Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2001 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút

1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2001
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Cho hàm số f(x) = e
x
(x+1)2 . Xét dãy số {un} xác định bởi u0 = 1, un+1 =
f(un) với mọi n nguyên dương.
1/ Chứng minh rằng phương trình f(x) = x có một nghiệm duy nhất α
trong khoảng (12 , 1).
2/ Chứng minh rằng un ∈ [12 , 1] với mọi n nguyên dương.
3/ Chứng minh rằng f ′(x) tăng trên đoạn [12 , 1]. Suy ra tồn tại một số
k ∈ (0, 1) sao cho |un − α| = k|un − α| với mọi n nguyên dương,
4/ Chứng minh rằng:
limn→∞un = α.
Bài 2:
Với hai số x, y ∈ R ta đặt d(x, y) = |x−y|1+|x−y| .
Chứng minh rằng với 3 số x, y, z ∈ R ta luôn có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Bài 3:
Cho hàm số f(x) có f”(x) > 0 và a < b, Chứng minh rằng :
1/
f [λx1+(1−λ)x2] > λf(x1)+(1−λ)f(x2) ∀ x1, x2 ∈ [a, b], ∀ 0 < λ < 1.
2/ ∫ b
a
f(x)dx ≤ (b− a)f(a+ b
2
)
Bài 4:
Cho a < b và hàm số f(x) có f ′(x) liên tục trên R thỏa mãn f(a) = f(b) = 0
và
∫ b
a |f ′(x)|dx = m. Chứng minh rằng :
|f(x)| ≤ m
2
∀ x ∈ [a, b].
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp