Giải 15 bài toán APMOPS 2016

Giải 14 bài toán APMOPS 2016
 (cập nhật từ 13h ngày 9 tháng 4 đến hết ngày 11/4/2016)
Tính tổng:
 S = 2016+2015+2014−2013−2012−2011+⋯+6+5+4−3−2−1.= ?
 Giải:
Ta phát hiện trong dãy S, các nhóm sáu số tự nhiên lùi liên tiếp (3 “+” và 3 “− ” nên có cùng giá trị “9”). 
 Nhóm thứ nhất 2016+2015+2014−2013−2012−2011= 9, 
 . . . 
 và nhóm cuối cùng 6+5+4−3−2−1= 9. 
 Có tất cả là 2016 : 6 = 336 nhóm như vậy. Mỗi nhóm đều có giá trị = 9
Đáp số: S = 336×9=3024.
Tính tổng các góc trong của một ngũ giác= ? độ
Giải:
HD: Với đa giác n cạnh/góc thì tổng các góc trong = 180o(n -2)
à ngũ giác có tổng các góc trong = 180x3 = 540oà Đáp số: 540∘.
Có bao nhiêu phân số trong dãy
 là phân số tối giản? 
 Giải: 
-Từ phân số thứ 1 đến 1000 có 200 phân số có tử số tận cùng là 5, 0 và mẫu tận cùng tương ứng là 0. 5.(USC = 5)
-Từ phân số thứ 1001 đến 2000 có 200 phân số có tử số tận cùng là 5, 0 và mẫu tận cùng tương ứng là 0. 5
- Từ phân số thứ 2001 đến 2016 có 2 phân số tương tự trên
Cả dãy có 402 phân số không tối giảnà còn lại 1608 phân số tối giản
Đáp số: 1609.
Cho các số tự nhiên a;b;c £ 9 thỏa mãn
	 (*)
Tìm giá trị lớn nhất của S. 
HD Giải 
 Theo vế phải của (*) thì S= 22(a + b + c) suy ra: 
 S là số chẵn chia hết cho 11 à để S chia hết cho 11 thì a + c = b
 Để = 22(a+b+c) thì 2(a+b+c) phải có số tận cùng phải bằng c
 Ta có S={ 132; 396} thỏa mãn (*) è chọn giá trị lớn nhất là S= 396	 
 Đáp số: 396.
Cho lưới tam giác đều, mỗi tam giác nhỏ có diện tích 1 đơn vị. Tính diện tích của tứ giác tô đậm.  
Giải:
Đếm số TG nguyên (màu cam) có 9 hình; 
Đếm số TG trong 2 hình bình hành có 
 (6 + 4): 2 = 5 hình; 
Đếm số TG trong 3 hình thoi có 3 hình (lục)
à Diện tích tứ giác là 9 + 5 + 2 = 17 (đơn vị)
 Đáp số: 17. 
Cho ba khối lập phương bằng gỗ có kích thước  3×3×3, 4×4×4 và 5×5×5. Người ta sơn các mặt của cả ba khối lập phương; sau đó cắt các khối lập phương thành các hình lập phương 1×1×1. 
Như vậy đã tạo ra bao nhiêu khối lập phương có ít nhất một mặt sơn? 
Giải: 
Tổng số khối lập phương đơn vị là 33+43+53. 
Số khối lập phương đơn vị mà không được sơn là 13+23+33. 
àTổng số khối lập phương đơn vị được sơn trên ít nhất một mặt là
  33+43+53−(13+23+33 )= 43+53- 9 =189−9=180.  
 è Số khối lập phương có ít nhất một mặt sơn là 180 khối (ĐS)
Tích của ba số nguyên tố a,b,c  (không nhất thiết phân biệt) bằng tổng của bảy số tự nhiên liên tiếp. Hỏi giá trị nhỏ nhất của a+b+c bằng bao nhiêu? 
Giải:
Theo đề ta có 7(n+1) = axbxc à tich axbxc phải chia hết cho 7 ( số ng.tố a)
 à bxc = (n+1). Giả sử lấy b=2 (số nguyên tố nhỏ nhất) thì c = (n+1):2. 
 Để c là số nguyên tố thì có thể lấy n là số lẻ ³ 3:
 n = 3 à c = 2 (khi ấy a+b+c = 11)
 n = 5 à c = 3 (khi ấy a+b+c = 12)
 è Nhận kết quả a=7; b=2; c= 2 và Đáp số: 11.
Biết rằng 
 chia hết cho 9, 
  chia hết cho 4, 
 tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD Giải: 
Tổng (a+b+c+d+e) là số chia hết cho 9 mà số nhỏ nhất thì a=1
 Chia hết cho 4 thì phải chia hết cho 4 à d = 8 để đồng thời + 1 chia hết cho 9
 è  Đáp số: 10008.
Một hình hộp chữ nhật có tỉ lệ diện tích ba mặt là 2:3:5 và tổng độ dài tất cả các cạnh của nó là 124 cm. Tính thể tích của hình hộp. 
Giải: 
 Gọi ba cạnh của hình hộp là a,b,c; diện tích các mặt là ab, bc, ac ta có: 
 4(a+b+c) = 124 à  a+b+c=31 (cm)
  ab:bc:ca=2:3:5 à a/c =2/3; b/c = 2/5; b/a =3/5
Từ đó tính được a:b:c=10:6:15, à  a=10, b=6, c=15. 
Thể tích hình hộp là 10×6×15 = 900. (cm3) è đáp số ; 900 cm3
Cho một hình tam giác, trong hình tam giác đó có 2016 điểm (không có ba điểm nào thẳng hàng). Hỏi nếu ta nối những điểm này với nhau và với ba đỉnh của tam giác (các đoạn thẳng này không cắt nhau) thì sẽ có tổng cộng bao nhiêu tam giác sơ cấp (không gồm hai hoặc nhiều tam giác ghép lại). 
Giải:
 Cứ có 1, 2,3n điểm trong tam giác (như điều kiện của đề) thì ta có
 (2xn + 1) tam giác sơ cấp
 à với 20016 điểm ta có 2×2016+1= 4033 tam giác sơ cấp
 Đáp số: 4033 tam giác
Hỏi có bao nhiêu chữ số 0 trong kết quả của tích sau đây? 
 1×4×7×10×⋯×400
Giải: 
Đây là tích của dãy số có công thức tổng quát cho thừa số thứ n là :
 cn = (3n + 1) với n là số tự nhiên 0 £ n £ 133
- Với n có số tận cùng là 3 thì c tận cùng là số “0”, à tích có 14 số “0”
 Có 4 số hàng trăm (có 2 số “0” là 100,200,300,400)àthêm 4 số “0”
 Riêng thừa số 250 nhân với 4 cho 3 số “0” à Tích thêm 2 số “0”
- Với n=[8; 18; 28; 38;118;128} thì c tận cùng bằng số ”5”; mà các số này nhân với số chẵn sẽ có tich tận cùng bằng “0” à tích thêm 13 số “0”
Riêng 2 thừa số 25 và 175 (n={18; 83}) nhân với các thừa số tận cùng là 4 cho 2 số “0” à Tích thêm 2 số “0”
 è Vậy Tích củ dãy số đã cho có ít nhất 35 số “0” ĐS=35
Tìm số dư của số 32016+2 khi chia cho 11.
 Giải
32016 = 33x 32013 à 32016 chia cho 11 dư 3 
à(32016 + 2 ) chia 11 dư 5 è Đáp số: 5
Tính giá trị của A biết: 
	A = 
 Giải :
 è Đáp số: 20.
Cho dãy số 1, 2, 3,,400. Xóa đi khỏi dãy số này các số là bội của 5, bội của 7 hoặc bội của cả hai. 
 Hói số thứ 100 trong dãy còn lại là số nào?
Giải:
Biết rằng các số tận cùng là “0” và “5” thì chia hết cho 5; các số chia hết cho 7 mà tận cùng là“0” và “5” thì đồng thời chia hết cho 5.
 Để dự đoán số còn lại thứ 100 ta tạm tìm “Mốc” đến số 140 (số bị xóa chia hết cho cả 5 và 7) đã bị xóa bao nhiêu số:
từ 1 đến 140 có 28 số chia hết cho 5
. Có 20 số chia hết cho 7, nhưng trong đó có 4 số đồng thời chia hết cho 5. à Từ 1 đến 140 Cho dãy số 1, 2, 3,,400. Xóa đi khỏi dãy số này các số là bội của 5, bội của 7 hoặc bội của cả hai. 
 Hói số thứ 100 trong dãy còn lại là số nào?
Giải:
Biết rằng các số tận cùng là “0” và “5” thì chia hết cho 5; các số chia hết cho 7 mà tận cùng là“0” và “5” thì đồng thời chia hết cho 5.
 Để dự đoán số còn lại thứ 100 ta tạm tìm “Mốc” đến số 140 (số bị xóa chia hết cho cả 5 và 7) đã bị xóa bao nhiêu số:
từ 1 đến 140 có 28 số chia hết cho 5
. Có 20 số chia hết cho 7, nhưng trong đó có 4 số đồng thời chia hết cho 5. à Từ 1 đến 140 có 44 số bị xóa à còn lại 96 số
 è số thứ 100 phải tiến thêm 4 số nữa, đó là số đứng thứ 144
  Đáp số: 144. 
PHH sưu tầm & biên soạn bài giải 18/4/2016
(Bài: Có 6 chữ A, P, M, O, P, S. Một cái máy tính sắp xếp các từ theo thứ tự trong từ điển: AMOPPS, AMOPSP, AMOSPP..., SPPOMA
Hỏi từ POAMSP ở vị trí thứ bao nhiêu?—đã đưa trang violet này)
(AMOPS= Asia- Pacific Mathematical Olympiad for Primary School)