SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán; Lớp: 10 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề Câu 1. (4 điểm) . Giải hệ phương trình: Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC; P, Q lần lượt là các giao điểm của EF với các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O); MF cắt AD tại L; ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K. Chứng minh MP//CF, MQ//BE. Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên cung Tính góc giữa hai đường thẳng IK và EL? Câu 3. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: với Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: Câu 5. (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3;...;2015} Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của một tập con bất kì của S để tập đó chứa ít nhất 3 số nguyên liên tiếp. Tính số tập con gồm 16 phần tử của S thỏa mãn điều kiện có ít nhất 3 số nguyên liên tiếp trong tập đó. ----------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................ Người phản biện Trần Thị Kim Diên SĐT: 0983496088 Người ra đề Triệu Văn Dũng SĐT: 0915 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán; Lớp: 10 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1. Câu 1. (4 điểm) . Giải hệ phương trình: 4 ĐKXĐ: ; Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho (1) ta có: = 1 Dấu bằng xảy ra (2) (x-y-1)(2x+2y-15) = 0 (4) hoặc (5) 1 +) Từ (4) và (3) ta được phương trình: (x; y) = () (thỏa mãn) hoặc (x;y)= ()(loại) 1 +) Từ (5) và (3) ta được phương trình: (x; y) = (); () Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) là S = {(); (); ()} 1 2 Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC. P, Q lần lượt là giao của EF với tiếp tuyến tại B và C của (O). MF cắt AD tại L, ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K. Chứng minh MP//CF, MQ//BE. Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên Tính (IK,EL)? 4 Ta thấy tứ giác BCEF nội tiếp (M) đường kính BC, do đó , suy ra tam giác PFB cân tại P, ta được PB=PF. Mặt khác, ta có MB=MF nên MP trở thành trung trực của BF Suy ra hay MP//CF. Tương tự, có MQ//BE (đpcm) 1,5 Ta đi chứng minh IJ đi qua M là điểm cố định: Nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp (I) đường kính AH, do đó IE=IF=AH/2. Mà ME=MF=BC/2, suy ra MI là đường trung trực của EF. Hay MI đi qua J. Vậy IJ luôn đi qua M khi A di động trên (đpcm) 1,5 Ta sẽ chỉ ra như sau: Do FK//BC nên suy ra Theo định lí Pythagore cho các tam giác IEK, IFL ta biến đổi: Và Suy ra , hay . Vậy /2 1 3 Câu 3. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thức thỏa mãn: với 4 Giả sử tồn tại đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn bài toán. Từ GT ta thay x bởi 2y, suy ra: (1) với mọi y thuộc *) Nếu P(x)=c (const), suy ra hay c=0, suy ra với mọi x. (thỏa mãn) 1 *) Nếu P(x) khác hằng số, giả sử P(x) có dạng (), so sánh hệ số dẫn đầu 2 vế (1) ta thấy: Hay 1 +) Nếu n chẵn, suy ra điểu vô lí vì với mọi n thuộc +) Nếu n lẻ, suy ra suy ra n=1. Suy ra P(x)=ax+b (). Mà từ GT, thay x=y=0 ta được P(0)=0, nên b=0. 1 Thay P(x)=ax vào GT ta có: với mọi x,y thuộc , với mọi x,y thuộc (Vô lí) Vậy là đa thức duy nhất thỏa mãn bài. 1 4. Câu 4: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: = (*) 4 (*) = = Gọi d = ( ), d => d và d => d và d => 29 d (1) 1 => d { 1 ; 29 } +) Nếu p = 11 =>(2) Mà > do > 0 Nên kết hợp (1) và (2) suy ra và x+5 =1 (vô lí vì xÎ nên x+5 > 1) => loại 1 +) Nếu p 11, xét 2 trường hợp: TH1: d = 29 => p = 29 vì p nguyên tố => Loại 1 TH2: d = 1, suy ra vô lí (loại) Vậy phương trình vô nghiệm, hay không tìm được bộ (x;p;n) nào thỏa mãn đề bài với p là số nguyên tố. 1 5 Câu 5. (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3;...;2015} Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của 1 tập con bất kì của S để tập đó chứa ít nhất 3 số nguyên liên tiếp. Tính số tập con gồm 16 phần tử của S thỏa mãn có ít nhất 3 số nguyên liên tiếp trong tập đó. 4 Nếu k1344 và T{1;2;4;5;7;8;...;2014;2015} gồm 1344 phần tử, chọn k bất kì thấy không thỏa mãn. Nếu k1345. Ta chứng minh k=1345 thỏa mãn. Thật vậy chia S thành 672 bộ {1;2;3};{4;5;6};...;{2011;2012;2013};{2014;2015}. 1 Xét 671 bộ trừ bộ {2014;2015} theo nguyên lí Dirichlet tồn tại +1 = 3 phần tử thuộc tập con 1345 phần tử của S thuộc 1 trong 671 bộ này (đpcm). Vậy giá trị nhỏ nhất của k= 1345. 1 b) Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát. Gọi A là họ các tập con của S gồm m phần tử không có 3 số nguyên liên tiếp nào (m B. Thật vậy: Xét tập G Î A. Giả sử G={a1, a2,..., am }, aj (a1,a2-1,a3-2,...,am-m+1) suy ra tồn tại song ánh f: A-> B => lAl = lBl. Số tập B như vậy được tạo thành bằng cách lấy i phần tử từ 1-> n-m+1 ( £ i£ m), sau đó chọn m-i còn lại trong i tập này. 1 lBl = Cin-m+1.Cm-ii = lAl. Vậy số các tập thỏa mãn đề bài là: Ckn - lAl. Thay số n=2015; m=16. 1 Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải bài 4, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.
Tài liệu đính kèm: