Giáo án lớp 12 môn Toán - Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số phương pháp hàm số

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T thì khi đó ta khảo sát một hàm số đặc trưng : y=f(t) trên T . Nếu f(t) là đơn điệu thì để f(x)=f(y) chỉ xảy ra khi x=y . Trong phương pháp này khó nhất là các em phải xác định được tập giá trị của x và y , nếu tập giá trị của chúng khác nhau thì các em không được dùng phương pháp trên mà phải chuyển chúng về dạng tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0 
Khi đó ta xét trường hợp : x=y , và trường hợp A(x,y)=0 . 
Sau đây là một số bài mà các em tham khảo .
Bài 1 Giải hệ phương trình sau : 
. - Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ). 
- Chia 2 vế phương trình (1) cho 
- Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình có nghiệm thì chỉ xảy ra khi : . -thay vào (2) : 
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=
Bài 2. Giải hệ phương trình sau : . 
Giải
- Trường hợp 1: . 
Thay vào (2) 
- Trường hợp : . 
Thay vào (2) : 
Vậy hệ có nghiệm : 
Bài 3 Giải hệ phương trình sau : 
Giải
a. . Từ (2) viết lại : 
Ta xét hàm số f(t)=. Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : . (*) 
Thay vào (1) : 
Thay vào (*) : 
Bài 4. Giải hệ phương trinh : 
Từ . . - Điều kiện :- Từ (1) : 
- Xét hàm số : . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .
Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi :
- Thay vào (2) : . Xét hàm số : f(t)=.
- Nhận xét : f(1)=2+. Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất . 
Bài 5. Giải hệ phương trình sau : 
Từ :. . ( nhân liên hợp )
Xét hàm số : 
Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để f(x)=f(-y) chỉ xảy ra x=-y (*) 
- Thay vào phương trình (2) :
* Trường hợp : 
* Trường hợp : 
. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( )
Bài 6 Giải hệ phwpng trình : 
Giải
Từ : . (KA-2011)
- PT(1): . Đặt 
- Khi đó (2) : 
- Xét hàm số : f(u)= suy ra f(u) luôn đồng biến . Do đó để f(x)=f(t) chỉ xảy ra khi : 2x=t 
- Thay vào (2) :.Ta thấy x=0 và x= không là nghiệm . g'(x)=
- Mặt khác : là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được y=2.
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 
Bài 7. Giải hệ phương trình : 
Giải :
Từ :.
- Điều kiện : 
- Đặt : Từ (2) : 
- Từ (1):Đặt : 
- Cho nên vế phải (1) : 
- Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Để f(x)=f(t) chỉ xảy ra khi : x=t 
- Vậy hệ có nghiệm : 
Bài 8Giải hệ phương trình : 
Từ : . 
- Điều kiện : 
- Phương trình (1) : 
- Do : 
- Thay vào (2) : 
-Ta có : . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến .
- Mặt khác : f(-1)=0 , do đó phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)=(0;-1)
Bài 9 Giải hệ phương trình : 
Giải
Từ : . 
- Điều kiện : . 
- Từ (1) : 
- Đặt : 
- Do đó (*) : 
- Xét hàm số : f(u)= . Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương trình có nghiệm khi : f(t)=f(y) 
- Thay vào (2) : 
- Vậy : 
Bài 10. Giải hệ phương trình : 
Giải :
Từ : .
- Từ (2) : 
- Hay : , thay vào (1) : (3) 
- Nhận xét : . 
Gọi : 
- Cho nên (3).
- Xét hàm số : f(t)=. Hàm số đồng biến , vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : a=b , tức b-a=0 , hay : . Thay vào (*) ta tìm được y=
Bài 11 Giải hệ phương trình : 
Giai
Đ/K : . 
Từ (2) 
Ta xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R
Do đó đẻ , chỉ xảy ra khi : 
Thay vào (1) 
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)
Bài 12 . Giải hệ phương trình : 
Giải
Đ/K : 
Từ (2) : 
Xét hàm số : 
( Vì : với mọi t>0 )
Như vậy hệ có nghiệm chỉ xảy ra khi : hay x=2y . 
Thay vào (1) : 
 vì : vô nghiệm .
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )
Bài 13. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Điều kiện : 
Từ (2) : 
. Xét hàm số . Chứng tỏ hàm số nghịch biến 
Để chỉ xảy ra khi : . Thay vào (1) ta được phương trình :
+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy ra x=3 và y+1=1 hay y=0 . Vậy nghiệm hệ là (x;y)=(3;0) 
+/ Trường hợp : 
Hàm số nghịch biến và f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với mọi . Phương trình vô nghiệm .
