Đề thi vào lớp 10 thpt chuyên năm học 2016 – 2017 môn: Toán ( đề chung) thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán ( Đề chung)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Cho biểu thức với x ≥ 0
Rút gọn biểu thức A
Tính giá trị của biểu thức A khi 
Tìm giá trị của m để x thỏa mãn x + A = m.
Câu 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình 
Cho phương trình x2 – 2(m-1)x + 3 – 3m = 0 ( m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 3
Viết phương trình đường thẳng AB
Xác định vị trí điểm C thuộc cung nhỏ AB của (P) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất
Câu 4. (4,0 điểm)
	Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
1. Chứng minh rằng AHEK là tứ giác nội tiếp và DCAE đồng dạng với DCHK.
2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh DNFK cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK//MN và KM2 + KN2 = 4R2.
Câu 5 (1 điểm)
 Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 
____________________Hết_________________
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1( 2 điểm)
Ý
Nội dung
Điểm
1.a
0,5
0,5
1.b
,thỏa mãn điều kiện của ẩn
Suy ra 
0,25
Thay vào biểu thức A ta được
A = 2() = 4 - 6	 
Vậy giá trị biểu thức A tại là 4 - 6
0,25
1.c
x + A = m (1) . Ta phải tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm x ≥ 0
 (2)
Với x ≥ 0 thì VT (1) lớn hơn hoặc bằng 1 nên phương trình (1) có nghiệm khi m ≥ 0
Với m ≥ 0 thì phương trình (2) có nghiệm x ≥ 0
0,25
0,25
Vậy m ≥ 0
Câu 2 (1,5 điểm)
2.a
0,75
2.b
Phương trình x2 – 2(m-1)x + 3 – 3m = 0 
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:
 hoặc m ≤ -2
0,25
Áp dụng định lí vi-et ta có x1 + x2 =2m – 2 và x1x2 = 3 – 3m (*)
Theo bài ra ta có: 
Thay (*) vào đẳng thức trên ta được: m2 + 8m – 8 = 0
0,25
 không thỏa mãn
 thỏa mãn
0,25
Câu 3 (1,5 điểm)
3.a
Xác định A(-1;1), B(3;9)
0,25
Phương trình đường thẳng AB là: y = 2x + 3
0,25
3.b
Giả sử C(c;c2) thuộc (P), với -1 < c < 3
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng Ox
Suy ra A’(-1;0); B’(3;0), C’(c;0)
0,25
Diện tích tam giác ABC là
SABC = SAA’B’B – SACC’A’ – SBCC’B’ =-2c2 +4c + 6 = 8 – 2(c-1)2 ≤ 8
0, 5
Vậy diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng 8 khi C(1;1)
0,25
câu 4. (4,0điểm)	.
Ý
Nội dung
Điểm
1.
(2,0đ)
Ta có: 	+ (theo giả thiết ) 	
0,5
	 	+ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0,5
	 H, K thuộc đường tròn đường kính AE.
 Vậy tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
0,25
Xét hai tam giác CAE và CHK: 
	+ Có chung góc C	
0,25
	+ (góc nội tiếp cùng chắn cung EK)
 Suy ra CAE CHK (g - g)
0,5
2.
(1,0 đ)
Do đường kính AB MN nên B là điểm chính giữa cung suy ra ta có
0,25
Lại có BK // NF (vì cùng vuông góc với AC) nên 
0,5
Từ (1), (2), (3) suy ra . Vậy KNF cân tại K.
0,25
3.
(1,0đ)
* Ta có vuông tại K 
Theo giả thiết ta lại có KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K
Mặt khác vì OBK cân tại O ( do OB = OK = R) nên suy ra OBK vuông cân tại O dẫn đến OK // MN (cùng vuông góc với AB)
0,25
0,25
* Gọi P là giao điểm của tia KO với đường tròn thì ta có KP là đường kính và KP // MN. Ta có tứ giác KPMN là hình thang cân nên KN = MP. 
Xét tam giác KMP vuông ở M ta có: MP2 + MK2 = KP2 KN2 + KM2 = 4R2.
0,25
0,25
Câu 5 (1 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
 (1)
0,25đ
Tương tự (2) , (3)
0,25đ
Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được
0,25đ
Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
x + y + z > 3 = 3. = 3 (5)
Từ (4) và (5) suy ra 
Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 1.
0,25đ
Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tương đương.