Đề thi violympic Toán 7 năm học 2015-2016 Trường THCS Bích Hòa

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
------------
ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN 7
Năm học 2015-2016
Thời gian 120 phút
Câu 1. (5 điểm)
a) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: 
 Hãy tính giá trị của biểu thức: 
 b) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết rằng:
 a3 - b3 -c3 = 3abc và a2 = 2(b + c)
Câu 2. (5 điểm)
a) Tính: A = 
b) Thực hiện phép tính
	A= 
Câu 3: (3 điểm)
Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 20; 120; 16
 Câu 4: ( 5 điểm )
 Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho . Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
Tam giác ABD là tam giác đều.
.
HE song song với AC.
Câu 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng: .
----------Hết----------
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
------------
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN 7
Năm học 2015-2016
Câu
Nội dung cần đạt
Điểm
Câu 1
(5điểm)
a) Vì a, b,c là các số dương nên 
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy: 
0,5
0,5
1,0
0,5
b) 
 a3 - b3 -c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2)
Từ (2) suy ra a2 chẵn a chẵn .
Từ (1) suy ra a > b; a > c 2a > b + c 4a > 2(b + c)
 kết hợp với (2) a2 < 4a a < 4 a = 2 thay vào (2) 
ta được: b + c = 2 b = c =1 (vì b,c nguyên dương).
Thử lại thấy đúng vậy a = 2; b = c = 1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2
(5điểm)
a) A = 
 = 
1,0
1,5
b) A= 
 = 	 (1)
Mà: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005	(2)
Từ (1) và (2) ta có:
A =
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3
(3điểm)
Gọi hai số dương cần tìm là x , y
 Theo bài ra ta có: 
Vậy hai số dương cần tìm là 5 và 3
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
Câu 4
(5điểm)
B
A
E
H
C
D
300
Vẽ hình ghi GT – KL đúng 
a) có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A.
 Ta có: (Hai góc nhọn của một tam giác vuông)
 Nên là tam giác đều. (đpcm)
0,5
0,5
0,25
0,25
 b) Ta có: 
 (cạnh huyền –góc nhọn)
 Do đó AH = CE (đpcm)
0,5
0,5
c) (cmt) nên HC = EA (1)
cân ở D vì có 
(2)
 Từ (1) và (2) cân tại D
 Hai tam giác cân: cân tại D và cân tại D có:
 (đđ) ở vị trí so le trong 
 (đpcm)
0,5
0,5
1,0
0,5
Câu 5
(2điểm)
; ; ..; .
Vậy : (đpcm)
1,0
1,0
Duyệt của Ban giám hiệu: