Giáo án Tìm hiểu Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

A. 
HUỲNH VĂN LƯỢNG 
0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305 
0967.859.305 – 0929.105.305 – 0666.513.305 
www.huynhvanluong.com 
--
---- 
  Các nội dung trong Quyển 5: 
  Hệ phương trình Trang 2 
  Phương trình, Bpt đại số Trang 21 
  Tìm đọc trọn bộ gồm 6 Quyển với các nội dung: 
  Quyển 1: Hàm số - Số phức-Mũ và logarit 
  Quyển 2: Tích phân – Hình oxyz 
  Quyển 3: Lượng giác – Tổ hợp - Xác suất 
  Quyển 4: Hình cổ điện – Hình Oxy 
  Quyển 5: Phương trình, bpt và hệ pt đại số 
  Quyển 6: 100 đề thi THPT Quốc gia 
Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới 
Huỳnh Văn Lượng 
(đồng hành cùng hs trong suốt chặn đường THPT) 
LƯU HÀNH NỘI BỘ 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 2 0918.859.305-01234.444.305 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
ooOoo 
I. ĐN: là hệ hai ẩn x, y có dạng: 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =

+ =
II. Cách giải: 
 Bước 1: Tính các định thức : 
 1221
22
11 baba
ba
ba
D −== (gọi là định thức của hệ) 
 1221
22
11 bcbc
bc
bc
Dx −== (gọi là định thức của x) 
 1221
22
11
caca
ca
ca
Dy −== (gọi là định thức của y) 
 Bước 2: Biện luận 
 * 0≠D : hệ có nghiệm duy nhất 






=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
 * D = 0 và 0≠xD hoặc 0≠yD : hệ vô nghiệm 
 * D = Dx = Dy = 0: hệ có vô số nghiệm 
Bài tập: 
1. Cho hệ phương trình: 1
2
mx y m
x my m
+ = +

+ =
 a) Giải và biện luận hệ 
 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập m 
 c) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên 
 2. Cho hệ phương trình: 2 1
2 2 5
mx y m
x my m
+ = +

+ = +
 a) Tìm m để hệ vô nghiệm 
 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa x<y 
 3. Với giá trị nguyên nào của tham số m hệ phương trình 4 2mx y m
x my m
+ = +

+ =
 có nghiệm 
duy nhất (x;y) với x, y là các số nguyên. ĐS: m 1 m 3= − ∨ = − 
 4. Cho hệ: 1
3
x my
mx y
− =

+ =
(TS2008).Tìm m để hệ có nghiệm x,y thỏa x.y < 0 
---------------------------------------------------- 
HEÄ ĐỐI XỨNG 
ooOoo 
I. ĐN: là hệ không thay đổi khi thay x, y cho nhau 
II. Các loại hệ đối xứng: 
 1. Hệ đối xứng loại I: là hệ đối xứng mà khi thay x=y, y =x vào một trong hai 
phương trình của hệ thì không ra được phương trình còn lại của hệ 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 3 0918.859.305-01234.444.305 
 Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với 2 4S P≥ . 
 Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn 2 4S P≥ . 
 Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình : 
2 0X SX P− + = ( định lý Viét đảo ). 
 2. Hệ phương trình đối xứng loại II:là hệ đối xứng chứa hai ẩn x,y mà khi ta 
thay đổi vai trò x,y cho nhau vào một phương trình thì phương trình nầy trở thành 
phương trình kia của hệ. 
 Cách giải: 
 - Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về phương trình tích số. 
 - Kết hợp một phương trình tích số với một pt của hệ để tìm nghiệm 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình ( )2 2
11
3 28
x y xy
x y x y
+ + =

+ + + =
Lời giải: 
Đặt S x y= + và P xy= (S2-4P≥0), hệ đã cho trở thành: 
2
11 (1)
2 3 28 (2)
S P
S P S
+ =

− + =
Từ (1) suy ra 11P S= − , thay vào phương trình (2) ta được: 
( )2 22 11 3 28 hay 5 50 0.S S S S S− − + = + − = 
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: 5; 10.S S= = − 
* Nếu 5S = thì 6,P = nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: 
( )( )2 25 6 0 2 3 0
3
t
t t t t
t
=
− + = ⇔ − − = ⇔ 
=
 Suy ra ( ) ( ); 2; 3x y = hoặc ( ) ( ); 3; 2 .x y = 
* Nếu 10S = − thì 21,P = nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: 
( )( ) 310 21 0 3 7 0
7
t
t t t t
t
= −
+ + = ⇔ + + = ⇔ 
= −
 Suy ra ( ) ( ); 3; 7x y = − − V ( ) ( ); 7; 3 .x y = − − 
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( )2; 3 ; 3; 2 ; 3; 7 ; 7; 3 .− − − − 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 
3
3
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x
 + =

+ =
Lời giải: Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được: 
( ) ( )( )3 3 2 2
2
2 2 2
 2 2 0
30 ( 2 2 0 , ) .
2 4
x y y x x y x xy y
y
x y x xy y x y x y y x
− = − ⇔ − + + + =
 
⇔ − = + + + = + + + > ∀ ⇔ = 
 
V × 
Thay y x= vào (1) ta được: 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 4 0918.859.305-01234.444.305 
( )( )3 2
1
2 1 0 1 1 0 1 5
2
x
x x x x x
x
=

− + = ⇔ − + − = ⇔
− ±
=

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là: ( ) 1 5 1 5 1 5 1 51; 1 ; ; ; ; .
2 2 2 2
   
− − − − − + − +
      
   
Ví dụ 3 (D2004). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 1 
1 3
x y
x x y y m
 + =

+ = −
HD: - Đặt 2, 0 ( 4 0)
, 0
S xy S
S P
P x y P
 = ≥
− ≥
= + ≥
 - Đưa hệ phương trình theo ẩn S,P. Sau đó giải tìm S, P 
 - Điều kiện để hệ có nghiệm là: S≥0, P≥0, S2-4P≥0. ĐS: 1 1;
4 3
m
 
∈   
Bài tập: 
1. Giaûi caùc heä phöông trình sau : 
 1) 



=++
=++
2
422
yxxy
yxyx 2)  − + = −
+ − =
2 2
1
1
x y xy
x y xy
 3) 



=+
=++
30
11
22 xyyx
yxxy
 4)



=+++
=+
092)(3
1322
xyyx
yx 5) 




=+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx 6) 




=+
=+
20
6
22 xyyx
xyyx 
 7) 
30 
35
x y y x
x x y y
 + =

+ =
 8) 




=−+
=+
4
4
xyyx
yx
 9)



=+
=+
2
3444
yx
yx 
 Đáp số: 1) (0;2); (2;0) 2) − −(0; 1),( 1;0) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 
4) − − − ± − ∓10 10(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 )
2 2
 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) 7) (4;4) 
2. Giaûi caùc heä phöông trình sau: 
 1) 
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x y y
y x x
 + = −

+ = −
 2) 




=+
=+
yxyy
xxyx
32
32
2
2
 3) 
2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
y x x x
x y y y
 = − +

= − +
 4) 
2
2
13
13
x y
x
y x
y

+ =

 + =

 5) 







+
=
+
=
2
2
2
2
23
23
y
x
x
x
yy
 6) 
3 2
3 2
x 2x 2x 1 2y
y 2y 2y 1 2x
 − + + =

− + + =
 7) 

− = −
−
− = −
2 2
2 2
2 3 2
( 2000)
2 3 2
x x y
QG
y y x
 8)
 = −
−
= −
2
2
3
( 98)
3
x x y
MTCN
y y x
 9)

+ =

−
 + =

1 3
2
( 99)
1 3
2
x
y x
QG
y
x y
 10)
 = +
−
= +
3
3
3 8
( 98)
3 8
x x y
QG
y y x
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 5 0918.859.305-01234.444.305 
 11)

+ =
−
 + =

2
2
3
2
( 2001)
3
2
x y
x
TL
y x
y
 12) 
 +
=

−
+
=

2
2
2
2
2
3
( 2003)
2
3
y
y
x
KhèiB
x
x
y
3. Cho hệ phương trình: 
3
3
3
3
x y m
y x m
 − =

− =
 a) Giải hệ khi m = -2 
 b) Tìm m để hệ phương trình có 03 nghiệm phân biệt 
------------------------------ 
HEÄ ĐẲNG CẤP (THUẦN NHẤT) 
ooOoo 
I. ĐN: là hệ có ẩn số x, y cùng bậc hai hoặc cùng bậc ba 
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
 + + =

+ + =
 + + + =

+ + + =
3 2 2 3
1 1 1 1 1
3 2 2 3
2 2 2 2 2
e
e
a x b x y c xy d y
a x b x y c xy d y
II. Cách giải: 
 Bước 1: Kiểm tra xem (0;y) có phải là nghiệm của hệ hay không? 
 Bước 2: Với x ≠ 0 ta đặt y = kx. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn k,x. 
 Từ 2 phương trình, lập tỉ số khử x để được 1 phương trình chứa k. 
 Bước 3: Giải phương trình tìm k rồi suy ra x,y. 
--------- 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 3 4
4 5y 2
x xy y
x xy
 + − =

− + =
Hướng dẫn: 
 - Ta thấy (0; y) không phải là nghiệm của hệ. 
 - Đặt y = kx, thế vào hệ rồi lập tỉ số tìm được k=0; k =1 
 - Thế k vào một trong hai phương trình để tìm x, rồi suy ra y 
 ĐS: hệ có 4 nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( )1; 1 ; 1; -1 ; 2; 0 ; 2; 0 .− − 
Bài tập: 
1. Giải các hệ phương trình sau : 
 1) 
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
 + + =

+ + =
 2) 




=−−
=−−
495
5626
22
22
yxyx
yxyx 3) 
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy
 + =

+ =
 4) 
3 3
3 2 2
2
1
x y
x x y xy
 − =

+ + =
 5) 

− =
−
− − =
2
2 2
3 2 16
( )
3 2 8
x xy
HH TPHCM
x xy x
2. Giải các hệ phương trình sau : 
 1)

− + =
−
− + =
2 2
2 2
2 3 9
( )
2 13 15 0
x xy y
HVNH TPHCM
x xy y
 2)

− =
−
+ =
2 2
2 2
2 ( ) 3
( § 97)
( ) 10
y x y x
M C
x x y y
-------------------------------------- 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 6 0918.859.305-01234.444.305 
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
ĐỂ GIẢI HEÄ PHƯƠNG TRÌNH 
ooOoo 
I. ĐN: để ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phương trình thì hệ đó phải có 
một phương trình dạng: f(x) = f(y) (hoặc f(u) = f(v)), trong đó hàm số f(t) là đồng biến 
hoặc nghịch biến trên điều kiền xác định D của hệ phương trình. 
II. Ví dụ: 
Ví dụ 1(A2003). Giải hệ phương trình 
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −


= +
Điều kiện xác định của hệ phương trình 0, 0x y≠ ≠ 
Xét hàm số 2
1 1( ) '( ) 1 0, 0f t t f t t
t t
= − ⇒ = + > ∀ ≠ 
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên { }\ 0R 
Mặt khác: 1 1 ( ) ( )x y f x f y x y
x y
− = − ⇔ = ⇒ = 
Ta được hệ phương trình như sau 3 3 1 52 1 2 1 0 1,
2
x y
x y x y
y x x x x x
=
= =  
⇔ ⇔  
− ±
= + − + = = =  

Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm 1 51,
2
x y x y − ±= = = = 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
3
2 2
( 2) 1
1
x x y y
x y
 + = + +

+ =
3 3 3(1) ( 1) 1 ( ) ( 1), ( ) 1x x y y f x f y f t t t x y⇔ + = + + + ⇔ = + = + ⇔ = + 
Thay 1x y= + vào (2) ta có: 2 0 11 1 0
1 0
y x
y y
y x
= ⇒ =
+ + + = ⇔ 
= − ⇒ =
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1) 
Bài tập: 
1. Giải các hệ phương trình sau : 
 a) tan tan
2
x y y x
x y pi
− = −

− =
3 3
3
1 1
)
3 2 0
x y
x yb
x y

− = −


− + = 
2. Giải các hệ phương trình sau : 
3 3 0)
2 6
x y x y
a
x y
 − + − =

+ =
2 2
)
y 12
x yx e y e
b
x xy
 + = +

+ + =
2 21 1)
2 9
x x y y
c
x y
 + − = + −

+ =
3
ln ln)
2 3 1 0
x x y y
d
x xy
+ = +

− + =
44
2 2
1 1 2)
2 ( 1) 6 1 0
x x y y
e
x x y y y
 + + − − + =

+ − + − + =
 e) 
32(2 1) 2 1 (2 3) 2
4 2 2 4 6
 + + + = − −

+ + + =
x x y y
x y
------------------------------ 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 7 0918.859.305-01234.444.305 
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO 
ĐỂ GIẢI HEÄ PHƯƠNG TRÌNH 
I. ĐN: để ứng dụng định lý Vi-et đảo để giải hệ phương trình thì hệ đó phải có một 
trong các dạng sau: 
 1) x y S
xy P
+ =

=
 ⇒ x; y là nghiệm của phương trình: X2-SX+P=0 
 2) 
x y z S
xy yz zx R
xyz P
+ + =

+ + =

=
 ⇒ x; y là nghiệm của phương trình: X3-SX2+RX – P = 0 
II. Bài tập: 
Bài tập 1. Giải các hệ phương trình: 
 a) 2 2
3
2
x xy y
x y xy
+ + =

+ =
 2 2
( 1) ( 1) 72)
18
x x y y
b
x y x y
+ + =

+ + + =
 Bài tập 2. Giải các hệ phương trình: 
 a) 2 2 2
4
6
2
x y z
x y z
xyz
+ + =

+ + =

=
6
1 1 1 11)
6
6
x y z
b
x y z
xyz
 + + =


+ + =

 =
-------------------------------------------------------------- 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 
I. Phương pháp biến đổi tương đương: Để biến đổi tương đương một hệ phương 
trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng 
đại số. Cùng với đó ta cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình 
trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, 
bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung, 
1) DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y (ta sử dụng 
phương phế thế: D2009-B2009-B2002-A2004-B2005-B2008). 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 2 2
2 1 0
1 0
x y
x y xy
− + =

− + − =
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 8 0918.859.305-01234.444.305 
Lời giải: ( ) ( )22 2 2
1
2 1 02 1 0
1 0 12 1 2 1 1 0
1
x
x y yx y
x y xy xy y y y
y
 = −

= − =− + =  ⇔ ⇔  
− + − = =− − + − − =   
=
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta có thể 
rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, theo quy tắc thế ta 
nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận được có một phương trình là 
phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ. 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ( )( )
2 2
2
1 1 3 4 1 (1)
1 (2)
 + + + = − +

+ + =
x y x y x x
xy x x
Lời giải: Nhận thấy 0x = không thoả mãn (1) của hệ nên hệ không có nghiệm ( )0; y . 
Khi 0x ≠ từ phương trình (2) ta có 
2 11 xy
x
−
+ = thay vào phương trình (1) ta được: 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
1 1 3 4 1 1 2 1 1 3 1
 11 11
1
1
12 1 2 0 2
211 11 5
2
x x
x x x x x x x x
x x
x
x yy x
x
x
x
yx x x
x
xxy xyx yx
   − − + = − + − − = − −   
    ⇔ 
−
− + = 
+ = 
 =
 =  = −
− + =   
= −  ⇔ ⇔ ⇔  = −
−
+ = − 
+ =  
= − 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( ) 51; 1 ; 2; .
2
 
− − − 
 
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên ta tiến 
hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên việc tính y theo 
x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét ( )0; y không là nghiệm của hệ để 
từ đó với 0x ≠ ta có thể tính 
2 11 xy
x
−
+ = và hệ nhận được tương đương với hệ đã cho. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2
10 0
4 2 20 0
x y x
x y x y
 + − =

+ + − − =
Lời giải: Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được 7 10y x= − . 
Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau: 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 9 0918.859.305-01234.444.305 
( )
 = −
 = − + − = + − − = ⇔ ⇔  
= − = −= −  
= −
22 2 2
1
1710 0 7 10 10 0
7 10 27 10
24
x
yx y x x x x
y x xy x
y
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào là phương 
trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với 
vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn, 
nhờ đó ta đã giải được hệ. 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau ( )( )
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
 + + + =

+ + − =
Lời giải: 
*) Dễ thấy 0x y= = là nghiệm của hệ. 
*) Các cặp số ( )x y víi y 0 hay = ≠ ≠ =; x 0; x 0; y 0 đều không là nghiệm. 
*) Với ≠xy 0. Chia cả hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho ≠xy 0 ta được: 
x y
x y
x y
x y

+ + + =


 + + − =

1 1
2 5
1 1
3 4
 Suy ra x y x y x y
x y
− − = + = − + ⇒ = −
1 1
5 2 4 3 2 1 
Thay 2 1x y= − vào phương trình thứ 2 của hệ ban đầu ta được: 
( ) ( ) ( )
( )( )
= −

 − + + − − − = −  
= −= − 
⇔ ⇔ 
− − + =
− + − = 
= −

 
− − − = = =
=  
⇔ ⇔+  
= = + 
= =  
−
=
23 2
2 1
2 1 2 1 3 2 1 4 2 1
2 12 1
1 10 9 1 010 19 10 1 0
2 1
41 1 41 11
1 10 10
 hoÆc hoÆc 9 41
1 9 41
20
20
9 41
20
x y
y y y y y y y y
x yx y
y y yy y y
x y
y x x
x
y y
y y
y




−

9 41
20
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ) 41 1 9 41 41 1 9 410; 0 ; 1; 1 ; ; ; ; .
10 20 10 20
   
− + − − −
      
   
Nhận xét: Để giải hệ trên ta có thể biến đổi ngay từ hệ ban đầu nhờ quy tắc cộng đại 
số như sau: 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 10 0918.859.305-01234.444.305 
( )
( )
( ) ( )
( )
    + + + = + + − − + + + = −    ⇔ 
+ + − = + + − =  
2 5 3 2 4 5
3 4 3 4
x y xy x y xy x y xy x y x y xy x y xy xy
x y xy x y xy x y xy x y xy
( )
( )
( )
( )
( )
 =

+ + − =
 − + = = ⇔ ⇔  + + − =+ + − =   
 = −

+ + − =
0
3 4
2 1 0 0
3 43 4
2 1
3 4
x
x y xy x y xy
xy x y y
x y xy x y xyx y xy x y xy
x y
x y xy x y xy
Đến đây việc giải hệ ban đầu được đưa về việc giải 3 hệ phương trình đơn giản 
hơn. Cách biến đổi này khá đơn giản nên học sinh khá dễ tiếp thu. 
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau: 
3 3
2 2
9
2 4
x y
x y x y
 − =

+ = −
Lời giải: 
( ) ( )
( ) ( )
3 33 3
2 22 2
3 3 3 3 2 2
2 2 2 2
3 3
2 22 2
99
3 2 3 42 4
9 3 3 6 12 9
3 3 6 12 9 9 2 4
1 21 2
2 42 4
x yx y
x y x yx y x y
x y x y x x y y
x x y y x y x y
x yx y
x y x yx y x y
 − = − = 
⇔ 
+ = −+ = − 
 − = − = − + + + 
⇔ ⇔ 
− + + + = + = −  

− = +− = +
⇔ ⇔
+ = −+ = −
( ) ( )2 22
2
3 13
3 2 0 13 2 3 4
2
x
x y yx y
y y xy y y y
y


 =

= + = −= + ⇔ ⇔ ⇔  + + = =+ + = + −   
= −
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( ) ( )1; 2 ; 2; 1 .− − 
Bài tập: 
Giải các hệ phương trình sau 
( )
( ) ( )
+ = + + =− = −  
  
+ + = +
− + − =+ =  
+ =  + = − =  
  
+ = + + = + + = −   
+ =
+
3 3
22 2
3 3 3 3
3 3 2 2 5 5 2 2 2 2
3 3
2
42 1 03
1) 2) 3) 
1 4 21 01
1 1 35
4) 5) 6) 
2 3 4 9
9
7) 
x yx yx y x y
x y xy yx y xyx y
x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y
x
  + + = 
 
= + + + + =  
2
2 3 2 2
5 9
 8) 
2 4 3 2 6 18
x x y
y x y x x y xy x
2) DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích (A2011). 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 11 0918.859.305-01234.444.305 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau 
2 2
2 2
5 6 0
2 1
x xy y
x y

− + =

+ =
Lời giải: 
( )( )
( )
( )
 − − = − + = 
⇔ 
+ = + =  
 = = = 
  + =+ = =   ⇔ ⇔ ⇔ 
== =     + = =+ =  

= = −
⇔ 

= = −

2 2
2 2 2 2
2 22 2 2
22 2 22
2 3 05 6 0
2 1 2 1
22 2
2 2 12 1 9 1
33 3
2 1 19 12 3 1
2 2
3 3
 hoÆc 
1 1
3
x y x yx xy y
x y x y
x yx y x y
y yx y y
x yx y x y
x y yy y
x x
y y
 
= = −   
  
  
= = −    
3 19 3 19
19 19
 hoÆc hoÆc 
19 19
3 19 19
x x
y y
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:    − − − −                     
2 1 2 1 3 19 19 3 19 19
; ; ; ; ; ; ; .
3 3 3 3 19 19 19 19
Nhận xét: có thể giải bằng cách đặt x = ky 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 
2 2
2 2
2 5 2 0 (1)
4 0 (2)
x y xy y x
x y x y
 − + + − + =

+ + + − =
Lời giải: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phương trình (1) 
về dạng tích. 
( )( ) 2 22 2
2 2 2 2
2 2
2 0
 (a)
4 02 2 1 02 5 2 0
2 1 04 0 4 0
 (b)
4 0
x y
x y x yx y x yx y xy y x
x yx y x y x y x y
x y x y
 + − =

+ + + − = + − − − = − + + − + =  ⇔ ⇔  
− − =+ + + − = + + + − =    
 + + + − =
Giải(a): ( ) ( )22 2 22
22 0 2 1
14 0 2 1 02 2 4 0
y xx y y x x
yx y x y x xx x x x
= −+ − = = − =  
⇔ ⇔ ⇔   
=+ + + − = − + =+ − + + − − =  
Giải hệ (b): 
( ) ( )22 2 22
1
1
2 12 1 0 2 1 4
4 0 5 4 02 1 2 1 4 0 5
13
5
x
y
y xx y y x
x
x y x y x xx x x x
y
 =

=
= −− − = = −  
−⇔ ⇔ ⇔   =+ + + − = − − =+ − + + − − =   
−
=
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 12 0918.859.305-01234.444.305 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ) 4 131; 1 ; ; 
5 5
− − 
 
 
. 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 
2 2
2
2 1 (1)
 (2)
xy
x y
x y
x y x y

+ + = +
 + = −
Lời giải: 
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
22 2 2 2
*) : 0
 (1) 1
 0
x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y x y
x y
+ >
+ − +
⇔ + + =
+
+ + + + − + − +
⇔ =
+
§K
Ta cã
( )( ) ( )( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
 0
 1 1 0
 1 0 ( 0 1 0)
 1
1 2 0 1 
x y x y x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x x x x x
+ − + + + − +
⇔ =
+
 +
⇔ + − + = 
+ 
+
⇔ + − = + > + >
+
⇔ + =
= − − ⇔ + − = ⇔ =
V × nª n
Thay vµo pt (2) ta ®−îc : 1 h
( ) ( ) ( ){ }
2.
; 1; 0 ; 2; 3 .
x
x y
= −
∈ −
oÆc 
Tõ ®ã suy ra hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm 
Cách khác: 
( )
( )( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2
 1
22 1 2 0
1 1 2 1 0
1 1 2 0
1 0 1 0 Do 0 nên 0
xy
x y
x y
xy
x y xy xy
x y
x y x y x y xy x y
x y x y x y xy
x y x y x y x y x y x y x y
+ + =
+
⇔ + + − + − =
+
⇔ + − + + + − + − =
⇔ + − + + + − =  
⇔ + − + + + = ⇔ + − = + > + + + >
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau 
2 24 5
4 2 7
x y
xy x y
 + =

+ + =
Lời giải: Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được: 
 ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + = ⇔ + + + − =22 2 4 4 2 12 2 2 12 0x xy y x y x y x y 
( )( )⇔ + + + − = ⇔ + = − + =2 4 2 3 0 2 4 hoÆc 2 3x y x y x y x y
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 13 0918.859.305-01234.444.305 
Do đó ta có: 
 + = −

+ + = + = ⇔ + + = + = 
+ + =
2 2
2 4
 ( )
4 2 74 5
4 2 7 2 3
 ( )
4 2 7
x y
a
xy x yx y
xy x y x y
b
xy x y
Giải (a): ( ) ( )
= − − = − −+ = −  
⇔ ⇔  
− − + − − + =+ + = + + = 
2
2 4 2 42 4
( )
4 2 4 2 4 2 74 2 7 8 16 11 0
x y x yx y
VN
y y y yxy x y y y
Giải (b): 
( ) ( )
= −+ = 
⇔ 
− + − + =+ + =  
= − = = 
 
= −  = = ⇔ ⇔ ⇔   − + =   = =  
2
3 22 3
4 3 2 3 2 2 74 2 7
3 2 1
3 2 1 2
2 3 1 0 1 1
2 2
x yx y
y y y yxy x y
x y x y
x y y x
y y
y y
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( ) 11; 1 ; 2; .
2
 
 
 
Nhận xét: Trong hệ trên chưa có phương trình nào của hệ có thể đưa ngay về dạng 
tích, tuy nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo quy tắc cộng ta 
nhận được một hệ mới, trong hệ mới này có một phương trình đưa về dạng tích. 
BÀI TẬP. 
Giải các hệ phương trình sau: 
3 2 2 3 336 9 4 0
1) 2) 
2 3
y
x y xx x y xy y
x
x y x y
x y x x
−
 + + + =− + − = 
 
− + + =  + + = +
( )
2 2 2 2
3 3
2 22
2 1
3) 4) 
2 1 2 2 1
3 2 4 16
5) 6) 
1 5(1 )2 8
xy x y x y x y x y x y
x y y x x y x y
x y xy x y y x
y xx y
 + + = − + + − = + − 
 
− − = − + =  
 − = + = + 
 
+ = +− = 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Thông thường việc biến đổi hệ chỉ xoay quanh việc cộng, trừ 2 
phương trình của hệ theo vế hoặc chia cả hai vế của một phương trình hay cả hai phương 
trình của hệ cho một đại lượng khác 0 nào đó đã chỉ ra trong các phương trình, nhờ đó nhận 
ra việc phải chọn ẩn phụ như thế nào cho hợp lí (A2008-D2007-D2010). 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: 
( )
2 2
2 2
1 4
2 7 2
x y xy y
x y x y
 + + + =

+ = + +
 (1)
y (2)
Lời giải: 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 14 0918.859.305-01234.444.305 
* Nhận thấy mọi cặp số ( );x y với y = 0 đều không phải là nghiệm của hệ. 
* Khi ≠y 0 , chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được hệ: 
( )
( )
2
2
2
1 4
12. 7
x
x y
y
x
x y
y
 +
+ + =


+ + = +

Đặt 
2 1x
u
y
v x y
 +
=


= +
, khi đó hệ trên trở thành: 2
4
2. 7
u v
v u
+ =

= +
ĐS: hệ đã cho có 2 nghiệm: ( ) ( )1; 2 ; 2; 5 .− 
Nhận xét: 
- Với hệ phương trình trên việc vận dụng các phép biến đổi tương đương một hệ gặp khó 
khăn vì không thể sử dụng được quy tắc thế hay quy tắc cộng đại số. 
- Để có thể làm xuất hiện những yếu tố được lặp đi lặp lại trong các phương trình của 
hệ, nhờ đó ta đặt ẩn phụ thì cần chia hai vế của từng phương trình cho 0y ≠ . 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 




=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
. 
Lời giải: 
Hệ phương trình đã cho tương đương với 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( 2) ( 3) 4 ( 2) ( 3) 4
( 2) 22 0 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y x y
x y x x y x
 − + − = − + − = 
⇔ 
+ + − = − + − + + − − =  
Đặt 
2 2
3
x u
y v
 − =

− =
, khi đó hệ phương trình trên trở thành: 
2 2 4
. 4( ) 8
u v
u v u v
 + =

+ + =
Giải hệ trên ta được 2
0
u
v
=

=
 hoặc 0
2
u
v
=

=
. 
Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là: 
2
3
x
y
=

=
; 
2
3
x
y
= −

=
; 2
5
x
y
 =

=
; 2
5
x
y
 = −

=
. 
Nhận xét: 
- Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt ẩn phụ 
khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất của hệ. 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 15 0918.859.305-01234.444.305 
- Ta cũng có thể giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo x từ 
phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất. Tuy nhiên theo cách này sẽ 
xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải. 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 
( ) ( )
2 2
2
34 4 7
12 3
xy x y
x y
x
x y

+ + + = +

 + =
 +
Lời giải: 
* ĐK: 0.x y+ ≠ 
* Hệ đã cho được viết lại dưới dạng sau: 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
34 4 2 7
1 3
xy x y xy
x y
x y x y
x y
  + + − + =   +

 + + + − =
 +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
34 4 7
1 3
13 7
1 3
x y xy
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y

+ − + = +
⇔ 
 + + + − =
 +
  
 + + + − = 
 +  ⇔ 

+ + + − = +
* Đặt 
1
; 2u x y u
x y
v x y

= + + ≥
+

= −
, khi đó hệ đã cho trở thành: ( )2 23 2 7
3
u v
u v

− + =

+ =
 ĐS: hệ đã cho có nghiệm duy nhất: 1 .
0
x
y
=

=
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau:
2 3 2
4 2
5
4
5(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

+ + + + = −

 + + + = −

(§¹i häc khèi A2008) 
Lời giải: 
Hệ đã cho tương đương với 
2 2
2 2
5( )
4
5( )
4
x y xy x y xy
x y xy

+ + + + = −

 + + = −

. 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 16 0918.859.305-01234.444.305 
Đặt 
2x y a
xy b
 + =

=
, khi đó ta được hệ mới 
2
5
4
5
4
a ab b
a b

+ + = −

 + = −

Giải hệ phương trình mới rồi tìm được nghiệm : 
3 310 100 3
; ; 1; .
2 4 2
   
− −   
  
BÀI TẬP: Giải các hệ phương trình sau: 
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
22 2 2 2
2 2
2 2
2
11 51 4
1) 2)
1 2 1 4
15 3
3) 4)
785
12 2
5)
x y
x y y x y xy
x y x y
xy
xy
x y
x y
x xy y x yy x
x y x xy y x y
x y
y x
x x
y
  
