Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ thpt chuyên năm 2012 môn thi: Toán (cho tất cả các thí sinh) thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
 HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
§Ò chÝnh thøc
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải phương trình
2)Giải hệ phương trình
Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên  thỏa mãn đẳng thức: 
 2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện 
Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.
1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng
2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN.
Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1)Giải hệ phương trình
 2) Giải phương trình
Câu II. 1) Tìm tất hai chữ số cuối cùng của số cả 
 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
 Với 
 Câu III.Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB.
1)Giả sử CP cắt cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O)
 2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại S. Chứng minh 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn.
Câu IV. Với mỗi số nguyên n lớn hơn hoặc bằng 2 cố định xét các tập n số thực đôi một khác nhau .Kí hiệu là số giá trị khác nhau của tổng .Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
( dành cho mọi thí sinh)
Câu I. 1) Giải phương trình
2)Giải hệ phương trình
Hướng dẫn
Giải phương trình ĐKXĐ 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1=-5, x2=4048135
2)Giải hệ phương trình 
Cách 1
Hệ PT(1) có 2 nghiệm (x;y)= (1;1) hoặc (x;y)=(2;0) Hệ PT ( 2) Vô nghiệm
C¸ch 2
NÕu x + 1 = 0 => x = -1, thay vµo PT(2) ta cã : 0y = 6(VN)
VËy x ¹ -1, tõ PT (2) => y = (*)Thay vµo PT (1) ta ®­îc
 . Do x2 + 5x + 10 > 0
+) Víi x – 1 = 0 => x = 1, thay vµo (*) => y = 1
+) Víi x – 2 = 0 => x = 2, thay vµo (*) => y = 0
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (x ; y) = (1 ; 1) , (2 ; 0)
Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên  thỏa mãn đẳng thức: 
 2) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điêu kiện 
Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Hướng dẫn
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên  thỏa mãn đẳng thức: 
C¸ch 1 : 
V× x, y nguyªn nªn ta cã c¸c tr­êng hîp sau
TH1 : (V« nghiÖm x,y nguyªn)
TH2 : 
TH3 : 
TH4 : (V« nghiÖm)
VËy cã 2 cÆp sè nguyªn (x ; y) = (1 ; 1), (-1 ; -1)
C¸ch 2 : §Æt x + y = u vµ xy = v, ta cã ph­¬ng tr×nh
Cã D = 
x;y nguyªn => u,v nguyªn => D ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng
D = = n2 => (n – v + 3)(n + v – 3) = 12
Cách 3
Ta có a+1 là ước của 3
2) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điêu kiện 
Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Cách 1
áp dụng BĐT cô si cho 
ta có 
Áp dụng BĐT bunhia cho Ta cã 
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhia cho ; va ;
Ta có Min(p)=2 khi x=y=1
Cách 2 áp dụng BĐT Bunhia cho ; vµ ;
Min (P)=2 khi x=y=1
Cách 3 Tõ => 
=> (1)
Ta l¹i cã : (2)
Tõ (1) vµ (2) 
=> 
=> => 
Mµ (3)
Ta cã : 
=> 
=> P = 
Ta cã : (4)
Tõ (3) vµ (4) => P = 
P(min) = 2 khi x = y = 1
Cách 4Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta có : 
 (*)
Mặt khác theo Bất đẳng thức Côsi ta có : 
mà nên từ (**) (***)
Vậy từ (*) và (***) do đó giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x=y=1(t/m)
Cách 5 từ GT 
Áp dụng BĐT Côsi
P(min) = 2 khi x = y = 1
 Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.
1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng
2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN.
H­íng dÉn
1) Chøng minh N, P, D th¼ng hµng
Gäi O’ lµ t©m ®­êng trßn ®­êng kÝnh MP
D lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua O=> OD = OM => MD lµ ®­êng kÝnh ®­êng trßn (O)
XÐt ®­êng trßn (O) : (1)
XÐt ®­êng trßn (O’) : (2)
Tõ (1) vµ (2) => DN trïng PN => N, P, D th¼ng hµng
b/ Chøng minh P lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c AQN
XÐt ®­êng trßn (O) : (Cïng ch¾n) (3)
XÐt ®­êng trßn (O’) : (Cïng ch¾n ) (4)
Tõ (3) vµ (4) => 
NP lµ ph©n gi¸c (I)
XÐt tø gi¸c ADQP cã => 
=> Tø gi¸c ADQP néi tiÕp
XÐt ®­êng trßn ngoµi tiÕp tø gi¸c ADQP, ta cã
 (Cïng ch¾n ) (5)
XÐt ®­êng trßn (O) : (Cïng ch¾n ) (6)
Tõ (5) vµ (6) => 
AP lµ ph©n gi¸c (II)
Tõ (I) vµ (II) => P lµ giao cña ba ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c AQN => P lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c AQN
Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn
Cách 1 Nhận thấy suy ra nên 
ta chứng minh 
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 
Dấu “=” xảy ra khi 
Cách 2 Nhận thấy
 Bây giờ ta sẽ đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 với 
dự đoán nên do nên thì 
đặt 
Ta phaỉ chứng minh (*) 
luôn đúng vì 
vậy 
Cách 3 Ta cã : a + b ³ c => a + b –c ³ 0 (1)
Tõ a + b ³ c ³ b + 1 => a ³ 1 mµ b ³ a
=> (2)
Sö dông (1) vµ (2) ta cã
 V× c ³ 3
VËy Q(min) = khi 
Toán Khoa học tự nhiên ( Vòng 2)
Hướng dẫn
Câu11)Giải hệ phương trình
 2) Giải phương trình
Hướng dẫn
 1) Cách 1 Thay 6= 3 lần PT 2 được PT đẳng cấp bậc 3
 Cách 2
thay x=y vào PT (1) ta tìm được nghiệm
2) ĐKXĐ 
Nhân liên hợp với>0
Giải ra ta được 
Câu 2 . 1) Tìm tất hai chữ số cuối cùng của số cả 
 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
 Với 
Hướng dẫn
1) Ta có 574 1 (mod 100) =>( 574 )503 1503 1(mod 100) 
 => 572012 có 2 chữ số tận cùng là 01 
Ta có 415 1 (mod 100) =>( 415 )21 (1)21 (mod 100) 
=>( 45 )21 1 (mod 100) =>41( 415 )21 = 41106 41.141 (mod 100) 
 => 41106 có 2 chữ số tận cùng là 41
Vậy A=4106 + 572012 có 2 chữ số tận cùng là 41+1=42 
2)Tư điều kiện bài toán Áp dụng Côsi cho 2x-1 và 1; x2 và 5-4x2 Ta có 
Công từng vế ta có 
Min(y)=4 khi 
Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB.
1)Giả sử CP cắt cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O)
 2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại S.
Hướng dẫn
Chứng minh ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau); 
 ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
suy ra ( cùng phụ 2 góc bbằng nhau)
suy ra tứ giác ACMT nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc)
ta có (do tứ giác ATQP nội tiếp) mà suy ra suy ra PQ//BC//MN nên 
 suy ra 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4 Với mỗi số nguyên n lớn hơn hoặc bằng 2 cố định xét các tập n số thực đôi một khác nhau .Kí hiệu là số giá trị khác nhau của tổng .Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 
Hướng dẫn
giải sử 
 và 
GV LT-Phú Thọ