Giáo án lớp 9 môn Toán - Bài tập hình ôn tập học kì II

BÀI TẬP HÌNH ÔN TẬP HỌC KÌ II
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại M trong đường tròn (O). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc BC tại H và cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt BD tại K. Chứng minh:
Tứ giác AHCM nội tiếp. b) Tam giác ADE cân.
AK vuông góc BD. d) H, M, K thẳng hàng.
a) Xét tứ giác AHCM có:
 (gt). Suy ra 
b) Từ AHCM nội tiếp suy ra: (cùng bù )
Mà ( cùng chắn ) Nên 
-ADE có AM DE và nên ADE cân tại A
c) F là đối xứng của C qua AB =>CBF cân tại B=> 
- Gọi N là giao điểm BF với AD ta có:AHB =ANB ( g-c-g)
=> 
-ADB có DM và BN là hai đường cao nên F là trực tâm
=> AF BD hay AK BD.
d) - Tứ giác AHBK nội tiếp ( )=> 
- Tứ giác FMBK nội tiếp ( ) => 
- Mà ( FBC cân tại B) nên 
- Suy ra: K, M, H thẳng hàng.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F. Chứng minh rằng:
	a) Chứng minh: Tứ giác DCEF nội tiếp được
 	b) Chứng minh: Tia CA là tia phân giác của 
a)Ta có: = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD) 
Xét tứ giác DCEF có: 
 = 900 (cm trên)
 và = 900 (vì EF ^ AD (gt))
=> + = 1800 
=> Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) => = ( góc nội tiếp cùng chắn cung EF) (1)
Mà: = (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (2)
Từ (1) và (2) => = hay CA là tia phân giác của ( đpcm )
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.
Chứng minh rằng: tứ giác ACMO nội tiếp.
Chứng minh rằng: 
Gọi P là giao điểm CD và AB. Chứng minh: PA.PO = PC.PM
Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. Chứng minh: E; F; P thẳng hàng.
Tứ giác ACMO nội tiếp.
Chứng minh rằng: 
- Chứng minh được 
- Chứng minh tứ giác BDMO nội tiếp
- Chứng minh được 
Suy ra 
Chứng minh: PA.PO = PC.PM
Chứng minh được đồng dạng với (g.g). 
Suy ra =>PA.PO=PC.PM
Chứng minh E; F; P thẳng hàng.
Chứng minh được CA = CM = CF; DB = DM = DE
Gọi G là giao điểm của PF và BD, cần cm G trùng E
Dựa vào AC//BD chứng minh được 
=> DE = DG hay G trùng E.Suy ra E; F; P thẳng hàng
Bài 4: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (0;2cm). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn đó (M nằm giữa A và N), cho góc BAC có số đo bằng 600. 
Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC.
Chứng minh: 
Tính diện tích phần hình giới hạn bởi các đoạn AB, AC và cung nhỏ BC nói trên.
a)Tứ giác ABOC có (tính chất của tiếp tuyến )
 Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
(tính chất hai tiếp tuyến giao nhau ) và
là tam giác đều 
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung) 
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp trung đường tròn tâm là trung điểm của OA bán kính bằng 2 cm.
b) Xét hai tam giác .
 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung )
chung
Suy ra DABM đồng dạng DANB(g.g)
Tứ giác ABOC nội tiếp 
 Squạt OBMC 
Scần tìm = SOBAC – Squạt 
Bài 5: 
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm). Gọi E là điểm nằm giữa M và A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOE cắt AB tại điểm H. Nối EH cắt MB tại F.
Tính số đo góc EHO
Chứng minh rằng tứ giác OHBF nội tiếp 
Chứng minh rằng tam giác EOF cân
Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng OI. OF = OB.OH 
Giải
Lí luận được 
Lí luận được 
suy ra được tứ giác OHBF nội tiếp
( cùng chắn cung OH của đtròn đường kính OE)
( ∆ AOB cân)
( cùng chắn cung OH của đường tròn đường kính OF)
S
Suy ra hay ∆ OEF cân tại O
Chứng minh được ∆ OIB ∆ OHF 
Suy ra nên OI.OF = OB.OH
Bài 6: Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB, Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy M thuộc cung BC sao cho AM cắt OC tại N và MB = MN. 
a) Chứng minh: Tứ giác OBMN nội tiếp. 
b) Chứng minh: . Từ đó tính số đo 
c) Tính độ dài cạnh ON. 
d) Tính thể tích của hình được sinh ra khi quay tam giác AON quanh AO. 
Giải
Hình vẽ đúng
a/ Nêu được 
 và 
 Suy ra Tứ giác OBMN nội tiếp.
b/ Nêu được: ( cùng chắn cung MB)
-Nêu được ( Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MB)
- Suy ra 
-∆MBN có MB = MN (gt), (Góc nt chắn nửa đường tròn). Nên ∆MBN vuông cân tại M . 
Suy ra và tính được : 
c) ON = OA tanA = R tan 22030’
d) Viết được V = 
 Tìm được: V = = (đvtt)
Bài 7. Cho đường tròn (O), dây AB và một điểm C ở ngoài đường tròn và nằm trêntia BA. Từ một điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K. 
Chứng minh rằng tứ giác PDKI nội tiếp. 
Chứng minh CI.CP = CK.CD.
Chứng minh IC là phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB. 
 d) Giả sử A, B, C cố định, chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
Giải
a) Xét tứ giác PDKI có: 
 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vì P là điểm chính giữa của cung lớn AB nên 
ABPQ hay = 900. 
Suy ra + = 1800. 
Vậy tứ giác PDKI nội tiếp. 
b) Xét hai tam giác vuông CIK và CDP có chung nên
 CIK đồng dạngCDP (g.g). 
c) Ta có = (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau ). Mặt khác = 900 nên CI là phân giác ngoài ở đỉnh I của AIB. 
d) Tứ giác ABPI nội tiếp nên suy ra: CIA đồng dạng CBP (g.g) 
=> CI.CP = CA.CB (1) 
Mà theo câu b), ta có CI.CP = CK.CD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: CK.CD = CA.CB hay không đổi và K thuộc tia CB
Vậy K cố định và QI qua K cố định
Bài 8: Cho nhọn nội tiếp (O;R), AB<AC, các đường cao BD, CE.
 a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.
 b) Vẽ đường thẳng xy tiếp xúc (O) tại A. Chứng minh xy // ED.
 c) Chứng minh: 
 d) Cho , R = 2cm. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi cung nhỏ BC và dây căng cung đó.
Tứ giác BEDC có
 Vậy tứ giác BEDC nội tiếp 
Tứ giác BEDC nội tiếp (cmt) Suy ra : ( cùng chắn )
Kẻ 
 cân tại O)
Diện tích viên phân cần tìm :
Diện tích viên phân cần tìm : 
Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn. Hai đường cao BM, CN của ta giác cắt nhau tại H
	a/ Chứng minh : Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn, xác định tâm O của đường tròn đó
	b/ Chứng minh : AB.NM = AM.BC
c/ Cho biết MC = R, BC = 2R. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ MC, bán kính OC, bán kính OM của (O) theo R.
d/ Gọi K là giao điểm của AH và BC. I là giao điểm của tia NK và (O). Chứng minh: IM BC
Giải
Chứng minh : Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn, xác định tâm O của đường tròn đó
A
O
C
B
M
N
I
K
H
=> 
=> Tứ giác BNMC có hai đỉnh liền kề M, N cùng 
nhìn BC dưới góc 900 nên nội tiếp đường tròn. 
Tâm O là trung điểm của BC (
b/ Chứng minh : AB.NM = AM.BC
 Xét và có :
chung, ( do BNMC nội tiếp đường tròn)
=> đồng dạng ( g.g)
=> 
c/ Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ MC, 
bán kính OC, bán kính OM của (O) theo R.
Ta có : OM=OC=MC (=R)=> đều =>
Diện tích của quạt tròn cần tìm: ( đvdt)
d) Chứng minh : IM BC
Xét tam giác ABC có : BM, CN là hai đường cao cắt nhau tại H => H là trực tâm 
=> AH vuông góc với BC
=> Tứ giác BKHN nội tiếp.
( cùng chắn cung NH)
Lại có : ( cùng chắn cung NB của (O))
=> => AK // IM
 Lại có AK BC => IM BC
Bài 10: Cho đều nội tiếp đường tròn (O; R). Trên AB lấy điểm M (khác A, B), trên AC lấy điểm N ( khác A, C ) sao cho BM = AN
Chứng minh bằng 
Chứng minh tứ giác OMAN nội tiếp được đường tròn. Tính diện tích viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC theo R.
Giải
a) Xét và có:
OA = OB ( bán kính) ; BM = AN ( gt) ;(Cùng bằng ) 
Vậy 
b) Ta có: (kề bù) 
Mà: ()
Suy ra: 
Vậy tứ giác OMAN nội tiếp được đường tròn 
Vì BC là cạnh tam giác đều nội tiếp (O; R) ; và sđ
 (đvdt) 
 (đvdt) 
Vậy (đvdt) 
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O); tia AO cắt đường tròn (O) tại D ( D khác A). Lấy M trên cung nhỏ AB ( M khác A, B ). Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB. Chứng minh rằng:
a/ MD là phân giác của góc BMC
	b/ MI song song BE.
c/ Gọi giao điểm của dường tròn tâm D, bán kính DC với MC là K (K khác C ). Chứng minh rằng tứ giác DCKI nội tiếp.
a) Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp cân tại A
( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Vậy MD là phân giác của góc BMC
b) Ta có MD là phân giác của góc BMC 
Mà cân tại M ( Vì theo giả thiết ME = MB )
 ( Tính chất góc ngoài tam giác )
Từ (1) và (2) Mà chúng ở vị trí đồng vị 
Nên suy ra : MI // EB
c) Ta có : ( Góc nội tiếp chắn ) 
Có : ( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn )
Mà theo C/m trên : (3)
Ta có DK = DC ( bán kính của đường tròn tâm D) cân tại D (4)
Từ (3) và (4) : .Suy ra : Tứ giác DCKI nội tiếp (đpcm)
Bài 12: Cho hình vuông ABCD, lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). 
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.
Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.
Chứng minh .
Chứng minh .
Giả sử hình vuông ABCD có là a. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn tâm I quay một vòng quanh đường kính. 
Giải
a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
Ta có (vì ABCD là hình vuông)
(vì )
H, C cùng thuộc đường tròn đường kính BD
Vậy tứ giác BHCD nội tiếp được đường tròn 
đường kính BD, có tâm I là trung điểm đoạn BD.
Chứng minh .
Trong có: (đường cao thứ ba)
c) Chứng minh .
 Xét và có: C = H = 900; K là góc chung (g-g) 
d) Nửa hình tròn tâm I quay một vòng quanh đường kính, ta được một hình cầu có bán kính: .
Trong đó: 
Vậy thể tích của hình cầu là: (đơn vị thể tích).
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) các đường cao 
 AG, BE, CF cắt nhau tại H :
 a. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm (I) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
 b. Chứng minh AE . AC = AH . AG
 c. Chứng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn tâm (I)
 d. Cho bán kính của đường tròn tâm (I) là 2 cm. Góc BAC = 500. Tính diện tích hình quạt IEHF
Bài 14: Cho nhọn nội tiếp (O;R) . Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H.
Chứng minh : Tứ giác AEHF nội tiếp.
Chứng minh : Tứ giác BFEC nội tiếp.
Chứng minh : 
Biết số đo cung AB bằng 90 0 và số đo cung AC bằng 120 0 . Tính theo R diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AB; cung BC và dây AC
a) Chứng minh : Tứ giác AEHF nội tiếp
+ Tứ giác AEHF có: 
+ 
+ Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH
b) Chứng minh : Tứ giác BFEC nội tiếp.
 F và E là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn BC dưới 1 góc 900
+ Tứ giác BFEC có: 
+ Vậy tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
c) Chứng minh : 
+ Kẻ tiếp tuyến x’Ax của (O) ( Cùng chắn cung AB )
+ ( BFEC nội tiếp )
+ //FE
+ Vậy : 
d) Tính theo R diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AB; cung BC và dây AC
+ Gọi là diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AB; cung BC và dây AC . 
+ (đvdt)
+ (đvdt)
+ (đvdt)