Đề thi tuyển vào lớp 10 thpt năm học 2012 - 2013 môn: Toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH
 	 ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013
	 Khóa ngày 04-7-2012
	 MÔN: TOÁN
 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
...............................................................................................................................................
Câu 1: (2.0điểm): Cho biểu thức A=
Rút gọn biểu thức A.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Câu 2: (1.5điểm): Giải hệ phương trình sau: x + 3y =3
 -x + 2y =7
Câu 3: (2.0điểm): 
Giải phương trình: x2 – 2x – 3 = 0
Cho phương trình bậc hai : x2 – 2x + m = 0 (m là tham số). 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và thỏa mãn: 
Câu 4: (1.0điểm): Cho các số thực a,b thỏa mãn: a + b = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = a3 + b3 + a2 + b2 .
Câu 5: (3.5điểm): Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, M là điểm bất kì trên cạnh BC (M khác B, C). Từ vẽ MP vuông góc AB, MQ vuông góc AC (P thuộc AB, Q thuộc AC
Chứng minh : A, P, M, H, Q cùng nawmg trên một đường tròn.
Gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh các tam giác OPH và OQH là tam giác đều, từ đó suy ra OH PQ.
Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng PQ khi M chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC là a.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1
2.0điểm
1a
Cho biểu thức A=
ĐK: x0 và x1
0,25
A=
0,25
A=
0,25
1b
A= với x0 và x1
0,25
A có giá trị nguyên khi x – 1 là ước của 3.
0,25
 x - 1 = -3 x = -2
 x – 1 = -1 x = 0 (loại)
 x – 1 = 1 x = 2
 x – 1 =3 x =4
0,25
Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x = -2; x = 2 và x = 4
0,25
2
 x + 3y =3 (I)
 -x + 2y =7
Cộng từng vế hai phương trình của (I) ta được:
5y = 10
0,25
 y = 2
0,25
Do đó, ta có (I) x + 3y = 3 x = -3 
 y = 2 y = 2
0,5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) = (-3;2)
3
3a
Phương trình: x2 – 2x – 3 = 0
Ta có a – b +c = 1-(-2) -3= 0
0,5
Phương trình có hai nghiệm x= - 1; x = 3
0,5
3b
Để phương trình: x2 – 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
 (-1)2 – m 0 m 1
0,25
Theo định lí Viet x1 +x2 = 2, x1x2 = m
0,25
 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 8
 22 -2m =8
 m = -2 (thỏa mãn)
0,25
0,25
Vậy với m = -2 phương trình có hai nghiệm x1, x2 và thỏa mãn: .
4
Ta có P = (a+b)3 – 3ab(a+b) +(a+b)2 -2ab
= 12 -8ab ( do a + b = 2)
= 12 -8a (2 – a)
= 8a2 – 16a +12
0,25
0,25
= 8(a – 1)2 + 4 4, 
0,25
P= 4 khi và chỉ khi (a- 1)2 = 0
 a +b = 2 a = b = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a = b = 1
0,25
5
A
B
C
Q
P
M
H
I
O
0,5
5a
Ta cos MP AB, MQ AC, AHBC
0,25
Nên P, H, Q cùng nhìn đoạn thẳng AM dưới một góc vuông
0,5
Vậy A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM
0,25
5b
Xét đường tròn đường kính AM, tâm O.
Ta có OP = OH = OQ nêm POH, HOQ cân tại O
0,25
sđ=2sđ = 600
0,25
sđ=2sđ = 600
0,25
Suy ra POH, HOQ đều OP =PH = HQ =QO
0,25
Do đó tứ giác OPHQ là hình thoi OHPQ
0,25
5c
Gọi I là giao điểm của OH và PQ.
 PQ = 2PI = 2.OP = OA =AM
0,25
Mà AM AH=
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất PQ là khi M trùng H.
0,25