Bài 14. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Điều kiện : 
+/ Nếu x=0 suy ra y=0 nhưng lại không thỏa mãn (2) vậy x khác 0 . Từ (1( chia hai vế cho 
Khi đó : 
Xét hàm số : với mọi t thuộc R . Chứng tỏ hàm số đồng biến 
Để , chỉ xảy ra khi : . Thay vào (2) ta được : 
Lại đặt t=x-1 suy ra : 
Lại xét hàm số : 
Hay : 
Vì : và suy ra g'(t)>0 với mọi t thuộc R mà g(0)=2 cho nên với t=0 là nghiệm duy nhất và : 
Bài 15. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Điều kiện : . Khi đó hệ 
Xét hàm số 
Chứng tỏ hàm số nghịc biến . Cho nên để f(x)=f(y-2) chỉ xảy ra khi : x=y-2 , thay vào (2) ta được :
. Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(0;2)
Bài 16. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
.
. Do : 
- Suy ra : . Cho nên (1) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : 
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x;y)=(.
Bài 17 . Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Hệ : 
Bài 18. Giải hệ: 
Giải
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có 
, xét hàm số trên 
Hàm số đồng biến trên , ta có 
Với thay vào (2) giải được 
Bài 19 Giải hệ phương trình 
Giải
(1) 
 với . ĐB trên . Vậy 
Thế vào pt (2) ta được 
Với . CM hàm g(x) nghịch biến.
Ta có nghiệm duy nhất 
Bài 20. (Thử ĐT 2012) Giải hệ phương trình : .
Giải
TH1 : Xét thay vào hệ thây không thỏa mãn.
TH2 : Xét , chia 2 vế của (1) cho ta được 
Xét hàm số nên hàm số đồng biến.
Từ 
Thay vào (2) ta có PT . Vậy hệ có nghiệm 
Bài 21. (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ : 
Giải
(2) . 
(2) . 
Xét hàm số 
Vì vậy trên hàm số f(t) đồng biến
TH 1. Kết hợp với
.
TH 2. hệ trở thành vô nghiệm
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Bài 22. Giải hệ phương trình : 
Giải
Điều kiện : . Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó lấy (1) trừ cho nó ta có hệ :
Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số đồng biến trên R 
Để chỉ xảy ra khi :.. Thay vào (2) ta có :
Đặt 
Suy ra : Với 
Với 
Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví )
Bài 23. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Hệ : . Đặt : , thì hệ trở thành :
* Với : * Với : . Hệ vô nghiệm 
Câu 8 : ( 1điểm) Giải hệ phương trình: 
Câu 8: Giải hệ phương trình: 
 Xét , D = R (0.25) 
f đồng biến trên R.
Vậy (0.25) 
Thay vào (2) 
 (0.25) 
KL: nghiệm hpt: (0.25) 
Câu 8 (0,75 điểm) Giải hệ phương trình .
Giải hệ phương trình .
Ta có: .
Xét hàm số đặc trưng 
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: .
Thay vào phương trình (2) ta được:
Xét hàm số ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra . Vậy hệ có hai nghiệm là .
Câu 7. Giải hệ phương trình 
Giải hệ: 
Điều kiện: 
 (Do không là nghiệm của phương trình)
Thay vào (2) ta được phương trình: 
Với 
Với 
Hệ phương trình có 2 nghiệm là 
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
Ta kí hiệu các phương trình trong hệ như sau:
Điều kiện: .
 .
+ Với thay vào (2) ta được 
.
Đặt 
Khi đó trở thành .
+ Với . Vì mà nên chỉ có thể xảy ra khi và thử vào (2) thấy thỏa mãn.
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm: và .
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình 
Điều kiện: 
Nhận thấy không là nghiệm của hệ phương trình 
Khi đó, PT 
 (do (*))
Thay vào PT (2) ta được: ĐK: (**)
 (do (**)
 (thỏa mãn (*),(**))
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 
Câu 8 (1.0 điểm). Giải hệ PT 
Giải hệ PT 
ĐKXĐ 
Ta có 
Với thay vào PT thứ 2 ta được
 . Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với thay vào PT thứ 2 ta được 
Xét hàm số ta có suy ra hàm số đồng biến. 
Từ đó suy ra Vậy HPT có nghiệm 
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
Điều kiện: 
. 
Xét hàm số trên có suy ra f(t) đồng biến trên . Nên . Thay vào (2) ta được .
Ta có 
Với . Với .
Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm 
.
 Giải hệ phương trình sau : 
Giải
. 
Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)
Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)
Chú ý : Tại sao ta không đưa chúng về dạng : , sau đó xét hàm số ?
Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Từ (2) : 
Thay vào phương trình (1):. Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ .Phương trình có dạng : 
Do đó phương trình trở thành : 
Xét hàm số : suy ra hàm f(t) đồng biến trên R . Do vậy để xảy ra f(b)=f(a) chỉ xảy ra khi a=b :
 ( vì x khác 0 ) và 
Chú ý : Vì ta sử dụng được phương pháp hàm số vì a,b thuộc R 
Giải hệ phương trình sau 
Giải
. 
Từ (2) : .
 Hàm số đồng biến với mọi tthuoocj (0;1) và nghịch biến trên khoảng t>1 đạt GTLN tại t=1 
Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích " 
Nếu thay vào (2) :,
Xét hàm số : chỉ có nghiemj duy nhất : y=0 
Nếu : . Tương tự như trên ta cũng có nghiệm y=0 .
Giải hệ phương trình sau : 
Giải
. 
Đặt : x-1=t suy ra (*) trở thành : 
+/ Trường hợp chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .
Thay vào (2) ta có : . Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2).
+/ Trường hợp : 
Bài 5 Giải hệ phương trình sau : 
Giải
. 
-Trường hợp 1: y=, thay vào (2) : 
-Trường hợp : 
. Phương trình vô nghiệm .
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=
* Chú ý : Ta còn có cách giải khác 
- Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ). 
- Chia 2 vế phương trình (1) cho 
- Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình có nghiệm thì chỉ xảy ra khi : . Đến đây ta giải như ở phần trên 
Bài 6. Giải hệ phương trình sau : . 
Giải
- Trường hợp 1: . 
Thay vào (2) 
- Trường hợp : . 
Thay vào (2) : 
Vậy hệ có nghiệm : 
Bài 7 Giải hệ phương trình sau : 
Giải
a. . Từ (2) viết lại : 
Ta xét hàm số f(t)=. Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : . (*) 
Thay vào (1) : 
Thay vào (*) : 
Chú ý : Các em có nhận xét gì không khi tôi giải như trên . Bây giờ tôi nêu thêm hai cách nữa để các em kiểm nghiệm nhé :
Cách 2. 
Đặt : 
* Nếu x+y=1 thay vào (2) ta được : 
+/ Với vô nghiệm vì 
Bài 8. Giải hệ phương trinh : 
Giải
Từ . . - Điều kiện :
- Từ (1) : 
- Xét hàm số : . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .
Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi :
- Thay vào (2) : . Xét hàm số : f(t)=.
- Nhận xét : f(1)=2+. Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất . 
Bài 9. Giải hệ phương trình : 
Giải
Từ :. 
- Từ (1) : 
- Chứng tỏ hàm số f(t) luôn đồng biến . Phương trình có nghiệm khi x=y .
- Thay vào (2) : 
- Với . 
- Ta có : với suy ra 
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 
Bài 10. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Từ :. . ( nhân liên hợp )
Xét hàm số : 
Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để f(x)=f(-y) chỉ xảy ra x=-y (*) 
- Thay vào phương trình (2) :
* Trường hợp : 
* Trường hợp : 
. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( )
Giải hệ phwpng trình : 
Giải
Từ : . (KA-2011)
- PT(1): . Đặt 
- Khi đó (2) : 
- Xét hàm số : f(u)= suy ra f(u) luôn đồng biến . Do đó để f(x)=f(t) chỉ xảy ra khi : 2x=t 
- Thay vào (2) :.Ta thấy x=0 và x= không là nghiệm . g'(x)=
- Mặt khác : là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được y=2.
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 
Bài 12. Giải hệ phương trình sau : 
Giải :
- Đặt : . Lấy (1) +(2) : 
- Xét hàm số : 
- Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : x=t 
- Vậy hệ có nghiệm : (2;1);(-1;-2)
Bài 13. Giải hệ phương trình : 
Giải :
Từ :.
- Điều kiện : 
- Đặt : Từ (2) : 
- Từ (1):Đặt : 
- Cho nên vế phải (1) : 
- Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Để f(x)=f(t) chỉ xảy ra khi : x=t 
- Vậy hệ có nghiệm : 
Bài 14 Giải hệ phương trình : 
Từ : . 
- Điều kiện : 
- Phương trình (1) : 
- Do : 
- Thay vào (2) : 
-Ta có : . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến .
- Mặt khác : f(-1)=0 , do đó phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)=(0;-1)
Bài 15. Giải hệ phương trình : 
Giải
Từ : . 
- Điều kiện : . 
- Từ (1) : 
- Đặt : 
- Do đó (*) : 
- Xét hàm số : f(u)= . Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương trình có nghiệm khi : f(t)=f(y) 
- Thay vào (2) : 
- Vậy : 
Bài 16. Giải hệ phương trình : 
Giải :
Từ : .
- Từ (2) : 
- Hay : , thay vào (1) : (3) 
- Nhận xét : . 
Gọi : 
- Cho nên (3).
- Xét hàm số : f(t)=. Hàm số đồng biến , vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : a=b , tức b-a=0 , hay : . Thay vào (*) ta tìm được y=
Giải hệ phương trình : 
Giải :
Từ : .
- Phương trình (1) : 
- Xét : 
- Chứng tỏ hàm số đồng biến . Mặt khác : f(1)=0 , đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình . 
- Với a=1 suy ra 2x-y=1 , hay 2x=y+1 . Thay vào (2) : 
(*)
- Xét : 
- Nhận xét : 
- Chứng tỏ f(y) đồng biến . Mặt khác f(-1)=0 suy ra y=-1 là nghiệm duy nhất của PT .
- Kết luận : hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;-1).
Bài 18 Giải hệ phương trình : 
Giai
Đ/K : . 
Từ (2) 
Ta xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R
Do đó đẻ , chỉ xảy ra khi : 
Thay vào (1) 
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)
Bài 19. Giải hệ phương trình : ( Ngô Trung Hiếu )
Giải
Đ/K : 
Hệ 
Từ (2) : 
+/ Trường hợp : x=t 
thay vào (1) 
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;2),(-2;6) 
+/ Trường hợp : 
Thay vào (1) : 
Bài 20 . Giải hệ phương trình : 
Giải
Đ/K : 
Từ (2) : 
Xét hàm số : 
( Vì : với mọi t>0 )
Như vậy hệ có nghiệm chỉ xảy ra khi : hay x=2y . 
Thay vào (1) : 
 vì : vô nghiệm .
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )
Bài 21. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Điều kiện : 
Từ (2) : 
. Xét hàm số . Chứng tỏ hàm số nghịch biến 
Để chỉ xảy ra khi : . Thay vào (1) ta được phương trình :
+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy ra x=3 và y+1=1 hay y=0 . Vậy nghiệm hệ là (x;y)=(3;0) 
+/ Trường hợp : 
Hàm số nghịch biến và f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với mọi . Phương trình vô nghiệm .
Bài 22. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Điều kiện : 
+/ Nếu x=0 suy ra y=0 nhưng lại không thỏa mãn (2) vậy x khác 0 . Từ (1( chia hai vế cho 
Khi đó : 
Xét hàm số : với mọi t thuộc R . Chứng tỏ hàm số đồng biến 
Để , chỉ xảy ra khi : . Thay vào (2) ta được : 
Lại đặt t=x-1 suy ra : 
Lại xét hàm số : 
Hay : 
Vì : và suy ra g'(t)>0 với mọi t thuộc R mà g(0)=2 cho nên với t=0 là nghiệm duy nhất và : 
Bài 23. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Điều kiện : . Khi đó hệ 
Xét hàm số 
Chứng tỏ hàm số nghịc biến . Cho nên để f(x)=f(y-2) chỉ xảy ra khi : x=y-2 , thay vào (2) ta được :
. Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(0;2)
Bài 24. Giải hệ phương trình sau : 
Giải
.
. Do : 
- Suy ra : . Cho nên (1) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : 
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x;y)=(.
Bài 25 . Giải hệ phương trình sau : 
Giải
Hệ : 
Bài 26. Giải hệ: 
Giải
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có 
, xét hàm số trên 
Hàm số đồng biến trên , ta có 
Với thay vào (2) giải được 
Bài 27. (A – 2010) Giải hệ phương trình 
Giải
(1) 
 với . ĐB trên . Vậy 
Thế vào pt (2) ta được 
Với . CM hàm g(x) nghịch biến.
Ta có nghiệm duy nhất 
Bài 28.) Giải hệ phương trình : .
Giải
TH1 : Xét thay vào hệ thây không thỏa mãn.
TH2 : Xét , chia 2 vế của (1) cho ta được 
Xét hàm số nên hàm số đồng biến.
Từ 
Thay vào (2) ta có PT . Vậy hệ có nghiệm 
Bài 29. Giải hệ phương trình 
Giải
Trừ vế hai pt ta được 
 với . 
 đồng biến trên . Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được 
Với . 
 do và 
Suy ra đồng biến trên . Bởi vậy 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0
Bài 30. (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ : 
Giải
(2) . 
(2) . 
Xét hàm số 
Vì vậy trên hàm số f(t) đồng biến
TH 1. Kết hợp với
.
TH 2. hệ trở thành vô nghiệm
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Bài 31. Giải hệ phương trình : 
Giải
Điều kiện : . Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó lấy (1) trừ cho nó ta có hệ :
Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số đồng biến trên R 
Để chỉ xảy ra khi :.. Thay vào (2) ta có :
Đặt 
Suy ra : Với 
Với 
Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví )