Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chủ đề 1: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số (3 tiết)

CHỦ ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (3 TIẾT)
I. Mục tiêu bài học:
 - Về kiến thức: Học sinh nắm chắc hơn định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, nửa khoảng, đoạn.
 - Về kỹ năng: Giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm. Áp dụng được đạo hàm để giải các bài toán đơn giản.
 - Về ý thức, thái độ: Tích cực, chủ động nắm kiến thức theo sự hướng dẫn của GV, sáng tạo trong quá trình tiếp thu kiến thức mới.
II. Phương tiện dạy học
 1. Chuẩn bị của GV: 
- Sgk , Giáo án, SBT,
 2. Chuẩn bị của HS: SGK, SBT, Ôn bài, làm bài tập ở nhà
III. Phương pháp dạy học chủ yếu: 
 Vấn đáp – hoạt động nhóm
IV. Tiến trình dạy học
Ngày dạy
Lớp
Sĩ số
Số vắng
Học sinh vắng
12C9
31
 1. Bài cũ: Phát biểu ĐL về hàm số đồng biến, HS nghịch biến.
 2. Bài mới:
DẠNG 1: Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x).
1. Phương pháp: 
- Tìm TXD
Tính đạo hàm cấp một y’, giải pt y’= 0.
Lập bảng biến thiên và kết luận.
2. Ví dụ: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau.
a) b) c) 
Giải
– TXD 
- 
- Bảng biến thiên 
+ Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại .
b) + TXD 
+ 
 Bảng biến thiên 
 + Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng 
+ Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại .
c) 
+ TXD 
+ 
+ Bảng biến thiên 
Kết luận: Hàm số đồng biến trên . Hàm số không có cực trị.
3. Bài tập rèn luyện: Xét tính đơn điệu của hàm số sau.
1. 
4. 
8. .
DẠNG 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
1.Phương pháp:
* Hàm số (1) có có 
+ hàm số (1) đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi 
+ hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi 
*Hàm số (2). Có 
+ Hàm số (2) đồng biến trên từng khoảng xác định khi 
+ Hàm số (2) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi 
2. Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số sau:
a) nghịch biến trên tập xác định.
b) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải
a) 
+ TXD , ta có 
+ Để hàm số đồng biến trên khi 
+ Do a = -2 < 0 nên hàm số nghịch biến trên khi 
+ Vậy là kết quả cần tìm.
b) .
+ TXD .
+ Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi 
+ Vậy là kết quả cần tìm.
3. Bài tập rèn luyện: Tìm điều kiện của tham số để hàm số 
 đồng biến trên tập xác định của nó.
2. nghịch biến trên tập xác định của nó.
V. BÁI TẬP VỀ NHÀ
1. Xét tính đơn điệu của hàm số sau.
1. 
2. 
3. .
2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số 
1. đồng biến trên tập xác định của nó.
2. đồng biến trên tập xác định
RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG:
	CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (3 TIẾT)
I/ MỤC TIÊU:
 1/Kiến thức : Nắm vững hơn về định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm số, hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số, tìm tham số m để hàm số có cực trị .
	2/ Kĩ năng: Vận dụng thành thạo hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số, biết vận dụng cụ thể từng trường hợp của từng qui tắc.
	3/ Thái độ: Nghiêm túc, cẩn thận, chính xác.
II/ CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:
 GV: GA, SGK, SBT, PP vấn đáp gợi mở .
 HS: Chuẩn bị bài tập ở nhà, học cách tìm cực trị thông qua các ví dụ trong SGK.
III/ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
Ngày dạy
Lớp
Sĩ số
Số vắng
Học sinh vắng
12C9
31
 1. Bµi cò: Nh¾c l¹i c¸c quy t¾c t×m cùc trÞ cña hµm sè
2/ Bài mới:
Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số .
Giải. Hàm số có TXĐ , , hoặc .
Bảng biến thiên:
Kết luận: 
Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại tương ứng là ; hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu tương ứng là .
Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số .
Giải. TXĐ. 
, hoặc .
,
+) hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại tương ứng là ;
+) hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu tương ứng là .
Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số .
Giải. TXĐ .
, ().
, 
+) hàm số đạt cực tiểu tại các điểm , giá trị cực tiểu tương ứng là .
+) hàm số đạt cực đại tại các điểm , giá trị cực tiểu tương ứng là .
 Tìm , , sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm , và đạt cực đại tại , .
Giải. Ta có . Từ giả thiết suy ra 
 .
Khi đó , , . Ta có hàm số đạt cực tiểu tại , hàm số đạt cực đại tại (thỏa mãn). 
Vậy , , , .
Bài tập
Tìm cực trị của các hàm số
;
;
;
;
;
;
7)
Đáp số
Bài 1 
1)Hàm số đạt cực đại tại điểm , và đạt cực tiểu tại điểm , 
2)Hàm số nghịch biến trên nên không có cực trị.
3)Hàm số đạt cực tiểu tại , và , , 
đạt cực đại tại điểm , .
4)Hàm số đạt cực đại tại điểm , và đạt cực tiểu tại điểm , .
5)Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , và đạt cực đại tại điểm , .
6) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , và đạt cực đại tại điểm , .
 7)Hàm số đat cực tiểu tại các điểm , y(k)
 Hàm số đat cực đại tại các điểm 
Phần bài tập NÂNG CAO
Cho hàm số , với là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với .
	2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
	· Ta có 
	+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại PT có hai nghiệm phân biệt 
	 	 PT có hai nghiệm phân biệt là .
	+ Theo định lý Viet ta có Khi đó:
	 (2)
	+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là và 
Cho hàm số , với là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với .
	2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
	· Ta có: 
	Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (giả sử )
	 (*)
	Hàm số đạt cực trị tại các điểm . Khi đó ta có: 
	Kết hợp (*), ta suy ra 
Cho hàm số , với là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với .
	2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
	· Ta có: . 
	Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (giả sử )
	Û Û (*). Khi đó: .
	 Û Û Û (thoả (*))
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho .
	· Ta có: ; 
	Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)
	. Để thì 
Cho hàm số 	.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
	· Ta có 
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û 	 (*)
	Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: 
	Þ 
	Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A 
	Û 	(thoả (*))
 Cho hàm số 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
	· Ta có 
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û 	 (*)
	Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: 
	Þ 
	Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi Û 
	Û Û .
	(Chú ý: Có thể dùng tính chất: DABC đều Û AB = BC = CA).
RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG:
CHỦ ĐỀ 3: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (3 TIẾT)
I/ Mục tiêu:
 Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu rõ hơn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
 Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs thành tạo trong việc tìm GTLN, GTNN của hàm số và biết ứng dụng vào các bài toán gặp.
 Về tư duy : Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt.
 Thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.
II/ Chuẩn bị của GV và HS
 GV: Sgk,Giáo án, bảng phụ
 Hs: Học bài ở nhà nắm vững lí thuyết về cực trị, GTLN, GTNN.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp.
IV/ Tiến trình tiết dạy:
Ngày dạy
Lớp
Sĩ số
Số vắng
Học sinh vắng
12C9
31
1/ Bµi cò: - §Þnh nghÜa GTLN, GTNN cña hµm sè
 - C¸ch t×m GTLN, GTNN trªn 1 kho¶ng, ®o¹n
 2/ Bài mới:
DẠNG 1: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng, một nửa khoảng.
1.Phương Pháp: 
+ Tìm khoảng xác định nếu đề chưa cho khoảng xác định
+ Tình đạo hàm cấp một rồi lập bảng biến thiên
+ Từ bảng biến thiên suy ra kết luận.
2.Ví dụ: Tìm GTLN, GTNH( nếu có) của hàm số sau: trên 
+ TXD .
+ 
 + Bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên ta có . Hàm số không có GTNN trên .
3. Bài tập rèn luyện: Tìm GTLN, GTNN ( nếu có) của các hàm số sau. 
1. 
3. , 4. 
DẠNG2: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một đoạn .
1.Phương Pháp: 
 + hàm số liên tục trên đoạn 
+ tính rồi so sánh đưa ra kết luận.
2. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
a) trên đoạn 
Giải
Hàm số liên tục trên đoạn 
 vậy 
Luyện tập: Cho hoạt động theo nhóm.
Ho¹t ®éng 1: Bèn nhóm tiến hành giải mỗi nhóm một bài sau đó trình bày và thảo luận để bổ sung góp ý , hoàn chỉnh.
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3. (f(x) = f(1) = 2)
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3 trên [0;3].	 (f(x) = f(1) = 2 và f(x) = f(3.) = 6)
3) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = với x <1.	
 (f(x) = f(0) = -4)
4) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
Ho¹t ®éng 2:
 5) Tìm GTLN: y = -x2+2x+3. 	 (y = f(1 ) = 4)
6) Tìm GTNN y = x – 5 + với x > 0.	 (y = f(1 ) = -3)
Gv: sửa sai, hoàn thiện lời giải
Ho¹t ®éng 3: Bµi tËp
 7) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2x3+3x2-1 trên đoạn 
 (; )
8) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x4-2x2+3.	 (y = f(±1) = 2; Không có y)
 b) y = x4+4x2+5.	 (y=f(0)=5; Không có y)
Bài tập rèn luyện: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau.
1. 5. 
2. trên 6. 
3. 7. -2cos2x + cosx -3
4. . 8. y = x(lnx – 2) 
9. 10. 
RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG:
CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM ĐA THỨC (3 tiết)
I/ Mục tiêu:
 Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về sơ đồ khảo sát hàm số, củng cố các bước khảo sát, vẽ đồ thị hàm bậc 3, bậc 4 trùng phương.
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số .
 Về tư duy : Đảm bảo tính logic.
 Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác. 
II/ Chuẩn bị của GV và HS
 GV: Giáo án, bảng phụ.
 Hs: nắm vững lí thuyết về giới hạn, tiệm cận của đồ thị. Chuẩn bị trước bt ở nhà.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp.
IV/ Tiến trình tiết dạy:
1/ Ổn định lớp:
Ngày dạy
Lớp
Sĩ số
Số vắng
Học sinh vắng
12C9
31
2/ Bài mới
Bài 1. Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số 
Hàm số (C1) có dạng 
 Tập xác định: 
 Sự biến thiên
- 
- Chiều biến thiên: 
Bảng biến thiên
X
-1
1
y’
+
0
-
0
+
Y
4
0
Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên khoảng
 (-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại . Hàm số đạt cực tiểu tại 
Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm điểm uốn
Bài 2. Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số 
Với m = -1, hàm số là y = - x3 + 3x2 (C-1)
Tập xác định: 
Sự biến thiên: 
-
4
0
_-__
+
0
0
y
y’
2
0
x
Chiều biến thiên: 
Bảng biến thiên: 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng và ; đồng biến trên khoảng 
y
 Hàm số đạt cực tiểu tại ; đạt cực đại tại 
Giới hạn: 
Đồ thị đi qua 2 điểm O(0; 0) và M(3; 0) 
Đồ thị: 
x
O
Bài 3. Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số: y = -x3 + 2x2 – x
* TXĐ : D = R
	* y’ = -3x2 + 4x – 1
	y’ = 0 x = 1, x = 1/3
	* BBT : 
 x	
- 1 + 
 y’
 - 0 + 0 -
 y
+ 0 
 - - 
	* Hàm số đồng biến trên (; 1), nghịch biến trên (-; ) và (1; +) 
	Hàm số đạt CĐ tại x = 1, yCĐ = 0, đạt CT tại x = , yCT = -
* 
	* Đồ thị : Điểm uốn (; -) là tâm đối xứng và điểm O(0; 0) là điểm đặc biệt của đồ thị
Bài 4. Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số: 
1. TXĐ: D = 
2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
; 
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; -1) và (0; 1)
b) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ycđ = y(0) = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yct = y(1) = -2
c) Giới hạn tại vô cực:
+
d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên
3) Đồ thị:
Bài tập luyện : Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau
y = - 4x3 - 12x2 - 9x 
 RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG:
CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM PHÂN THỨC (3 tiết)
I/ Mục tiêu:
 Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về sơ đồ khảo sát hàm số, củng cố các bước khảo sát, vẽ đồ thị hàm phân thức.
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số .
 Về tư duy : Đảm bảo tính logic.
 Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác. 
II/ Chuẩn bị của GV và HS
 GV: Giáo án, bảng phụ.
 Hs: nắm vững lí thuyết về giới hạn, tiệm cận của đồ thị. Chuẩn bị trước bt ở nhà.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp.
IV/ Tiến trình tiết dạy:
1/ Ổn định lớp:
Ngày dạy
Lớp
Sĩ số
Số vắng
Học sinh vắng
12C9
31
2/ Bài mới
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị ( C )
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
Tập xác định: 
Sự biến thiên của hàm số:
* Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số. Tiệm cận của đồ thị hàm số.
 Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang.
 Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.
* Lập bảng biến thiên:
Có , y’ không xác định tại x = 1
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại (2;0),
( C ) cắt trục Oy tại (0; 2)
Đồ thị ( C ) nhận I(1; 1) làm tâm
đối xứng
Bài 2. Cho hµm sè: y = 	(1)
 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (C) cña hµm sè (1). 
 2) Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn cña (C). T×m ®iÓm M thuéc (C) sao cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng IM. 
Giải.
* TXĐ: D=R\{2}
* ; Þ Đồ thị có tiệm cận đứng là x=2.
 Þ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=1	
* y'=
Bảng biến thiên: 
x
-¥	2	+¥
y'
	-	-
y
1	+¥
	-¥	1
Hàm số nghịch biến trên (-¥;2) và (2;+¥)
* Đồ thị:
- Lấy thêm điểm phụ (3;5), (4;3)
- Giao với các trục tọa độ (-2;0), (0;-1)
- Vẽ chính xác đồ thị.
- Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận I(2;1) làm tâm đối xứng.
Gọi tiếp tuyến là d vuông góc với đường thẳng y= Þ phương trình d có 
dạng: y=-4x+b
* d là tiếp tuyến của (C) ta có: 
* Với d: y=-4x+1 thì tiếp điểm M1(1;-3)
	d: y=-4x+17 thì tiếp điểm là M2(3;5)
Bài 3. Cho hàm số: 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
Giải
TXĐ: D = R\
Chiều biến thiên: , với 
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng : và 
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn, tiệm cận : 
, ; , 
 là tiệm cận ngang; là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:
 x
y
Đồ thị: đi qua các điểm (0; ) ; (-2; )
 Nhận giao điểm của hai tiệm cận I(-1; ) làm tâm đối xứng 
-1
 I 
O
y
x
2.Gọi M( ) là điểm cần tìm
Gọi tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình :
Gọi A = ox A(;0)
 B = oy B(0; ). Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là: G(.
Do G đường thẳng:4x + y = 0
 (vì A, B O nên )
Với ; với .
Bài 4. Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm hai số thực a và b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 
 AB = và AB vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – 1 = 0.
Giải
* . TXĐ: D = R\{}.
* Tiệm cận đứng , tiệm cận ngang .
* , hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
* Bảng biến thiên.
 x -2 
 y’ + +
 -1
 y 
 -1 
Giao Ox: . 
Giao Oy: . 
Đồ thị . 
Tìm hai số thực a , b để đường thẳng .
; (d) vuông góc với (a = 1)
Xét Pt: 
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và khác (*)
Giả sử đường thẳng(d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm có hoành độ 
Ta có: và 
 . Vây: a = 1, b = 0 và a = 1, b = 2
Bài 5.
Cho hàm số (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho .
Giải.
Với ta được hàm số .
1/ TXĐ: 
2/ Sự biến thiên:
- Giới hạn: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .
 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 
- Chiều biến thiên:
 hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
- Bảng biến thiên
1 
 1
3/ Đồ thị:
- Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm , cắt trục Oy tại điểm 
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1):
- Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm phân biệt khác 
 (**)
- Khi đó gọi là các nghiệm của PT (*), ta có 
- Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là .
Suy ra 
Theo giả thiết ta được 
- Kết hợp với điều kiện (**) ta được là giá trị cần tìm.
Bài tập luyện : Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau
1. Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng.
2. Cho hàm số .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2. Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và .
3. Cho hàm số : (C).
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0; -11), cắt đồ thị (C) tại hai điểm A,B sao cho diện tích tam giác OAB gấp đôi diện tích tam giác OMB. ( O là gốc tọa độ ) 
4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : . Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận .
 RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG: