Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năn học 1999 – 2000 Môn toán (Đề chung)

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
trường THPT chuyờn Lờ hồng phong
năn học 1999 – 2000
Mụn toỏn (Đề chung)
Bài 1(2điểm)
Cho biểu thức: N = 
với a,b là 2 số dương khỏc nhau
 1)Rỳt gọn biểu thức N
 2)Tớnh giỏ trị của biểu thức N khi : a = và b = 
Bài 2(2,5 điểm)
Cho phương trỡnh ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0
 1)Giải phương trỡnh với m = 
 2)Tỡm m để phương trỡnh cú 3 nghiệm phõn biệt
Bài 3 (1,5 điểm)
Trờn hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parapol (p) cú phương trỡnh là 
 y = - 
1)Viết phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc bằng k và đi qua điểm A(2; - 3)
2)Chứng minh rằng bất cứ đường thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) khụng song song với trục tung bao giờ cũng cắt parabol y = - tại 2 điểm phõn biệt
Bài 4(4 điểm)
 Cho đường trũn (O,R) và đường thẳng (d) cắt đường trũn tại 2 điểm A, B .Từ điểm M nằm trờn đường thẳng (d) và ở ngoài đường trũn (O,R) kể hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường trũn , trong đú P và Q là cỏc tiếp điểm.
 1)Gọi I là giao điểm của đường thẳng MO với đường trũn(O,R).Chứng minh I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MPQ
 2)Xỏc định vị trớ điểm M trờn đường thẳng (d) để tứ giỏc MPOQ là hỡnh vuụng.
 3)Chứng minh rằng điểm M di chuyển trờn đường thẳng (d) thỡ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MPQ chạy trờn một đường thẳng cố định.
Đỏp ỏn 
Bài 1:
Cõu 1: : N = = 
=
Cõu 2: Ta cú a = = 
v à b = = 
=> N = 
B ài 2:
Cõu1: khi m = ,phương trỡnh : x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0 trở thành:
x4 - 2x = 0 x2 (x2 - 2) = 0 
Vậy phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm là :
 x1 = 0 , x2 = x3 = - 
Cõu 2: Đặt t = x2 , điều kiện t 0 .Phương trỡnh đó cho trở thành:
t2 – 2mt + m2 – 3 = 0 (1)
Phương trỡnh đó cho cú đỳng 3 nghiệm phõn biệt phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm trong đú cú một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
*)Phương trỡnh (1) nhận t = 0 là nghiệm m2 – 3 = 0 m = 
+)Khi m = , phương trỡnh (1) trở thành: t2 - t = 0 
 (thoả món)
v ậy m = ,là giỏ trị cần tỡm
+)Khi m = - , phương trỡnh (1) trở thành : t2 + 2t = 0
 (khụng thớch hợp)
Vậy m = - khụng thoả món loaị 
Tm lại phương trình đã cho c 3 nghiƯm phân biƯt m = 
Bài 3
Câu 1: Phương trình đưng thẳng đi qua điĨm A(2;-3) và c hƯ s gc bằng k là:
y = k(x-2) – 3
Câu 2: Phương trình đưng thẳng (d) đi qua điĨm A(2;-3) và không song song với trơc tung c dạng:
y = k(x-2) – 3 ( k là 1 s bt k)
Hoành đ giao điĨm cđa parabol (p) và đưng thẳng (d) là nghiƯm cđa phương trình:
-x2 = k(x-2) – 3 x2 + 2kx – 4k – 6 = 0 (*)
Đưng thẳng (d) và parabol(p) cắt nhau tại 2 điĨm phân biƯt
 phương trình (*) c 2 nghiƯm phân biƯt với mi k 
 > 0 với mi k
 k2 + 4k + 6 > 0 với mi k 
Tht vy = k2 + 4k + 6 = (k2 + 4k + 4) + 2 = (k + 2)2 + 2 > 0 với mi k 
điỊu phải chng minh.
Bài 4:
Câu 1:
+)Vì MP và MQ là các tip tuyn cng xut phát t điĨm M => tia MO là tia phân giác cđa gc PMQ (1) 
+) Cịng vì MP và MQ là các tip tuyn cng xut phát t điĨm M 
gc PMO = QMO => cung PI = cung IQ
Ta c gc MIP là gc tạo bi mt dây cung và tip tuyn => Sđ gc MPI = Sđ cung PI
Lại c Sđ gc IPQ = Sđ cung QI => gc MPI = gc IPQ => PI là tia phân giác cđa gc MPQ (2) 
T (1) và (2) => I l giao điểm của hai đường phn gic tại đỉnh M v đỉnh P của tam gic MPQ => I l tm đường trịn nội tiếp tam gic MPQ (đpcm)
Cu2: a) Phn tớch:
Giả sử M l điểm trn đường thẳng (d) sao cho tứ gic MPOQ l hỡnh vuơng => cạnh của hỡnh vuơng l R 
MO = R 0,25đ
M nằm trn đường trịn (O ; R)
M l giao điểm của đường thẳng (d) v đường trịn (O ; R) 0,25đ
 b) Cách dng:
+ Dng đoạn R 0,25đ
+ V đưng tròn (O, R)
+ Ly giao điĨm M cđa đưng thẳng (d) và đưng tròn (O, R)
=> M là điĨn phải dng 0,25đ
c) Chứng minh:
Vỡ MO = R > R => M nằm ngoài đường trũn (O,R)
Nờn từ M kẻ được hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường trũn 0,25đ
+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giỏc vuụng MPO ta cú 
MP2 = MO2 – OP2 = 2R2 – R2 = R2 => MP = R
Tương tự chứng minh được MQ = R => MPOQ là tưa giỏc cú 4 cạnh bằng nhau và cú 1 gúc vuụng => MPOQ là hỡnh vuụng 0,25đ
d) Biện luận
Vỡ đường thẳng (d) và đường trũn (O, R) cắt nhau tại 2 điểm 
=> bài toỏn cú hai nghiệm hỡnh 0,25đ
Cõu 3: (1đ)
+Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MPQ là đường trũn đường kớnh MO 0,25đ
+Từ O kể đường thẳng vuụng gúc đến đường thẳng (d) tại K => gúc MKO = 1v
=> K nằm trờn đường trũn đường kớnh MO 0,25đ
=> đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MPQ đi qua 2 điểm cố định O và K 0,25đ
=> tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MPQ chạy trờn đường trung trực ()
của đoạn OK 0,25đ
 Đề thi tuyển sinh vao 10 PTTH
năm học 1999 – 2000
Mơn tốn
thời gian lm bi 150 pht
Bi 1(1,5 điểm)
Cho biểu thức : A = 
Với gi trị no của x thỡ biểu thức A cĩ nghĩa
Tớnh gi trị của biểu thức A khi x = 1,999
Bi 2(1,5 điểm)
Giải hệ phương trỡnh:
Bi 3 (2 điểm)
Tỡm gi trị của a để phương trỡnh :
 (a2 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = 0
nhận x = 2 l nghiệm .Tỡm nghiệm cịn lại của phương trỡnh?
Bi 4 (4 điểm)
 Cho tam gic ABC vuơng ở đỉnh A . trn cạnh AB lấy điểm D khơng trng với đỉnh A v đỉnh B. Đường trịn đường kớnh BD cắt cạnh BC tại E. Đường thẳng AE cắt đường trịn đường kớnh BD tại điểm thứ 2 l G. Đường thẳng CD cắt đường trịn đường kớnh BD tại điểm thứ 2 l F . Gọi S l giao điểm của cc đường thẳng AC v BF. Chứng minh:
Đường thẳng AC song song với đường thẳng FG
SA. SC = SB. SF
Tia ES l phn gic của gĩc AEF
Bi 5(1 điểm)
Giải phương trỡnh : x2 + x + 12 = 36
Đp n
Bi 1:
Cu a) Ta cĩ : A = = 0,25đ
Vỡ (x- 2)2 0 với mọi x => cĩ nghĩa với mọi x 0,25đ
=> Biểu thức A cĩ nghĩa 4 – 2x 0 x 2 0,25đ
Cu b) Ta cĩ A = 0,25đ
 0,25đ
Khi x = 1,999 => x A = 0,5 0,25đ
Bi 2 (1,5 đ)
Đặt u = v v = .Hệ phương trỡnh trn trở thnh:
 0,25đ
Giải hệ phương trỡnh trn được
 0,5đ
Với u = => x = 0,25đ
Với v = => y = 0,25đ
Vậy hệ cĩ nghiệm l : 0,25đ
Bi 3: Phương trỡnh đ cho nhận x1 = 2 l nghiệm 
 4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = 0 0,5đ
a2 – 2a – 8 = 0 0,25đ
 0,25đ
Khi đĩ nghiệm cịn lại của phương trỡnh l:
 x2 = 0,5đ
+) Nếu a = -2 , nghiệm cịn lại của phương trỡnh l
 x2 = -2 0,25đ
+) Nếu a = 4 , nghiệm cịn lại của phương trỡnh l
 x2 = - 0,25đ
Bi 4
Cu 1: Chứng minh AC // FG ( 1 đ)
Tứ gic ACED cĩ : gĩc A = gĩc E = 1v 0,25đ
nn nội tiếp được trong một đường trịn
=> ^ACD = ^ AED hay ^ ACD = ^ DEG (1) 0,25đ
Mặt khc 4 điểm D,G, E, F cng nằm trn đường trịn đường kớnh BD
nn tứ gic DGEF nội tiếp được đường trịn 
=> gĩc DEG = gĩc DFG (2) 0,25đ
Từ (1) v (2) => gĩc ACD = gĩc DFG
=> AC // FG (Vỡ cĩ 2 gĩc so le trong bằng nhau) 0,25đ
Cu 2 : Chứng minh SA.SC = SB. SF (1,5đ)
Tứ gic ACBF cĩ A = F = 1v => tứ gic ACBF nội tiếp đường trịn đường kớnh BC
=> FAC + FBC = 2v 0,25đ
Lại cĩ FAC + SAF = 2v
=> SAF = FBC hay SAF = SBC 0,25đ
Xt 2 tam gic SAF v SBC cĩ :
 S chung , SAF = SBC (cmt)
=> Hai tam gic SAF v SBC đ ồng d ạng 0,5 đ
 => 0,25 đ
 => SA.SC = SB.SF 0,25 đ
C u 3: Chng minh : Tia ES là tia phân giác cđa gc AEF (1,5 đ)
Ta c gc AED = gc ACF (cmt) (1) 
Vì t giác BEDF ni tip đưỵc đưng tròn 
=> gc DEF = gc DBF (2)
Vì t giác ACBF ni tip đưỵc đưng tròn
=> gc ACF = gc ABF (3)
T (1) , (2) và (3) => gc AED = gc DEF 0,5đ
=> ED là tia phân giác cđa gc AEF 0,25đ
MỈt khác : CF và BA là các đưng cao cđa tam giác SBC 
nên D là trc tâm cđa tam giác này => SD BC 0,25đ
Mà DE BC => 3 điĨm S.D,E thẳng hàng 0,25đ
=> tia ES là phân giác cđa gc AEF 0,25đ
Bài 5 (1đ):
Ta c x2 + x + 12 = 36 
 (x2 + 2x + 1) – (x-1 - 12 + 36) = 0
(x + 1)2 – ( - 6)2  = 0 0,25đ
(x + 1 - + 6 )( x + 1 + - 6 ) = 0 0,25đ
a) Trường hợp : x + 1 - + 6 = 0 (a)
Đặt t = ( điều kiện t 0 ) , phương trỡnh (a) trở thành
 t2 – t + 6 = 0 ( vụ nghiệm) 0,25đ
b) Trường hợp : x + 1 + - 6 = 0 (b)
Đặt t = ( điều kiện t 0 ) , phương trỡnh (b) trở thành
 t2 + t - 6 = 0 t = - 3 (loại) hoặc t = 2 (thoả món)
t = 2 => = 2 x + 1 = 4 x = 3 
Vậy phương trỡnh cú một nghiệm x = 3 0,25
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYấN Lấ HỒNG PHONG
năm học 2000 -2001
Mụn toỏn(Đề chung)
Bài 1 (2,5 điểm)
Cho biểu thức :
 T = với x > 0 và x 1
1) Rỳt gọn biểu thức T
2) Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x 1 luụn cú T < 
Bài 2 ( 2,5 điểm)
Cho phương trỡnh : x2 – 2mx + m2 - = 0 (1)
Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm và cỏc nghiệm của phương trỡnh cú giỏ trị tuyệt đối bằng nhau
Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm và cỏc nghiệm ấy là số đo của hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng 3
Bài 3(1 điểm)
 Trờn hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) cú phương trỡnh 
 y = x2 (P)
Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 12 và cú với parabol (P) đỳng một điểm chung.
Bài 4 (4 điểm)
Cho đường trũn (O) đường kớnh AB = 2R. Một điểm M chuyển dộng trờn đường trũn (O) ( M khỏc với A và B). Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn đường kớnh AB.Vẽ đường trũn (T) cú tõm là M và bỏn kớnh MH . Từ A và B lần lượt kể tiếp tuyến AD và BC đến đường trũn (T) (D và C là cỏc tiếp điểm)
Chứng minh rằng khi M di chuyển trờn đường trũn (O) thỡ AD + BC cú giỏ trị khụng đổi.
Chứng minh rằng đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường trũn (O)
Chứng minh rằng với bất kỳ vị trớ nào của M trờn đường trũn (O) luụn cú bất đẳng thức AD.BC R2 . Xỏc định vị trớ của M trờn đường trũn (O) để đẳng thức xảy ra
Trờn đường trỡn (O) lấy điểm N cố định .Gọi I là trung điểm của MN và P là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn MB . Khi M chuyển động trờn đường trũn (O) thỡ P chạy trờn đường nào ?
ĐÁP ÁN:
Bài 1
Cõu 1: T = 
 = 0,5đ	
 = 0,25đ
 = 0,25đ
 = 0,25đ
 = 0,25đ
 Cõu 2:
Xột - T = - = 0,25đ
=> - T > 0 vỡ (- 1)2 > 0 0,25đ
 và 3( > 0 với mọi x > 0 và x 1 0,25đ
=> T 0 và x 1 0,25đ
Bài 2
Cõu 1 (1đ) : Giả sử phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 , x2 thoả món 
=> x1 = x2 hoặc x1 = - x2 0,25đ
a) Nếu x1 = x2 => = 0 => = = 0 (vụ lý) 0,25đ
b) Nếu x1 = - x2 => x1 + x2 = 0 => 2m = 0 => m = 0 0,25đ
=> phương trỡnh đó cho trở thành : x2 - = 0 x = 
=> phương trỡnh cú 2 nghiệm cú giỏ trị tuyệt đối bằng nhau
=> m = 0 là giỏ trị cần tỡm 0,25đ
Cõu 2(1,5đ)
Giả sử phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 và x2 là số đo của 2 cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng 3
=> x1 > 0 ; x2 > 0 và x12 + x22 = 9 0,25đ
Ta cú x12 + x22 = (x1 + x2 )2  - 2x1x2 = 4m2 – 2(m2 -) = 2m2 + 1 0,25đ
=> và x12 + x22 = 9 2m2 + 1 = 9 m = 2 0,25đ
+Với m = 2 phương trỡnh đó cho trở thành :
 x2 - 4x + = 0
Phương trỡnh này cú 2 nghiệm là:
x1 = 2 - ; x2 = 2 + (thoả món)
=> m = 2 là giỏ trị cần tỡm 0,25đ
+ Với m = -2 phương trỡnh đó cho trở thành:
 x2 + 4x + = 0
Phương trỡnh này cú 2 nghiệm là :
 x1 = - 2 - < 0 và x2 = - 2 + < 0 (loại)
=> m = -2 khụng troả món 0,25đ
Túm lại: Phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm và 2 nghiệm này là số đo 2 cạnh 
của gúc vuụng của tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng 3 m = 2 0,25đ
Bài 3:
+)Gọi (d) là đường thẳng phải tỡm.Vỡ đường thẳng (d) // đường thẳng 
 y = 3x + 12 => phương trỡnh đường thẳng (d) cú dạng; y = 3x + m 0,25đ
+)Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol y = x2 là nghiệm của phường trỡnh: x2 = 3x + m x2 – 3x – m = 0 (*) 0,25đ
+)Đường thẳng (d) và parabol y = x2 cú đỳng 1 điểm chung 
phương trỡnh (*) cú nghiệm duy nhất
 = 0 9 + 4m = 0 m = - 0,25đ
=> phương trỡnh đường thẳng (d) là y = 3x - 0,25đ
Bài 4:
Cõu 1: (0,75đ)
+) Vỡ AD và AH là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (M,MH) cựng xuất phỏt từ đỉnh A
=> AD = AH (1) 0,25đ
+) Vỡ BH và BC là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (M, MH) cựng xuất phỏt từ đỉnh B
=> BC = BH (2) 0,25đ
+) Từ (1) và(2) => AD + BC = AH + BH = AB = 2R = khụng đổi
Cõu 2: (1,25đ)
Trước hết ta chứng minh 3 điểm C, D , M thẳng hàng
Thật vậy: 
+ Vỡ AD và AH là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (M,MH) cựng xuất phỏt từ A 
=> gúc AMD = gúc AMB (3) 
+ Vỡ BH và BC là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (M, MH) cựng xuất phỏt từ B
=> gúc BMC = gúc BMH (4) 
Từ (3) và (4) => gúc AMD + gúc BMC = gúc AMH + gúc BMH
 = gúc AMB = 900 0,25đ
=> (gúc AMD + gúc BMC) + (gúc AMH + gúc BMH) = 1800 0,25đ
=> 3 điểm C, D, M thẳng hàng và M là trung điểm của CD 0,25đ
b)Vỡ AD và BC là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (M,MH)
=> AD CD và BC CD => ABCD là hỡnh thang vuụng
Mặt khỏc : O là trung điểm của AB và M là trung điểm của CD 
OM là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABCD
OM // AD 0,25đ
Lại cú AD CD => OM CD 0,25đ
Mà Om là đường kớnh của đường trũn (O) 
=> CD là tiếp tuyến của đường trũn (O) 0,25đ
Cõu 3;(1đ)
Ta cú : 4.AD.BC = (AD + BC)2- (AD – BC)2 0,25đ
 (AD +BC)2 = 4R2 0,25đ
=> AD.BC R2 0,25đ
Đẳng thứ xảy ra AD = BC ABCD là hỡnh chữ nhật
ngoại tiếp nửa đường trũn đường kớnh AB M là trung 
điểm của nửa đường trũn đường kớnh AB 0,25đ
Cõu 4 (1đ)
Ta cú gúc AMB = 900 (Gúc nụị tiết chắn nửa đường trũn )
AM MB.Mặt khỏc : IP MP (gt)
=> AM // IP hay IK //AM 
Xột ANM cú IK // AM , I là trung điểm MN
 => IK là đường trung bỡnh 0,25đ
=> K là trung điểm của AN mà A và N cố định => K cố định 0,25đ
Ta cú gúc BPK = 900 và cỏc điểm B, K cố định 0,25đ
=> Khi m chuyển động trờn đường trũn (O) thỡ P chạy trờn đường trũn 
đường kớnh BK 0,25ủ