Đề thi tuyển sinh đại học năm 2014 môn : Toán; Khối D

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
Môn : TOÁN; khối D
Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.
Câu 2 (1,0 điểm) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - )(1 + i) – 5z = 8i – 1. Tính môđun của z.
Câu 3 (1,0 điểm) : Tính tích phân I = .
Câu 4 (1,0 điểm): 
a) Giải phương trình: log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + 2 = 0
b) Cho một đa giác đều n đỉnh, n Î N và n ³ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.
Câu 5 (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 
(P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
Câu 6 (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Câu 7 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm D (1; -1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – 9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu 8 (1,0 điểm): Giải bất phương trình: 
Câu 9 (1,0 điểm): Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 £ x £ 2; 1 £ y £ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
	P = 
Bài giải 
Câu 1: 
a) 	Tập xác định là R. y’ = 3x2 – 3; y’ = 0 Û x = ±1. và 
x
-¥ 	 -1	1 +¥
y’
 +	 0 -	 0 +
y
 0 +¥
-¥ CĐ -4
	CT
	Hàm số đồng biến trên (-∞; -1) ; (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (-1; 1)
	Hàm số đạt cực đại tại x = -1; y(-1) = 0; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y(1) = -4
	y" = 6x; y” = 0 Û x = 0. Điểm uốn I (0; -2)
	Đồ thị : 
y
0
-2
-4
-1
 1
x
 2
b)	y’ (x) = 9 Û 3x2 - 3 = 9 Û x = ±2
	y(-2) = -4; y(2) = 0
	Vậy hai điểm M là (-2; -4) và (2; 0)
Câu 2: Giả thiết Û (3i – 2)z – (1 + i) = 8i – 1
	Gọi z = a + ib Þ (3i – 2)(a + ib) – (1 + i) (a – ib) = 8i – 1 
	Û - 3a – 4b + (2a – b)i = 8i – 1 
	Û 3a + 4b = 1 và 2a – b = 8 Û a = 3 và b = -2
	Vậy môđun của z là : .
Câu 3: . Đặt u = x+1 Þ du = dx
	dv = sin2xdx, chọn v = – cos2x
	I = = 
	 =
 Câu 4 : a) log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + 2 = 0
	Û log2(x – 1) – log2(3x – 2) = -2 	Û x > 1 và log2 
	Û x > 1 và 4(x – 1) = 3x – 2 Û x = 2
b) Số các đoạn thẳng lập được từ n đỉnh là 
Số cạnh của đa giác n đỉnh là n
Vậy số đường chéo của đa giác n đỉnh là: -n 
Theo đề bài ta có -n = 27 
n = 9 hay n = -6 (loại)
Câu 5:	(S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = 0
	I (3; 2; 1); R = = 5.	(P) : 6x + 3y – 2z – 1 = 0
	d(I, (P)) = 	Þ (P) cắt (S) theo một đường tròn (C)
	D là đường thẳng đi qua I (3; 2; 1) và nhận = (6; 3; -2) là vectơ chỉ phương
	Tâm đường tròn (C) là giao điểm của D và (P) thỏa hệ phương trình :
	Thế (1), (2), (3) vào (4) ta được : 6(3 + 6t) + 3 (2 + 3t) – 2(1 – 2t) – 1 = 0
	Û 49t + 21 = 0 Û t = 
	Þ 
S
A
B
C
I
J
a
Câu 6 : 
Gọi I là trung điểm của BC Þ SI ^ BC Þ SI ^ mp(ABC)
DABC vuông cân Þ AI = 
S(ABC) = 
VS.ABC= 
Kẻ IJ vuông góc với SA, DSIA vuông góc tại I, IJ là khoảng cách giữa SA và BC
Þ Þ IJ = 
Câu 7 : Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình :
 Û A (1; 3)
Phương trình đường thẳng AD : x = 1
Gọi a là góc hợp bởi AB và AD Þ cosa = 
Phương trình AC có dạng : a(x – 1) + b(y – 3) = 0
Gọi b là góc hợp bởi AD và AC Þ b = a
cosb = = Û 4a2 = 9b2. Chọn b = 1 Þ a = ± (loại a = )
Þ Phương trình AC : -3x + 2y – 3 = 0 
Gọi g là góc hợp bởi đường tiếp tuyến tại A với đường tròn ngoại tiếp DABC và đường thẳng AC
Þ cosg = ; cosB = cosg
Phương trình BC có dạng : a(x – 1) + b(y + 1) = 0
cosB = cosg Û 5(9a2 + 4b2 – 12ab) = a2 + b2 Û 44a2 + 19b2 – 60ab = 0
Chọn b = 1 Þ a = hay a = 
Vậy phương trình BC là : (x – 1) + y + 1 = 0 Û x + 2y + 1 = 0
hay (x – 1) + y + 1 = 0 Û 19x + 22y + 3 = 0
Câu 8 : 
Với Đk : x ³ - 2 thì bất pt Û
Û 
Û (*)
Ta có: = = x+4 < x + 4 "x ³-2
Vậy (*) Û x – 2 £ 0 Û x £ 2. Vậy -2 £ x £ 2 là nghiệm của bất phương trình.
Câu 9 : 
	P = 
	P ³ 
 = 
Đặt t = x + y, đk 2 £ t £ 4
	f(t) = , t Î [2; 4]
	f’(t) = 
	 f’(t) = 0 Û 2(t – 1) = ± (t + 1) Û 2t – 2 = t + 1 hay 2t – 2 = -t – 1 
	Û t = 3 hay t = 1/3 (loại) . Ta có f(3) = 
	Khi t = 3 Þ Û . Vậy Pmin = tại hay 
Trần Minh Thịnh, Hoàng Hữu Vinh, Lưu Nam Phát, Lê Ngô Thiện 
(Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn – TP.HCM)