Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao năm 2006 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút

1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao năm 2006
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Phương trình : x3 − ax2 + 4 = 0, (trong đó a là tham số), có bao nhiêu nghiệm ?
Bài 2:
Cho dãy số {un} xác định như sau : u0 ∈ R và
un+1 = un +
∫ 1
0
|t− un|dt ∀n ∈ N
1/ Chứng minh rằng : Đó là một dãy số tăng và nếu u0 ≥ 1 thì :
un+1 = 2un − 1
2
Từ đó chứng minh rằng
limn→∞un = +∞
2/ Chứng minh rằng nếu 0 ≤ u0 < 1 hay nếu u0 < 0 thì limn→∞un = +∞.
Bài 3:
Với mọi n nguyên dương, đặt In =
∫ 1
0
xnln(1 + x2)dx.
1/ Tính limn→∞In .
2/ Giả sử c ∈ (0, 1). Đặt An =
∫ c
0
xnln(1 + x2)dx, Bn =
∫ 1
c
xnln(1 + x2)dx.
Chứng minh rằng limn→∞AnBn = 0.
Bài 4:
1/ Tìm những hàm số f(x) xác định trên R liên tục tại 0 sao cho :
f(2x) = f(x) ∀x ∈ R
2/ Tìm những hàm số g(x) xác định trên R, có đạo hàm tại 0, sao cho :
g(2x) = 2g(x) ∀x ∈ R
Bài 5:
x và y là hai đường thẳng chéo nhau. A và B là hai điểm cố định trên x. CD là đoạn
thẳng có chiều dài l cho trước trượt trên y. Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần
của tứ diện ABCD là nhỏ nhất. .
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp