Đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 môn thi: Toán học (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Trường đại học sư phạm hà nội	Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút 
Câu 1: Cho biểu thức 
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 2: 
Cho hai đường thẳng 
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m2x + m - 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định.
Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ 
1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Câu 4 : 
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho CI cắt BP ở H. 
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 
Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2
----------------------------------Hết-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	 Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút 
Câu 1: 
 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn 
	Chứng minh rằng 
 2.Chứng minh rằng số là số nguyên dương
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau 
Phương trình có 2 nghiêm a và b
Phương trình có 2 nghiêm c và d
 Chứng minh rằng
a-c=c-b=d-a
a+b+c+d=30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt 
 Chứng minh rằng:
	1.Nếu m>n thì 
	2.Nếu S là số chính phương thì m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy 
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song 
với CA .Chứng minh CP=CQ.
3.Cho góc ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a .
Tính diện tích tam giác MCN theo a.
 Câu 5 Trên bảng đen viết ba số .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới và đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số .
----------------------------------Hết-----------------------------------
Giải đề thi tuyển sinh Đại học sư phạm hà nội
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Câu 1:
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Hướng dẫn 
1. ĐKXĐ : x-26;x-6;x-3;x1;x2;
2. 
 Vì A Z nên 2A Z .
Xét 
x+3
-15
-5
-3
-1
1
3
5
15
x
-18
-8
-6
-4
-2
0
2(loại)
12
2A
4
6
8
18
-12
-2
0
2
A
2
3
4
9
-6 ( loại)
-1
0
1
Vậy thì A nguyên
Câu 2: 
Cho hai đường thẳng 
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m - 1
(d2): y = m2x + m - 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định.
Hướng dẫn 
1.Giải hệ 
ta đựợc 
2.ta có 
Vậy I thuộc đường thẳng y=-x-3 cố định 
Câu 3 : 
Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ 
1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Hướng dẫn
1.Từ (1) ta có x-y=z-1x2-2xy+y2=1-2z+z2 x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*)
Từ (2) ta có xy=-z2+7z-10 thay vào (*)
ta có x2 + y2 =2(-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (đpcm)
2. ta có -z2 + 12z - 19=17z2-12z+36=0z=6 thay vào ta có hệ 
 Hệ có 2 nghiệm (x,y,z){(1;-4;6);(4;-1;6)}
Câu 4 : 
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho CI cắt BP ở H. 
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
 3.Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 
Hướng dẫn
1.Kẻ KQ BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a; KBQ=300 nên áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có 
 nên 
áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có
2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a; nên nên DCI=300 theo GT ta có KBC=300 suy ra DPH=300 ( 2 góc so le của AP//BC) 
Vậy DPH=DCH =300 nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa góc 300 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp 
3. Kẻ KE KC thì EA=EB và KE//AP xét tam giác ABP có EA=EB; KE//AP nên KP=KB=a gọi N là trung điểm KC thì LN//CD và ; MN//KP; 
Vậy tam giác MNL cân tại N có (cạnh tương ứng //) Nên tam gíac MNL đều suy ra ( đpcm)
Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*)
Hướng dẫn
 Đặt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra 
Nếu thì a=6b ta có PT
Nếu b=6a ta có PT
PT(*) có 4 nghiệm
Cách khác Đặt x2-4=a; x-1=b thì x2-5x+1=a-5b ta có PT :
 (a-5b)a=6b2 
Giải đề thi tuyển sinh đại học sư phạm
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Câu 1: 
 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn 
	Chứng minh rằng 
 2.Chứng minh rằng số là số nguyên dương
Hướng dẫn 
từ GT 
suy ra 
ta có hệ 
2 Đặt a= 2009 ta có =
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau 
Phương trình có 2 nghiêm a và b
Phương trình có 2 nghiêm c và d
 Chứng minh rằng
a-c=c-b=d-a
a+b+c+d=30
Hướng dẫn 
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có 
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có 
Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a
2.Nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25
Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên 
 c là nghiệm PT(1) nên 
từ (5) và (6) ta có 
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt 
 Chứng minh rằng:
	1.Nếu m>n thì 
	2.Nếu S là số chính phương thì m=n 
Hướng dẫn 
1.ta chứng minh 
Bằng cách xét hiệu
Mặt khác vì n>1; m>n
2.Ta chứng minh 
xét S=(mn-1)2 thì 
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn 
 Xét S=(mn+1)2 thì 
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Từ đó ta có S=m2n2  thì suy ra m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy 
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song 
với CA .Chứng minh CP=CQ.
3.Cho góc ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a .
Tính diện tích tam giác MCN theo a.
Hướng dẫn 
Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy NBM
Ta có 
Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm)
3.Nếu ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a .thì 
 ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=
Kẻ CH AB thì 
Vậy: ( đvdt)
 Câu 5 Trên bảng đen viết ba số .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới và đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số .
Hướng dẫn 
Ta có 
Như vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới và thì tổng bình phương hai số mới không đổi nên tổng bình phương của ba số trên bảng không đổi bằng 
 mà tổng bình phương ba số là ( đpcm)
----------------------------------Hết-----------------------------------