Giáo án lớp 8 môn Đại số - Chủ đề 1: Phép nhân đơn thức - Đa thức

CHỦ ĐỀ 1: PHẫP NHÂN ĐƠN THỨC - ĐA THỨC
TIẾT 1
A.TểM TẮT Lí THUYẾT:
 1.Quy tắc nhõn đơn thức với đa thức:
Muốn nhõn 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhõn đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng cỏc tớch với nhau.
	A(B + C) = AB + AC
2.Quy tắc nhõn đa thức với đa thức:
Muốn nhõn một đa thức với 1 đa thức, ta nhõn mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng cỏc tớch với nhau.
	(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
B.VÍ DỤ:
*Vớ dụ 1: Thực hiện phộp nhõn:
a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) = - 2x4 + 3x3 + 2x2 – 2x
b) (- 10x3 + y - = 5x4y – 2xy2 + xyz
*Vớ dụ 2: Tớnh giỏ trị của biểu thức: x(x – y) + y(x + y) tại x = - và y = 3 
Ta cú: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 
Khi x = - và y = 3, giỏ trị của biểu thức là: ( - )2 + 32 = 
*Chỳ ý 1: Trong cỏc dạng bài tập như thế, việc thực hiện phộp nhõn và rỳt gọn rồi mới thay giỏ trị của biến vào sẽ làm cho việc tớnh toỏn giỏ trị biểu thức được dễ dàng và thường là nhanh hơn.
*Chỳ ý 2: HS thường mắc sai lầm khi trỡnh bày như sau
Ta cú: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = (-)2 + 32 = 
Trỡnh bày như thế khụng đỳng, vỡ vế trỏi là một biểu thức, cũn vế phải là giỏ trị của biểu thức tại một giỏ trị cụ thể của biến, hai bờn khụng thể bằng nhau.
*Vớ dụ 3: Tớnh C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8
*Chỳ ý 3: Lũy thừa bậc n của một đơn thức là nhõn đơn thức đú cho chớnh nú n lần. Để tớnh lũy thừa bậc n một đơn thức, ta chỉ cần:
- Tớnh lũy thừa bậc n của hệ số
- Nhõn số mũ của mỗi chữ cho n.
*Vớ dụ 4: Chứng tỏ rằng cỏc đa thức sau khụng phụ thuộc vào biến:
a) x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) 
Ta cú: x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) = 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + 3 = 3
b) 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1)
Ta cú: 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1)
 = 4x – 24 – 2x2 – 3x3 + 5x2 – 4x + 3x3 – 3x2 = - 24 
Kết quả là mọt hằng số, vậy cỏc đa thức trờn khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x.
*Vớ dụ 5: Tỡm x, biết:
a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = - 100
60x2 + 35x – 60x2 + 15x = -100
50x = -100
x = - 2
b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
0,6x2 – 0,3x – 0,6x2 – 0,39x = 0,138
-0,69x = 0,138
x = 0,2
C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
*Bài tập 1: Thực hiện cỏc phộp tớnh sau:
a) 3x2(2x3 – x + 5) = 6x5 – 3x3 + 15x2
b) (4xy + 3y – 5x)x2y = 4x3y2 + 3x2y2 – 5x3y
c) (3x2y – 6xy + 9x)(- xy) = - 4x3y2 + 8x2y2 – 12x2y 
d) - xz(- 9xy + 15yz) + 3x2 (2yz2 – yz) = - 5xyz2 + 6x2yz2
e) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) = x4 – 2x3 – 37x2 + 15x – 7 
f) (2x2 – 3xy + y2)(x + y) = 2x3 – x2y – 2xy2 + y3 
g) (x – 2)(x2 – 5x + 1) – x(x2 + 11) 
= x3 – 5x2 + x – 2x2 + 10x – 2 – x3 – 11x = - 7x2 – 2 
h) [(x2 – 2xy + 2y2)(x + 2y) - (x2 + 4y2)(x – y)] 2xy = - 12x2y3 + 2x3y2 + 16xy4 
Bài tập 2: Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc
 VT = a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = ab – ac – ab – bc + ac – bc = - 2bc = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) 
 VT = a – ab + a3 – a = a3 – ab = a(a2 – b)=VP. Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) 
 VT = ab – ax + ax + bx = ab + bx = b(a + x) = VPVậy đẳng thức được CM
*Nhận xột: 
-Để chứng minh 1 đẳng thức ta cú thể thực hiện việc biến đổi biểu thức ở vế này (thường là vế phức tạp hơn) của đẳng thức để được 1 biểu thức bằng biểu thức ở vế kia.
-Trong 1 số trường hợp , để chứng minh 1 đẳng thức ta cú thể biến đổi đồng thời cả 2 vế của đẳng thức sao cho chỳng cựng bằng 1 biểu thức thứ ba, hoặc cũng cú thể lấy biểu thức vế trỏi trừ biểu thức vế phải và biến đổi cú kết quả bằng 0 thỡ chứng tỏ đẳng thức đó cho được chứng minh.
TIẾT 3
*Bài tập 3: Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = a3 + b3 + c3 – 3abc 
Ta cú : VT = a3 + ab2 + ac2 – a2b – abc – a2c + a2b + b3 + bc2 – ab2 – b2c – abc + a2c + b2c + c3 – abc – bc2 – ac2 = a3 + b3 + c3 – 3abc = VP
Vậy đẳng thức được c/m.
b) (3a + 2b – 1)(a + 5) – 2b(a – 2) = (3a + 5)(a + 3) + 2(7b – 10)
Ta cú: VT = 3a2 + 15a + 2ab + 10b – a – 5 – 2ab + 4b = 3a2 + 14a + 14b – 5 
VP = 3a2 + 9a + 5a + 15 + 14b – 20 = 3a2 + 14a + 14b – 5 
Do đú VT = VP nờn đẳng thức được c/m.
*Bài tập 4: Cho cỏc đa thức: f(x) = 3x2 – x + 1 và g(x) = x – 1 
a)Tớnh f(x).g(x) 
b)Tỡm x để f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = 
Giải:
a) f(x).g(x) = (3x2 – x + 1)(x – 1) = 3x3 – 3x2 – x2 + x + x – 1 = 3x3 – 4x2 + 2x – 1 
b) Ta cú: f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = (3x3 – 4x2 + 2x – 1 ) + x2[1 – 3(x – 1)]
= 3x3 – 4x2 + 2x – 1 + x2(1 – 3x + 3) = 3x3 – 4x2 + 2x – 1 + x2 – 3x3 + 3x2 
= 2x – 1 . Do đú f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = 
2x – 1 = 2x = 1 + 2x = x = 
*Bài tập 5: Tỡm x, biết: 
a) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = 7 
30x2 + 18x + 3x – 30x2 = 7
21x = 7 
x = 
b) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44
15x – 63x2 – 15 + 63x + 63x2 – 35x + 36x – 20 = 44
79x = 79 
x = 1 
c) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27 
(x2 + 3x + 2)(x + 5) – x3 – 8x2 = 27 
x3 + 5x2 + 3x2 + 15x + 2x + 10 – x3 – 8x2 = 27
17x + 10 = 27 
17x = 17 x = 1 
Dạng 1/ Thực hiện phếp tính:
1. -3ab.(a2-3b)
2. (x2 – 2xy +y2 )(x-2y)
3. (x+y+z)(x-y+z)
4, 12a2b(a-b)(a+b)
5, (2x2-3x+5)(x2-8x+2)
Dạng 2:Tìm x 
1/ 
2/ 3(1-4x)(x-1) + 4(3x-2)(x+3) = - 27
3/ (x+3)(x2-3x+9) – x(x-1)(x+1) = 27.
Dạng 3: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
1/ A=5x(4x2-2x+1) – 2x(10x2 -5x -2) với x= 15.
2/ B = 5x(x-4y) -4y(y -5x) với x= ; y=
3/ C = 6xy(xy –y2) -8x2(x-y2) =5y2(x2-xy) với x=; y= 2.
4/ D = (y2 +2)(y- 4) – (2y2+1)(y – 2) với y=- 
Dạng 4: CM biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của 	 biến số.
1/ (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7)
2/ (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7 
Dạng 5: Toán liên quan với nội dung số học.
Bài 1. Tìm 3 số chẵn liên tiếp, biết rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số cuối 192 đơn vị.
Bài 2. tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số cuối 146 đơn vị.
Đáp số: 35,36,37,38
Dạng 6:Toán nâng cao
Bài1/ Cho biểu thức : 	
Tính giá trị của M
Bài 2/ Tính giá trị của biểu thức :
Bài 3/ Tính giá trị của các biểu thức :
 a) A=x5-5x4+5x3-5x2+5x-1 tại x= 4.
 b) B = x2006 – 8.x2005 + 8.x2004 - ...+8x2 -8x – 5 tại x= 7.
Bài 4/a) CMR với mọi số nguyên n thì : (n2-3n +1)(n+2) –n3 +2
 chia hết cho 5.
 b) CMR với mọi số nguyên n thì : (6n + 1)(n+5) –(3n + 5)(2n – 10) chia hết cho 2.
 Đáp án: a) Rút gọn BT ta được 5n2+5n chia hết cho 5
 b) Rút gọn BT ta được 24n + 10 chia hết cho 2.
D.BÀI TẬP NÂNG CAO:
*Bài tập 1: Nếu (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) = 1 thỡ x bằng bao nhiờu?
