Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn thi: Toán (vòng II) thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2014
MÔN THI: TOÁN (vòng II)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 
1)Giả sử x; y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn 
 Chứng minh rằng 
 2) Giải hệ phương trình 
Câu II 
1) Cho x; y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho là số chính phương .Chứng minh rằng x=y.
 2) Giả sử x; y là những số thực không âm thỏa mãn 
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức 
Câu III 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn PB=PC.D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC .Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C.
1) Chứng minh bốn điểm A,E,P, F cùng nằm trên một đường tròn .
2).Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A,đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L .Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF.
3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB chứng minh 
Câu IV .
Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện 
	i)Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử 
	ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này khác nhau.
	Chứng minh rằng 
-------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2014
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 
 	1) Giải phương trình 
2) Giải hệ phương trình 
Câu II 
1) Giả sử x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
 Chứng minh rằng
2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
Câu III 
Cho tam giác nhọn ABC với AB<BC.D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác góc BAC .Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực AC tại E .Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực AB tại F
Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE .
2)Chứng minh đường thẳng BE , CF, AD đồng quy.
3) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q .Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E.Chứng minh rằng các điểm A, P , G,Q,F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV
 Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức . Chứng minh rằng:
-------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Hướng dẫn KHTN vòng 1 -2014
Câu I 
 	1) Giải phương trình 
2) Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn
1)ĐKXĐ :
Đặt ta có ta có phương trình 
Với a=2 
2)xét x=0 ta có hệ hệ vô nghiệm 
Xét y=0 ta có hệ hệ vô nghiệm
Vậy x; y khác 0 đặt 
Ta có hệ 
Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia 2 vế hệ (*) cho nhau ta được 	
Với t=1 thay vào hệ (*) ta có 2 nghiệm 
Với t= ta có ta có 2 nghiệm 
CâuII) Giả sử x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
 Chứng minh rằng
Hướng dẫn
Nên (1) tương tự từ (1) ;(2) ;(3) ta có Đpcm
Cách khác 
Từ GT
Tương tự ta cũng có KQ
 2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
Đặt x+y=a;xy=b ta có PT nếu b=3 vô nghiệm Với suy ra Ư(10)
 suy ra giải ra 
Câu III 
Hướng dẫn
1) Ta có tam giác AFB cân tại F tam giác AEC cân tại E suy ra ABF=BAF=BAC;
ACE=CAE=BAC; nên đồng dạng với tam giác (g.g)
 2) Ta có BF // CE vì cùng // AD. Giả sử CF cắt BE tại G Áp dụng định lí ta lét 
(2)
Áp dụng tính chất đường phân giác (3)
Từ (1) (2) (3) Áp dụng định lí ta lét đảo suy ra GD// CE
 vậy AD, BE,CF đồng quy.
c) Ta có góc QBG = góc GEC (so le trong)
góc QGB =AEG (đồng vị ) suy ra BGQ = ECA +EAC = FAG 
suy ra tứ giác AFQG nội tiếp
Vì tứ giác CGPE nội tiếp nên PEC = PGF
 Mà PEC = PQF (đồng vị ) 
Suy ra FQG = FGP . Suy ra tứ giác FQGP nội tiếp .
 Vậy 5 điểm A,F,Q,G,P nội tiếp.
Câu IV
 Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức . Chứng minh rằng:
Hướng dẫn
Ta có 
Nên 
Suy ra 
Ta lại có 
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM Dấu “=” xảy ra khi 
Cách 2 Đặt ab = x, bc = y, ac = z (x,y,z)
Vì ab+ac+bc = 1 x+ y+z = 1
Suy ra 2( xy+yz+xz) 
Áp dụng BĐT Côsi 
 2( xy+yz+xz) 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
Dấu “=” xảy ra khi x= y = z = 1/3 Suy ra a = b = c =
Cách 3 Áp dụng BĐT CôSi ta có: 
Cộng 3 BĐT trên theo vế ta được: 
 do. 
Mặt khác: 
BĐT đã cho được CM nếu CM được: 
Thật vậy: do .
. BĐT này hiển nhiên đúng.
 Từ đó suy ra đpcm.
HƯỚNG DẪN KHTN vòng 2 -2104
Câu I 
1)Giả sử x; y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn 
 Chứng minh rằng 
 2) Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn
1)
2)
Với x-y=0 ta có x=y thay vào PT (1) Vô nghiệm 
Vậy 
Với x=3 thay vào PT(1) ta có
Với y=2 thay vào PT(1) ta có 
Hệ có 4 nghiệm 
Câu II 
1) Cho x; y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho là số chính phương .Chứng minh rằng x=y.
 2) Giả sử x; y là những số thực không âm thỏa mãn 
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn
1) 
Đặt =A Nên 
Suy ra 
3) 
Đặt x+y=a;xy=b ta có 
Vì suy ra x=y=0 hoặc x+y=1
Với x=y=0 thì 
Nếu x hoặc y khác 0 ta có 
Câu III 
Chứng minh bốn điểm A,E,P, F cùng nằm trên một đường tròn 
Ta co (chắn cung AB của (ABD)); Ta co (chắn cung AC của (ADC)); nên nên AEFP nội tiếp
2).Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A,đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L .Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF
Xét có (1) ta lại có mà 
Nên (2) từ (1) và (2) suy ra ABE đồng dạng với tam giác CLF (g,g)
3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB chứng minh 
Theo 2) ABE đồng dạng với tam giác CLF nên LF.AE=BE.CF ta lại có KE.AF=BE.CF suy ra 
Nên 
Nên 
Tương tự suy ra 
Câu IV Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện 
	i)Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử 
	ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này khác nhau.
	Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
Theo GT m tập con thuộc dãy là phân biệt vì A có 31 phần tử nên số tập con có đúng 2 phần tử là gọi là tập con có đúng k phần tử nằm trong dãy đã cho suy ra Xét tập con có có k phần tử thì số tập con có 2 phần tử của k là suy ra tập này có . tập con 2 phần tử .Theo GT 2 phần tử bất kì của A không thể đồng thơì hai tập hợp cùng có k phần tử của dãy từ đó 
Vậy (đpcm)