x(t0) và x = x(t) là 
Chúng ta không thể nói tới đường thẳng trong đa tạp M. Nhưng chúng ta có thể 
xét tới những đường có tính chất của đường thẳng . 
Định nghĩa 2.2.3 (Đường trắc địa) Đường cong trong đa tạp M nối 2 điểm x0 và 
x có độ dài ngắn nhất được gọi là đường trắc địa nối hai điểm đó. 
Định lí 2.2.4 (Bài toán biến phân cho đường trắc địa) Đường trắc địa là 
nghiệm của bài toán biến phân 
và thoả mãn phương trình vi phân tương ứng với bài toán biến phân đó 
Tức là đường đi ngắn nhất nối hai điểm x0 và xl trong Rn là đường thẳng đi qua 
hai điểm đó. 
Thật vậy theo nguyên lí Fermat, đường cong có độ dài ngắn nhất khi đạo hàm 
biến phân triệt tiêu, lấy đạo hàm biến phân của phiếm hàm ta có phương trình 
Đạo hàm biến phân giao hoán với tích phân ta có 
Đạo hàm biến phân và đạo hàm theo t giao hoán với nhau cho nên ta có thể đổi 
chỗ 
Lấy tích phân từng phần theo t ta có 
 19
Cho nên ta có 
Suy ra x(t) = a + L.t tức là đường thẳng. Vì với t = t0 có x = x0 và với t = t1 có x = 
x1 suy ra 
Nếu đường cong là chính quy thì s(t) ≠ 0. Theo định lí hàm ngược , tồn tại hàm 
ngược t = t(s) . Khi đó ta c ó thể chọn chính s là một tham số của đường cong. 
Định nghĩa 2.2.5 Tham số hoá đường cong theo tham số độ dài của nó từ một 
điểm cố đinh x0 = x(t0) đến một điểm x = x(t) bất kì được gọi là tham số hoá tự nhiên 
Mệnh đề 2.2.6 Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, véctơ tiếp xúc 
luôn có độ dài là 1 , 
Chứng minh. Thật vậy, trong tham số hoá tự nhiên, 
cho nên theo định lí hàm ngược, 
Cho nên, 
2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frenet. Độ cong. Độ xoắn. 
Giả sử chúng ta có đường cong 
 20
Mệnh đề 2.3.1 Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, đạo hàm véctơ 
tiếp xúc (s) theo biến tham sống dài s là một véctơ (s) vuông góc với véctơ tiếp 
xúc (s). 
Chứng minh. Thật vậy, chúng ta đã chỉ ra rằng 
Do vậy, 
Tức là 
Định nghĩa 2.3.2 Véctơ chuẩn hoá được gọi là véctơ pháp tuyến của 
đường cong tại 
Định nghĩa 2.3.3 Đại lượng gọi là độ cong tại điểm x(s). 
Nhận xét 2.3.4 (Ý nghĩa hình học của độ cong) Độ cong k(s) của đường cong 
chính quy tại x(s) là với R bán kính của đường tròn tiếp xúc với đường cong, tâm ở 
điểm cuối của véctơ (s) . 
Thật vậy Chúng ta có công thức khai triển Taylor bậc nhất 
với ε = o (∆s) và là một điểm trung gian giữa s và s + (∆s). Do vậy ta có 
Theo hệ thức trong tam giác trong hình học sơ cấp, 
[trong đó θ là góc giữa véctơ (s) và véctơ (s+∆s) 
 21
Định nghĩa 2.3.5 (Hệ quy chiếu Frenet) Véctơ là véctơ tiếp xúc. Véctơ 
 được gọi là véctơ pháp tuyến. Véctơ được 
gọi là véctơ trùng pháp tuyến. Hệ quy chiếu (s), , được gọi là hệ quy 
chiếu Frenet . Mặt phẳng sinh bởi hai véctơ đơn vị và được gọi là mặt 
mật tiếp. Mặt phẳng sinh bởi và được gọi là mặt pháp diện. Mặt phẳng 
sinh bởi hai véctơ và được gọi là mặt trực đạc . 
