Đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2012 môn thi: Toán học (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) thời gian làm bài :120 phút

Bé gi¸o dôc ®µo t¹o céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi	§éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc
§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2012
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr­êng chuyªn)
Ngµy thi 6 th¸ng 6 n¨m 2012 -Thêi gian lµm bµi :120 phót 
C©u 1: Cho biÓu thøc 
 víi a>b>0
 a) Rót gän biÓu thøc P
b) BiÕt a-b=1.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
C©u 2: Trªn qu·ng ®­êng dµi 210 km ,t¹i cïng mét thêi ®iÓm mét xe m¸y khëi hµnh tõ A ®i vÒ B vµ mét ¤ t« khëi hµnh tõ B ®i vÒ A.Sau khi gÆp nhau xe m¸y ®i tiÕp 4 giê n÷a th× ®Õn B, « t« ®i tiÕp 2 giê 15 phót thi ®Õn A.BiÕt r»ng xe m¸y vµ « t« kh«ng thay ®æi vËn tèc trªn suèt chÆng ®­êng.TÝnh vËn tèc xe m¸y vµ « t«.
C©u 3 Trªn mÆt ph¼ng täa ®é xOy cho Parabol (P) y=-x2 vµ ®­êng th¼ng (d) :
y=mx-m-2 ( m lµ tham sè).
	a)Chøng minh r»ng khi m thay ®æi , (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x1, x2.
	b) T×m m ®Ó 
C©u 4 : Cho tam gi¸c ABC vµ ®­êng trßn cã t©m O tiÕp xóc víi ®o¹n th¼ng AB , AC t­¬ng øng t¹i K , L.TiÕp tuyÕn (d) cña ®­êng trßn t¹i ®iÓm E thuéc cung nhá KL c¾t ®­êng th¼ng AL, AK t­¬ng øng t¹i M, N.§­êng th¼ng KL c¾t OM t¹i t¹i P c¾t ON t¹i Q.
Chøng minh r»ng gãc MON=900-gãcBAC
Chøng minh r¨ng c¸c ®­êng th¼ng MQ, NP, OE cïng ®i qua mét ®iÓm.
Chøng minh KQ.PL=EM.EN
C©u 5: Cho c¸c sè thùc d­¬ng x,y tháa m·n ®iªu kiÖn 
	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x+y
----------------------------------HÕt-----------------------------------
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh
Bé gi¸o dôc ®µo t¹o	 céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi	 §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc
§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2012
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin)
Thêi gian lµm bµi :150 phót 
----------------------------------------
Câu 1 (1,5 điểm)Giải phương trình:
Câu 2 (2 điểm)a, Cho các số a, b, c đôi một phân biệt thỏa mãn 
Tính giá trị biểu thức: .
b. Cho 5 số nguyên dương phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên nào khác 2 và 3. CMR trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương
Câu 3 (2điểm)Cho số thực x1, x2, .,xn. Với n ≥3. Kí hiệu max{x1, x2, .,xn} là số lớn nhất trong các số x1, x2, .,xn. CMR:
Câu 4 (1,5điểm) Trong lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng đánh số từ 1 đến 9). Sĩ số của học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ m, cột thứ n và sau khi chuyển chỗ , bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ am, cột thứ an, ta gắn cho bạn đó số nguyên . Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11
Câu 5(3điểm)Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự X,Z; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K
CMR: Góc MXT =Góc TXC; Góc MYZ = góc ZYD và góc CKD = 135 0.
CMR: 
c.Gọi I là giao điểm của MK và CD. Chứng minh rằng XT,YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT 
----------------------------------HÕt-----------------------------------
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh
h­íng dÉn ®Ò thi tuyÓn sinh SƯ PHẠM VÒNG 1
 (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr­êng chuyªn)
C©u 1: Cho biÓu thøc 
 víi a>b>0
 a)Rót gän biÓu thøc P
b)BiÕt a-b=1.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
H­íng dÉn
b)Thay a=b+1 ta cã
C©u 2: Trªn qu·ng ®­êng dµi 210 km ,t¹i cïng mét thêi ®iÓm mét xe m¸y khëi hµnh tõ A ®i vÒ B vµ mét ¤ t« khëi hµnh tõ B ®i vÒ A.Sau khi gÆp nhau xe m¸y ®i tiÕp 4 giê n÷a th× ®Õn B, « t« ®i tiÕp 2 giê 15 phót th× ®Õn A.BiÕt r»ng xe m¸y vµ « t« kh«ng thay ®æi vËn tèc trªn suèt chÆng ®­êng.TÝnh vËn tèc xe m¸y vµ « t«.
H­íng dÉn
Gäi v©n tèc xe m¸y lµ x (km/h) vËn tèc xe « t« lµ y (km/h) y>x>0
gäi chç gÆp nhau lµ C th× qu·ng ®­êng CB lµ 4x(km), CA lµ 
V× tæng qu·ng ®­êng CA va CB là 210 km ta cã PT 16x+9y=840( 1)
th¬i gian xe m¸y ®i hÕt 210 km lµ « t« ®i hÕt 210 km lµ 
V× ¤ t« ®i hÕt 210 km nhanh h¬n xe m¸y nªn ta cã PT
 (2)
T­ (1) va (2) ta cã hÖ PT
VËy vËn tèc ¤ t« lµ 40km/h xe m¸y lµ 30 km/h
Cách 2 Gọi vận tốc của xe máy là x(km/h) và vận tốc của ôtô là y(km/h)
Điều kiện : y > x > 0 (*)
Đổi 2h 15 phút = 
Chỗ gặp nhau cách A là và cách B là 4x. Vì quãng đường AB bằng 210km, nên ta có phương trình : (1)
Thời gian xe máy đi từ A đến B là (h)
Thời gian ôtô đi từ B đến A là (h)
Thời gian ôtô đi từ B đến A nhanh hơn thời gian xe máy đi từ A đến B là (h). Vậy ta có phơng trình : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình : 
Giải hệ ra ta đợc : (t/m) và (loại)
	Vậy vận tốc của xe máy là 30(km/h) và vận tốc của ôtô là 40(km/h)
Cách 3
Gọi C địa điểm ô tô và xe máy gặp nhau Gọi quãng đường AC là x (km) BC là y (km) ta có PT x+y=200 (1)
vận tốc ô tô xe máy lần lượt là 
ta có PT (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT
Giải hệ ta được x=90 , y=120 suy ra 
VËy vËn tèc ¤ t« lµ 40km/h xe m¸y lµ 30 km/h
C©u 3 Trªn mÆt ph¼ng täa ®é xOy cho Parabol (P) y=-x2 vµ ®­êng th¼ng (d) :
y=mx-m-2 ( m lµ tham sè).
	a)Chøng minh r»ng khi m thay ®æi , (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x1, x2.
	b) T×m m ®Ó 
H­íng dÉn
XÐt hÖ PT 
tõ PT (2) cã nªn PT (2) lu«n cã 2 nghiÖm Ph©n biÖt nªn (d) va (P) lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt 
ta cã hoµnh ®é x1 ,x2 lµ nghiÖm cña PT (2) theo ViÐt 
C©u 4 : Cho tam gi¸c ABC vµ ®­êng trßn cã t©m O tiÕp xóc víi ®o¹n th¼ng AB , AC t­¬ng øng t¹i K , L.TiÕp tuyÕn (d) cña ®­êng trßn t¹i ®iÓm E thuéc cung nhá KL c¾t ®­êng th¼ng AL, AK t­¬ng øng t¹i M, N.§­êng th¼ng KL c¾t OM t¹i t¹i P c¾t ON t¹i Q.
a)Chøng minh r»ng 
 b)Chøng minh r¨ng c¸c ®­êng th¼ng MQ, NP, OE cïng ®i qua mét ®iÓm.
c)Chøng minh KQ.PL=EM.EN
H­íng dÉn
XÐt tø gi¸c AKOL cã theo t/c tiÕp tuyÕn c¾t nhau ON,OM lµ ph©n gi¸c 
b)XÐt tø gi¸c MQOL cã 
nªn tø gi¸c MQOL néi tiÕp suy ra MQ ON t­¬ng tù NP OM
 xÐt tam gi¸c OMN cã OE, MQ, NP lµ 3 ®­êng cao nªn ®ång quy
c)Ta cã KQN ®ång d¹ng LMP (g.g) nªn 
mµ LM=ME; KN=NE nªn KQ.PL=EM.EN
C©u 5: Cho c¸c sè thùc d­¬ng x,y tháa m·n ®iªu kiÖn 
	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= x +y
H­íng dÉn
C¸ch 1: theo GT th× x>y
¸p dông B§T C«Si cho 2 sè d­¬ng 4xy vµ (x-y)2 ta cã 
V× P>0 nªn . 
C¸ch 2 :Thay (x-y)2=(x+y)2-4xy ta cã
 (tư GT suy ra xy>1 C«si cho xy-1 vµ 1)
C¸ch 3 : Thay (x-y)2=(x+y)2-4xy ta cã
(1)
Coi (1) PT bậc 2 ẩn xy ĐK cã nghiệm khi 
C¸ch 4: thay (t=x-y>0) thay vµo GT ta cã 
( ®Æt z=t2>0)
PT (1) cã nghiÖm z khi 
Cách 5
Vì x, y > 0 mà => x > y, Cả hai vế đều dơng bình phơng hai vế ta có : => . Đặt xy = X , thay P = x + y ta có
P2 = X(P2 – 4X) 4X2 – P2X + P2 = 0 , coi đây là phương trình bậc hai của X
=> D = P4 – 16P2 = P2(P2 – 16) . Để có nghiệm X, thì
D ³ 0 => ( do P > 0 ) => P (min) = 4
Khi đó. 
Do x > y => 
	Vậy P(min) = 4 khi 
Cách 6
x+y=(x-y)(x+y)2= (x-y)2xy(x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2 
(x+y)2==> xy-1>0
(x+y)2==4(xy-1)++816 
(x+y)2 16 (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = 4 4(xy-1)=xy=2 mà x+y =4 => x=2+; y=2-
Cách 7
x+y=(x-y)(x+y)2= (x-y)2xy(x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2 
(x+y)2= sử dụng phương pháp miền giá trị với phương
 trình 4(xy)2 -xy(x+y)2 +(x+y)2 =0 ẩn (xy) ta được (x+y)2 0
(x+y)2 16 (vì x,y là các số thực dương)
(x+y)2 16 (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = 4 xy=2 mà x+y =4 => x=2+; y=2-
h­íng dÉn gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh SƯ PHẠM VÒNG 2
 (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin)
Câu 1 (1,5 điểm)Giải phương trình:
H­íng dÉn
ĐK đặt (
ta có PT
với 
thay vµo thỏa mãn ĐK 
Câu 2 (2 điểm)a, Cho các số a, b, c đôi một phân biệt thỏa mãn 
Tính giá trị biểu thức: .
b. Cho 5 số nguyên dương phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên nào khác 2 và 3. CMR trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương
Hướng dẫn
a) từ GT ta có 
nên và 
nên 
mặt khác 
VËy M=2002
Cách khác Từ 
b)số trong 5 số có dạng trong đó x, y la số tự nhiên khác 0
(x;y) chỉ có thể (C;C); (L:L);(C;L);(L;C) vi có 5 số 4 dạng nên tồn tại 2 số cùng một dang nên tích 2 số này là số chính phương
Câu 3 (2điểm)Cho số thực x1, x2, .,xn. Với n ≥3. Kí hiệu max{x1, x2, .,xn} là số lớn nhất trong các số x1, x2, .,xn. CMR:
Hướng dẫn
Đặt 
ta chứng minh thật vậy ( đúng)
ta có 
Câu 4 (1,5điểm) Trong lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng đánh số từ 1 đến 9). Sĩ số của học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ m, cột thứ n và sau khi chuyển chỗ , bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ am, cột thứ an, ta gắn cho bạn đó số nguyên . Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11
Hướng dẫn
Gọi tọa độ ban là tổng hàng và cột m+n sau khi xếp lại chỗ ngồi mà bàn trống vẫn còn thì 
nên S chỉ phụ thuộc vào vị trí bàn trống trước khi xếp và sau khi xếp chỉ số cao nhất là 4+9=13 thấp nhất là 1+1=2 vậy Max(S)=13-2=11
Câu 5(3điểm)Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự X,Z; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K
CMR: Góc MXT =Góc TXC; Góc MYZ = góc ZYD và góc CKD = 135 0.
CMR: 
c.Gọi I là giao điểm của MK và CD. Chứng minh rằng XT,YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT 
a) nên tứ giác DXTM nội tiếp mà suy ra mà 
nên 
Tương tự tứ giác MCYZ nội tiếp suy ra ZY //BD nên 
T có tứ gics ADZY nội tiếp 
tương tự tứ giác BCTX nội tiếp nên 
nên 
b)ta có nên tứ giác DXKM nội tiếp 
ma DXTM nội tiếp nên 5 điểm D,X,K,T,M cung năm trên một đương tròn tâm E đương kính DT tương tự 5 điểm Y,K,Z,M.C năm trên đương tron tâm F đương kính ZC suy ra XK.XC=XZ.XM suy ra 
tương tự nên 
c)Gọi H là giao điểm XT va YZ Chứng minh H là tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác KZT (1)
ta có tứ giác KHZX nội tiếp (2)
tư (1) (2) nên H là tâm đường tron ngoại tiếp tam giác KZT
gọi giao của XC và YZ tại tại F ta chứng minh F ,H, Z thẳng hàng 
 nên F ,H, Z thẳng hàng 
tương tự gọi giao XT va ID tại E ta có E.H.T thẳng hàng
 đồng dạng suy ra 
vi FT//BC nên 
suy ra đồng dạng suy ra
nên O,I,H thẳng hàng
GV LT-Phú Thọ