+ + =   + + + =   
 
+ + − =  + =

 
+ + =   − + = −  
 
  + + = − + + = 
 
+ − =
2 2 2 2
2 2
2 2
1 2)
12 2
x y x y xy
x x y xy y xyy y x y

 + + = + 
 
+ + = + +
− − = −
 6 
III. Phương pháp nhân lượng liên hợp: học trên lớp 
IV. Phương pháp đánh giá 
Với phương pháp này đòi hỏi người làm toán phải tiến hành đánh giá giá trị hai vế 
của một hoặc hai phương trình trong hệ. Nhờ đó ta có thể thu hẹp được miền giá trị của 
các ẩn, tạo điều kiện cho ta chỉ ra nghiệm của hệ hoặc chứng minh hệ đã cho vô 
nghiệm. Tuy nhiên với phương pháp này, đòi hỏi người làm toán cần nắm rất vững kiến 
thức về bất đẳng thức, các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dưới đây là 
một số ví dụ có tính chất minh hoạ cho phương pháp này. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau ( )2
1 4
1
3 2 8
z
x y
z x

= + + −

+ + =
Lời giải: Xét phương trình thứ nhất của hệ ta có: 
( ) ( ) ( )
2 2
2
10 1 1 1 4 1 3
1
x y x y z z
x y
− ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −
+ −
Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 3 0 3z z+ ≥ ⇔ ≥ − . 
Do vậy ta suy ra 3z = − và 2 8 4x x= ⇔ = . 
Thay 4, 3x z= = − vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4.y = 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 17 0918.859.305-01234.444.305 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ( ) ( ); ; 4; 4; 3 .x y z = − 
Nhận xét:Ta cũng có thể giải hệ trên bằng cách đánh giá như sau:Từ phương trình thứ 
hai của hệ ta có: ( ) ( )2 2
8 2 0 4
3 8 2
3 8 2 4 8 2 1 1
x x
z x
z x z x
− ≥ ≤  
+ = − ⇔ ⇔ 
+ = − + = − + ≥  
Do đó từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: ( ) ( )
2
2
1 1 0 .
1
x y x y
x y
≥ ⇔ − ≤ ⇔ =
+ −
Thay x y= vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3z = − . Thay 3z = − vào 
phương trình thứ hai ta được 4.x y= = 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ( ) ( ); ; 4; 4; 3 .x y z = − 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau ( )
2
2
2 2
11 1
2
y x z
y
x y y

+ − = − +

 + =
Lời giải ĐK: 1y ≥ .Đánh giá giá trị hai vế của phương trình thứ nhất của hệ ta có: 
( )2211 1 1y x zy+ − ≥ ≥ − + 
Suy ra: ( ) ( )2 22 21 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)
x z
y x z y x z
y yy y
= −
+ − = − + ⇔ + − = − + = ⇔ 
= ≥ Tho¶ 
Thay 1y = vào phương trình thứ hai của hệ ta có 2 1 1x x= ⇔ = ± . 
Với 1 1,x z= ⇒ = − với 1 1.x z= − ⇒ = ĐS: hệ có hai nghiệm: ( ) ( )1; 1; 1 ; 1; 1; 1.− − 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau 
4 2
2 2
697
81
3 4 4 0
x y
x y xy x y

+ =

 + + − − + =
Lời giải:Phương trình thứ hai viết lại như au: ( ) ( )2 23 4 4 0x y x y y+ − + − + = 
Phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn x có ( ) ( )2 23 4 2x y y∆ = − − − 
Để phương trình có nghiệm thì 70 1
3x
y∆ ≥ ⇔ ≤ ≤ . 
Tương tự coi phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai với ẩn y ta cũng có: 
40 .
3
x≤ ≤ Từ đó suy ra: 
4 2
4 2 4 7 697 4 7
. ; 
3 3 81 3 3
x y x y   + ≤ + = ⇒ = =   
   
. 
Thay 4 7; 
3 3
x y= = vào hệ ban đầu thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau 
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 18 0918.859.305-01234.444.305 
2 2
1 3 5 1 3 5
80
x x x y y y
x y x y
 + + + + + = − + − + −

+ + + =
Lời giải:ĐK: 1
5.
x
y
≥ −
 ≥
. Nhận thấy nếu thay 6x y= − vào phương trình thứ nhất của hệ thì 
vế trái bằng vế phải. Do đó ta xét các trường hợp sau: 
* Nếu 6x y> − thay vào phương trình th