Giải: 
(-2 + x2)5 = 1 
Một số mà cú lũy thừa 5 bằng 1 thỡ số đú phải bằng 1
Do đú ta cú: (-2 + x2) = 1 hay x2 = 3 
Vậy x = hoặc x = - 
*Bài tập 2: CMR
a) 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 
Ta cú: 817 – 279 – 913 = (34)7 – (33)9 – (32)13 = 328 – 327 – 326 = 326(9 – 3 – 1) 
= 326 . 5 = 34.5.322 = 405. 322 chia hết cho 405 
Hay 817 – 279 – 913 chia hết cho 405
b) 122n + 1 + 11n + 2 chia hết cho 133
Ta cú: 122n + 1 + 11n + 2 = 122n . 12 + 11n . 112 = 12. 144n + 121. 11n 
= 12.144n – 12.11n + 12.11n + 121.11n 
= 12(144n – 11n) + 11n(12 + 121)
= 12.(144 – 11) .M + 133.11n trong đú M là 1 biểu thức.
Mỗi số hạng đều chia hết cho 133, nờn 122n + 1 + 11n + 2 chia hết cho 133.
*Bài tập 3: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
M = x10 – 25x9 + 25x8 – 25x7 +  - 25x3 + 25x2 – 25x + 25 với x = 24
Giải:
Thay 25 = x + 1 ta được:
M = x10 - (x + 1)x9 + (x + 1)x8 – (x + 1)x7 +  - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 25
M = x10 – x10 – x9 + x9 + x8 – x8 – x7 +  - x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 25
M = 25 – x 
Thay x = 24 ta được: 
M = 25 – 24 = 1
*Bài tập 4: Cho a + b + c = 2p. CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) 
Xột VP = 4p(p – a) = 2p (2p – 2a) = (a + b + c) (a + b + c – 2a) = (a + b + c)(b + c – a ) 
= (ab + ac – a2 + b2 + bc – ab + bc + c2 – ac ) 
= b2 + c2 + 2bc – a2 = VT 
Vậy đẳng thức được c/m
*Bài tập 5: Cho x là số gồm 22 chữ số 1, y là số gồm 35 chữ số 1. CMR: 
xy – 2 chia hết cho 3
Giải: Vỡ x gồm 22 chữ số 1 nờn x chia cho 3 dư 1, hay x cú dạng: 
x = 3n + 1 (n Z)
Vỡ y gồm 35 chữ số 1 nờn y chia cho 3 dư 2, hay y cú dạng:
y = 3m + 2 (m Z) 
Khi đú xy – 2 = (3n + 1)(3m + 2) – 2 = 9n.m + 6n + 3m + 2 – 2 
= 3(3n.m + 2n + m) = 3k ; với k = 3n.m + 2n + m Z
Vậy xy – 2 chia hết cho 3.
*Bài tập 6: Cho cỏc biểu thức: 
A = 5x + 2y ; 	B = 9x + 7y 
a)Rỳt gọn biểu thức 7A – 2B
b)CMR: Nếu cỏc số nguyờn x, y thỏa món 5x + 2y chia hết cho 17 thỡ 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
Giải:
a) Ta cú: 7A – 2B = 7(5x + 2y) – 2(9x + 7y) = 35x + 14y – 18x – 14y = 17x 
b) Nếu cú x, y thỏa món A = 5x + 2y chia hết cho 17 , ta c/m B = 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
Ta cú 7A – 2B = 17x 17
	A 17 nờn 7A 17 
Suy ra 2B 17
mà (2,17) = 1 . Suy ra B 17
*Bài tập 7: Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau:
a) A = x3 – 30x2 – 31x + 1 , tại x = 31
Với x = 31 thỡ:
A = x3 – (x – 1)x2 – x.x + 1 = x3 – x3 + x2 – x2 + 1 = 1 
b) B = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x , tại x = 14 
Với x = 14 thỡ:
B = x5 – (x + 1)x4 + (x + 2)x3 – (2x + 1)x2 + x(x – 1)
= x5 – x5 – x4 + x4 + 2x3 – 2x3 – x2 + x2 – x = -x = - 14
nhân đơn thức với đa thức
1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C.
2. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D.
Bài 1. Làm tính nhân:
	a) 3x(5x2 - 2x - 1);	b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
	c) x2y(2x3 - xy2 - 1);	d) x(1,4x - 3,5y);
	e) xy(x2 - xy + y2);	f)(1 + 2x - x2)5x;
Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng.
	a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)	với a = .
	b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)	với x = 2,1.
	c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2	với a = -0,2.
	d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)	với b = 
Bài 3. Thực hiện phép tính sau:
	a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
	b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
	c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
	d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bài 4. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
	a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
	b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bài 5. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;
	a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
	b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bài 6. Thực hiện phép tính:
	a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);	b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
	c) x2y2(2x + y)(2x - y);	d) (x - 1) (2x - 3);
	e) (x - 7)(x - 5);	f) (x - )(x + )(4x - 1);
Bài 7.Chứng minh:
	a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;	b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;
Bài 8. Thực hiện phép nhân:
	a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
	b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
Bài 9. Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức:
	a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
	b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
	c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
	d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bài 10. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y:
	a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);	
b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bài 11. Tìm x, biết:
	a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
	b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
	c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
	d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
	e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bài tập SGK + SBT: ....