Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên năm học 2012 - 2013 môn toán lớp 9

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN
Câu 1: Xét biểu thức P = .
	a) Rút gọn biểu thức P.
	b)Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 5x - m + 2.
	a) Khi m = - 4, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d).
	b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1; x2 thoả mãn hệ thức: .
Câu 3: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc và thời gian dự định trước. Sau khi đi được quãng đường AB, người đó tăng vận tốc thêm 10 km/giờ trên quãng đường còn lại nên đến B sớm hơn dự định 24 phút. Tìm vận tốc dự định và thời gian dự định đi từ A đến B lúc đầu.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng B, C) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng C, D) sao cho: . BD cắt AN và AM theo thứ tự lần lượt tại P và Q.
	a) Tính góc ? 
	b) Chứng minh 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
	c) Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
Câu 5: Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 
Câu 1: Điều kiện ; 
a) P = =
= = 
b) P = . Giá trị lớn nhất của P là khi hay 
Câu 2: 
a) Với m = -4, đường thẳng (d) là: y = 5x + 6. Khi đó, hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là nghiệm phương trình: x2 – 5x – 6 = 0 
Với x = -1, ta có y = 1; với x = 6, ta có y = 36. Tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: M(-1; 1) và N(6; 36)
b) Xét hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d): (1)
Yêu cầu bài tập phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, thỏa mãn hệ thức: 
+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 
 . 
Với (*)
Ta có: 
Đặt ta được phương trình ẩn t : 9t2 – 8t – 20 = 0 Giải phương trình này ta được: t1 = 2 > 0 (nhận), t2 = (loại)
Ta có m = 6 (thỏa mãn điều kiện *). Vậy m = 6 là giá trị m cần tìm
Câu 3: Gọi vận tốc dự định là x (km/giờ) (điều kiện x > 0), thời gian dự định đi từ A đến B là: (giờ); một phần ba quãng đường AB là 40km, thời gian đi quãng đường này với vận tốc dự định là: (giờ); Hai phần ba quãng đường AB còn lại là 80km, thời gian đi quãng đường này với vận tốc (x+10) km/giờ là: (giờ). Theo đầu bài ta có phương trình:
 (1) 
Giải phương trình (1) với điều kiện x >0, ta được nghiệm x = 40
Vậy: Vận tốc dự định ban đầu là 40 km/giờ; Thời gian dự định đi từ A đến B là 3 giờ
Câu 4:
a) Ta có (gt), mà 
b) Tứ giác ABMP có nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra (1) 
Tương tự, tứ giác ADNQ nội tiếp và có (2)
Từ (1) và (2) suy ra, tứ giác PQMN nội tiếp đường tròn đường kính MN (3)
Mặt khác: tứ giác PMCN có nên tứ giác PMCN nội tiếp đường tròn đường kính MN (4)
Từ (3) và (4) suy ra năm điểm P, Q, M, C, N nằm trên đường tròn đường kính MN.
c) Ta có . Kẻ AH MN. Dễ thấy: 
Vậy: đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định.
Câu 5: Điều kiện: ; A
. Dấu “=” xảy ra 
Vậy: giá trị nhỏ nhất của A là khi và