Đề thi và gợi ý bài giải môn toán – đại học - cao đẳng năm 2011

ĐỀ THI VÀ GỢI í BÀI GIẢI 
MễN TOÁN –ĐH-CĐ năm 2011
***
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Cõu I (2 điểm). Cho hàm số y = (1), cú đồ thị là (Cm), m là tham số.
1.	Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2.	Xỏc định m để tiệm cận xiờn của (Cm) đi qua gốc tọa độ và hàm số (1) cú cực trị.
Cõu II (2 điểm)
1.	Giải phương trỡnh : 
2.	Cho hệ phương trỡnh : 
	Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh trờn cú 3 nghiệm phõn biệt (x1; y1), (x2; y2) và (x3; y3) sao cho x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.
Cõu III (2 điểm). 1.	Tam giỏc ABC cú a = b
	- Chứng minh rằng : cos2A = cos2B.
	- Tỡm giỏ trị lớn nhất của gúc B và giỏ trị tương ứng của cỏc gúc A, C.
2.	Tớnh tớch phõn: I = 
Cõu IV (2 điểm). 
	Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1).
1.	Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giỏc. Tỡm độ dài đường cao của tam giỏc ABC kẻ từ đỉnh A.
2.	Tỡm m và n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A và C.
PHẦN TỰ CHỌN: Thớ sinh chỉ được chọn làm cõu V. a hoặc cõu V.b
Cõu V.a. Theo chương trỡnh THPT khụng phõn ban (2 điểm)
1. 	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) cú phương trỡnh: và điểm M(2; 1). Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đú cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB.
2.	Cho hai đường thẳng song song. Trờn đường thẳng thứ nhất lấy 9 điểm phõn biệt. Trờn đường thẳng thứ hai lấy 16 điểm phõn biệt. Hỏi cú bao nhiờu tam giỏc với đỉnh là cỏc điểm lấy trờn hai đường thẳng đó cho.
Cõu V.b. Theo chương trỡnh THPT phõn ban thớ điểm (2 điểm)
1.	Giải phương trỡnh: 
2.	Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại đỉnh A (= 90o), AB=AC=a. Mặt bờn qua cạnh huyền BC vuụng gúc với mặt đỏy, hai mặt bờn cũn lại đều hợp với mặt đỏy cỏc gúc 60o. Hóy tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC.
BÀI GIẢI
Cõu I. 1. m = 1 ị y = . MXĐ : D = R \ {1}.	y' = ; y’ = 0 ị x = 0, x = 2
	TCĐ : x = 1; TCX : y = x
x
-Ơ 0 1 2 +Ơ
y'
 + 0 - - 0 +
y
 -1 +Ơ +Ơ
-Ơ -Ơ 3
2.	y = ; 	y’ = 
	y = ị TCX : y = với và m ạ 0
	YCBT Û Û m = 1
Cõu II. 1. Û 
	Û 
	Û Û 
	Û 1 – cos2x – sinx = 0 Û 2sin2x – sinx = 0 
	Û Û (k ẻ Z)
2.	(I) 
	(2) Û y = x - 2 thay vào (1) ta cú :
	(2x - 2)[x2 - 2x + 4 - m] = 0 Û 
	Nhận xột : Nếu pt (*) cú 2 nghiệm x1, x2 phõn biệt thỡ : x1 < 1 < x2 và x1 + x2 = 2
	YCBT Û pt (*) cú 2 nghiệm phõn biệt Û D' = 1 - 4 + m > 0 Û m > 3.
Cõu III. 1. a = Û sinA = sin
	Nờn : cos2A = 1 - sin2A = 1 - 2sin2B = cos2B (đpcm)
	Vỡ : cos2B = cos2A và 0 Ê cos2A Ê 1 nờn : B lớn nhất Û cos2B nhỏ nhất Û cos2B = 0
	Û 2B = 90o Û B = 450. Lỳc đú : A= 90o, C = 45o.
2.	I = . Đặt u = lnx ị du = ;	dv = (x + 1)-2dx ị v = 
	I = 
	= = 
Cõu IV. 1. Ta cú : ; ị 
	ị A, B, C khụng thẳng hàng ị A, B, C là 3 đỉnh của tam giỏc
	ị AH = d(A, BC) = 
2.	M (m + 2; 1; 2n + 3) ị cựng phương 
	ị ị m = 1 và n = -3
Cõu V.a. 1.	Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB
	A, B ẻ (H) : ị 
	M là trung điểm AB nờn : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4)
	(1) - (2) ta cú : 3(x2A - x2B) - 2(y2A - y2B) = 0 (5)
	Thay (3) và (4) vào (5) ta cú : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0 Û 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 Û 3xA - yA = 5
	Tương tự : 3xB - yB = 5. Vậy phương trỡnh d : 3x - y - 5 = 0 
2.	Số tam giỏc cú đỉnh trờn d1 và đỏy trờn d2 : 
	Số tam giỏc cú đỉnh trờn d2 và đỏy trờn d1 : 
	Số tam giỏc thỏa YCBT là + .
Cõu V.b.
1.	Nhận xột : Û 2006 Ê x Ê 2007
	Ta cú : ỗ2006 - xỗ2007 + ỗ2007 - xỗ2006 Ê ỗ2006 - xỗ+ ỗ2007 - xỗ = x - 2006 + 2007 - x = 1
	Vậy phương trỡnh Û ỗ2006 - xỗ2007 = ỗ2006 - xỗ và ỗ2007 - xỗ2006 = ỗ2007 - xỗ
I
H
J
S
B
C
A
	Û Û 	Û x = 2006 hay x = 2007
2.	Kẻ SH vuụng gúc với BC. Suy ra SH ^ mp (ABC)
	Kẻ SI vuụng gúc với AB và SJ ^ AC
	ịgúc SIH=gúc SJH = 60o ị tam giỏc SHI = tam giỏc SHJ
	ị HI = HJ ị AIHJ là hỡnh vuụng
	ị I là trung điểm AB ị IH = a/2 
	Trong tam giỏc vuụng SHI ta cú SH = 
	V(SABC) = (đvtt)
Người giải đề: 0977467739 Hết.