Đề toán chuyên tỉnh Kiên giang (12/6/2016)

Đề toán chuyên tỉnh Kiên giang (12/6/2016)
Bài 1(1,5đ) . Rút gọn biểu thức: P = với x, y > 0.
Bài 2 (1,5đ) . 
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình 6x2 – 2(m – 2)x – m – 1 = 0 luôn có hai nghiệm x1, x2 và giá trị của biểu thức Q = (2x1 + 1)(2x2 + 1) không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 3 (2đ). 
1) Giải phương trình: .
2) Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng: 
 .
Bài 4 (1đ). Cho parabol có dạng bên với AB//CD//Ox, biết AB = 18,90m, CD = 17,70m và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD bằng 7,55m. Tính khoảng cách từ O đến AB.
Bài 5.(1đ). Cho ABC vuông tại A với trung điểm cạnh AC là M. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại điểm D. Cho biết chu vi ABC bằng 36cm và 2BC = 3MD. Tính độ dài các cạnh của ABC.
Bài 6 (3đ). Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M và đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm L (L A). Chứng minh rằng:
1) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF.
2) L thuộc đường tròn đường kính AH.
3) . 
Gợi ý:
Bài 1 Đặt a = + 1 > 0, b = > 0, b2 = , thay vào biểu thức và thực hiện phép tính rút gọn ta được kết quả P = ( a – 1 = và b2 – 1 = ).
Bài 2 . Tính = (m + 1)2 + 9 > 0. S = , P = . Thực hiện phép tính trên Q ta được Q = 4P + 2S + 1, thay S, P vào và thu gọn ta được Q = .
Bài 3. 1) Tách các mẫu thành nhân tử rồi đưa về hiệu: ;..
( Cần lưu ý: Thay vào phương trình và giản ước các hạng tử đối nhau, thu gọn ta được phương trình bậc hai: 9x2 + 9x – 166 = 0, x = 3,82, x = - 4,8.
2) Do a, b, c > 0, đặt , thay vào biểu thức , đưa hết về vế trái, rút gọn biểu thức cuối cùng ta được: 2014(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz ) 0. Biểu thức luôn đúng vì dễ dàng chứng minh được: x2 + y2 + z2 xy + xz + yz.
Bài 5. ( tự vẽ hình) Gọi ba cạnh của là a, b, c , ta có: a + b + c = 36 (1) và 2BC = 3MA hay 
, MAD đồng dạngBAC nên , thay AM = vào ta tính được b = , rồi áp dụng định lý Pytago tính được a = , kết hợp với (1) ta được kết quả a = 15, b = 12, c = 9.
Bài 6.
1) Dùng tứ giác nội tiếp (BFHD, CEHD, BFEC) chứng minh AD là tia phân giác của góc FDE, CF là tia phân giác của góc EFD rồi suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp DEF.
2) Do tứ giác ALBC nội tiếp (O), nên ta chứng minh được MLB đồng dạng MCA rồi suy ra MB.MC = ML.MA (1), tương tự tứ giác BFEC nội tiếp nên ta cũng có MB.MC = MF.ME (2).
Từ (1) và (2) ta có:MF.ME = ML.MA hay MFL đồng dạng MAE nên tứ giác ALFE nội tiếp đường tròn đường kính AH hay L thuộc đường tròn đường kính AH.
3) Do AD là phân giác trong của góc FDE. Mà AD BC nên DM là phân giác ngoài của DEF, ta có (*). BFD đồng dạng BCA nên ta tính được: DF = , tương tự CED đồng dạng CBA nên ta cũng có : DE = , thay DE, DF vào (*) ta được .