Đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009 môn thi: Toán học (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút 
Câu 1: Cho biểu thức 
	 B=a4+20a3+102a2+40a+200
	a-Rút gọn A
	b- Tìm a để A+B=0
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm 12 h thì được 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc trên bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x2 và đường thẳng (d) có phương trình y=mx+1
Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) .Tìm giá trị lớn nhất của
 M=(y1-1)(y2-1)
Câu 4:Cho tam giác ABC với .Phân giác BK góc ABC cắt
đường cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (KAC;H, MBC)
	a-Tính AH
	b-Tính diện tích tam giác AOT
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : 
	 Chứng minh x+y=0
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	 Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin;Thời gian làm bài :150 phút )
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn và . Chứng minh rằng biểu thức
	 sau không phụ thuộc vào x, y
Câu 2	1) Cho phương trình , trong đó các tham số b và c thoả mãn 
	đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có hai
 nghiệm phân biệt sao cho 
Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình:
	Hãy tính giá trị của A = x + y + z
Câu 3 Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
ap + 1 chia hết cho q.
aq + 1 chia hết cho p.
Chứng minh 
Câu 4 Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F.
	1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.
	2) Gọi (O3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng.
	3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF.
Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này.
Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Đại học sư phạm hà nội
Thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào khối chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút 
Câu 1: Cho biểu thức 
	 B=a4+20a3+102a2+40a+200
	a-Rút gọn A
	b- Tìm a để A+B=0
Hướng dẫn
Ta có 
Câu 3: ( 2 điểm) Giải hệ phương trình
B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2)
;B=(a+10)2(a2+2)0;A+B0 dấu “=” khi a=-10
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm 12 h thì được 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc trên bao lâu?
Hướng dẫn
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong cả công việc là x (h) x>18
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong cả công việc là y (h) x>18
1 h người thứ nhất làm được (CV); 1 h người thứ hai làm được (CV)
1 h cả hai người làm được (CV) ta có PT: (1)
người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm 12 h thì được 50% công việc.ta có PT:
 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ 
Vậy mội đội đội là riêng 36 h xong
Câu 3: Cho Parabol y= x2 và đường thẳng (d) có phương trình y=mx+1
Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) .Tìm giá trị lớn nhất của
 M=(y1-1)(y2-1)
Hướng dẫn
a-xét hệ PT:
xét PT x2-mx-1=0 có 
b-y1=mx1+1;y2=mx2+1;M=m2.x1x2 mà x1;x2 là nghiệm PT x2-mx-1=0 theo Viét x1x2=-1 nêm M=-m2 0 Max(M)=0
Câu 4:Cho tam giác ABC với .Phân giác BK góc ABC cắt
đường cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (KAC;H, MBC)
	a-Tính AH
	b-Tính diện tích tam giác AOT
Hướng dẫn
Hướng dẫn
a-Đặt CH=x thì BH=10-x ta có áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABH;ACH AH2 =AB2 -BH2 =25-x2 ; AH2 =A2C -H2C =45-(10-x)2 
Ta có PT : 25-x2 =45-(10-x)2 25-x2 =45-100+20x-x2 20x=80 x=4 nên AH=3
b-áp dụng tính chất phân giác ;;;
(đvdt)
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : 
	 Chứng minh x+y=0
Hướng dẫn
Ta có :
Tương tự 
Cộng (1) và (2) Ta có 
 Vậy x+y=0 (đpcm)
Đại học sư phạm hà nội
Môn thi: Toán học
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán và chuyên tin)
Thời gian làm bài :150 phút 
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn và . Chứng minh rằng biểu thức
	 sau không phụ thuộc vào x, y
Hướng dẫn
Câu 2	
1) Cho phương trình , trong đó các tham số b và c thoả mãn 
	đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có hai
 nghiệm phân biệt sao cho 
Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình:
	Hãy tính giá trị của A = x + y + z
Hướng dẫn
a)Theo giả thiết ta có 
b) 
Câu 3 Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
ap + 1 chia hết cho q.
aq + 1 chia hết cho p.
Chứng minh 
Hướng dẫn
xét pq=1 ta có đpcm
 xét :pq>1 
xét hiệu (vì pq>1) nên 
Cách khác :
Ta có (đpcm)
Câu 4 Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F.
	1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.
	2) Gọi (O3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng.
	3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF.
 Hướng dẫn
a) ta có tứ giác CEHF là hình chữ nhật 
Ta có CFE=EAB ( cùng bằng CHE) nên tứ giác AEFB nội tiếp
b)Kẻ trung trực EF cắt HD tại O3 chứng minh O3 là tâm đường tròn ngoại tiếp
tứ giác AEFB
Chứng minh được CD EF trong tam giác CHD có IO3 là đường trung bình
Nên O3O AB mà OA=OB nên O3O là trung trực của AB nên O3 là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB
 hay H,O3 ,D thẳng hàng
c) BFS=BKS (cùng bù EFB) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy ra FKS=FBA
mà FBA=CEF nên FKS=CEF nên tứ giác CEFK nội tiếp suy ra EKF=ECF=900 hay FK vuông góc với EK
Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này.
Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.
Hướng dẫn
 a-cách chia 1 cạnh thành 100 phần bằng nhau qua các điểm chia kẻ các đường thẳng // cạnh kia ta được 100 hình vuông có chu vi bằng nhau khi đó P=2,02
Chia 1 cạnh thành x phần bằng nhau cạnh còn lại là y phần bằng nhau (x,y N*)
Ta có xy=100 gọi kích thước mỗi hình chữ nhật là a,b thì 
 khi đó ; P (max )khi x+y (max)
Mà (x;y)=(1;100);(2;50);(4;25);(5;20);(10;10) chỉ có cặp (1;100) thoả mãn 
Khi đó P(max)=2,02