Theo định nghĩa ta có 
cho nên theo quy tắc đạo hàm , cùng phương (nhưng có thể không cùng 
hướng) với , tức là ⊥ , . Đặt là hệ Số tỉ lệ Sao cho 
Định nghĩa 2.3.6 Hệ số được gọi là độ xoắn của đường cong tại x(s). 
Nhận xét 2.3.7 Trong mặt mật tiếp ta có thể nhìn thấy hình ảnh của đường cong 
như đường cong phẳng chính quy tiếp xúc với trục , nằm về phía . Trong mặt 
trực đặc ta cũng nhìn thấy đường cong là đường cong phẳng tiếp xúc với trục 
nhưng có thể nằm về hai phía. Trong mặt pháp diện ta nhìn thấy hai nhánh đường 
cong theo hình gấp nếp. 
Định lí 2.3.8 (Công thức Frenet) 
hay là 
Chứng minh. Trước hết theo định nghĩa độ cong, 
 22
Theo định nghĩa véctơ trùng pháp tuyến 
Cho nên ta có 
Vì lẽ , nên . Tức là là tổ hợp 
tuyến tính của hai véctơ còn lại. Nhưng suy ra 
Từ suy ra 
Cho nên 
Nhận xét 2.3.9 Trong lân cận điểm x(s), ảnh của đường cong lên mặt mật tiếp và 
mặt trực đặc là các đường cong tiếp xúc với . Hình chiếu trực giao của đường 
cong lên mặt pháp diện là hai nhánh cùng đi từ gốc tọa độ tiếp xúc với phương 
có kì dị hình nếp gấp. Do vậy cơ sở Frenet cho một nghiên cứu định tính đưng cong tại 
lân cận mỗi điểm. Từ đó suy ra rằng hình ảnh của đường cong trong hệ toạ độ Frenet 
là tiếp xúc với phương và là giải kì dị với phương . 
2.4 Định lí cơ bản 
Nhận xét 2.4.1 Các khái niệm độ dài đường cong, độ cong của cung chính quy là 
những khái niệm bất biến qua đảng cấu affine trực giao còn khái niệm độ xoắn của 
cung song chính quy định hướng bất biến qua các phép biến đổi affine trực giao, bảo 
 23
toàn định hướng. 
Trên thực tế độ cong và độ xoắn xác định chính đường cong. Chúng ta phát biểu 
kết quả cơ bản của lí thuyết đường cong bỏ qua chứng minh. 
Định lí 2.4.2 (Định lí cơ bản) Cho hai hàm số k(s) ≥ 0 và κ(s) khả vi lớp Cl,l ≥ 0 
trên khoảng mở J ⊆ R. 
1. Tồn tại cung chính quy định hướng với tham số hoá tự nhiên J → R3, s r(s) 
khả vi lớp Cl+2, nhận k(s) và κ (s) là độ cong và độ xoắn tương ứng. 
2. Nếu tồn tại hai cung chính quy r và lo với tính chất trên, thì tồn tại một phép 
dời hình (tức là một đảng cấu affine trực giao bảo toàn định hướng biến chúng sang 
nhau, r = f o p. 
Do khuôn khổ chương trình, chúng ta bỏ qua chứng minh. 
Sẽ rất thuận tiện khi chúng ta có thể dẫn ra công thức tính độ cong và độ xoắn 
trong tham số hoá bất kì. 
Mệnh đề 2.4.3 Giả sử là một tham sô/ hoá bất kì của một cung cong. 
Khi đó độ cong và độ xoắn được tính theo công thức 
Chứng minh. Thật vậy, 
Cho nên, 
Chúng ta lại có 
 24
Cho nên, 
Chúng ta chỉ cần quan tâm đến thành phần chứa trong , 
Cho nên ta có 
Ví dụ. Cho dường cong tham số hoá là = với 
Khi đó, 
Cho nên, 
 25
2.5 Bài tập củng cố lý thuyết 
1 Cho đường cong tham số hoá là đường xoắn ốc 
Hãy tính độ cong và độ xoắn tại điểm bất kì. 
2. Tính độ cong và độ xoắn của đường ellipse tại một thể bất kì. 
3 . Tính độ cong và độ xoắn của đường hyperbola tại một thể bất kì. 
4. Tính độ cong và độ xoắn của đường parabola tại một thể bất kì. 
5 . Cho đương cong bậc 2 tổng quát 
Hãy tính độ cong và độ xoắn tại một điểm bất kì. 
 26
Chương 3 
Đại số ten sơ, đại số ngoài, ten sơ đối xứng 
3.1 Tích ten sơ các không gian véctơ 
Định nghĩa 3.1.1 Giả sử V và W là hai không gian véctơ trên trường . Kí hiệu 
VW là không gian véctơ sinh bởi tập V x W . Phần tử tổng quát trong VW có dạng tổ 
hợp tuyến tính hình thức 
trong đó tổng được hiểu theo nghĩa đại số, tức là chỉ có một số hữu hạn các hệ số 
là khác 0. Xét không gian véctơ con L, sinh bởi tất cả các phần tử có dạng 
Khi đó không gian thương VW/L được gọi là tích tensơ của hai không gian 
véctơ V và W và được kí hiệu là V W. Các phần tử trong không gian thương được 
kí hiệu là 
Hệ quả 3.1.2 Trong tích ten sơ ta luôn có các hệ thức thể hiện tính song tuyên 
Hệ quả 3.1.3 Nếu e1, . . . , en là một cơ sở của không gian véctơ V và f1, , fm là 
một cơ sở của không gian véctơ W thì các véctơ ei ⊗ fj, i = 1n, j = 1 m sinh ra tích 
ten sơ V W. 
Ngược lại ta có thể dùng chính các phần tử sinh này để định nghĩa tích ten sơ. 
Định nghĩa 3.1.4 (Định nghĩa II) Giả sử không gian véctơ V có một cơ sở là ei i 
= 1. n và không gian véctơ W có một cơ sở là fj , j = 1m . Kí hiệu hình thức ei ⊗ fj 
= (ei, fj) là cặp các véctơ cơ sở. Khi đó bao tuyến tính hình thức 
 27
được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ với cơ sở. 
Hệ quả 3.1.5 (Tính chất phổ dụng) Tồn tại ánh xạ song tuyên tính tự nhiên ι : V x W 
→ V⊗W. Nếu B : V x W → F là một ánh xạ xong tuyên tính, thì tồn tại duy nhất một 
ánh xạ tuyên tính ϕB : V⊗W→F từ tích tensơ V⊗W vào F sao cho B = ϕB o ι B
 Ngược lại ta có thể dùng tính chất phổ dụng làm định nghĩa tích tensơ. 
Định nghĩa 3.1.6 (Định nghĩa III) Tích tensơ của hai không gian véctơ V và W 
là một cặp gồm một không gian véctơ, kí hiệu là V⊗W và một ánh xạ song tuyến tính ι 
: V x W → V⊗W sao cho với mọi cặp gồm một không gian véctơ F và một ánh xạ song 
tuyến tính B : V x W → F, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ϕB : V⊗W→F sao 
cho B = ϕ o ι 
B
Mệnh đề 3.1.7 Ba định nghĩa I-III là tương đương nhau. 
Chứng minh Dễ thấy ngay Định nghĩa I suy ra Định nghĩa II và Định nghĩa II 
suy ra Định nghĩa III. Ngược lại, từ Định nghĩa III suy ra Định nghĩa II vì do Định 
nghĩa II có tính phổ dụng. Từ Định nghĩa II suy ra Định nghĩa I do lí luận theo số 
chiều. 
3.2 Tích ngoài và tích ten sơ đối xứng 
Định nghĩa 3.2.1 Giả sử V1,  , Vn là các không gian véctơ trên trường cơ sở 
Ta có thể tạo ra tổng trực tiếp của các tích ten sơ các không gian véctơ xếp thứ tự 
trong đó 
Không gian véctơ 
con sinh bởi các phần tử dạng 
 28
được gọi là tích ngoài và được kí hiệu là V1 ∧∧ Vn Không gian