Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2021 - Đề 14 (Có lời giải chi tiết)

ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 14
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2021
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: 
Số báo danh: .
Câu 1: 	Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2: 	Cho cấp số cộng , biết và . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3: 	Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng có bảng biến thiên như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .	
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .	
D. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 4: 	Cho hàm số xác định và liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5: 	Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây
.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6: 	Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7: 	Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8:	 Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9: 	Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10: 	Đạo hàm của hàm số là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11: 	Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12: 	Nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13: 	Tích các nghiệm của phương trình là 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14: 	Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 15: 	Biết là một nguyên hàm của của hàm số thỏa mãn . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16: 	Cho . Tính ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17: 	Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Diện tích của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 18: 	Cho hai số phức và . Phần thực của số phức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19: 	Cho hai số phức và thỏa mãn và . Số phức bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20: 	Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức qua trục có tọa độ là
	A. 	B. 	C. 	D. .
Câu 21: 	Khối chóp có đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hành bằng và chiều cao khối chóp bằng Tính thể tích khối chóp .
	A. .	B. 	C. 	D. 
Câu 22: 	Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước có độ dài là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 23: 	Công thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là và chiều cao là
	A. 	B. 	C. . 	D. 
Câu 24: 	Hình trụ có đường cao và đường kính đáy là . Diện tích toàn phần của hình 
 trụ đó bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 25: 	Trong không gian , cho hai điểm và . Độ dài đoạn thẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 26: 	Trong không gian , mặt cầu có tâm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 27: 	Trong không gian , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 28: 	Trong không gian , đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 29: 	Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số nguyên tố bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 30: 	Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 31: 	Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Khi đó có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 32: 	Tập nghiệm của bất phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 33: 	Nếu thì bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 34: 	Cho số phức . Gọi lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức . Khi đó giá trị của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại có . Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật , và . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 37: 	Trong không gian , mặt cầu có tâm và tiếp xúc với trục có phương trình là:
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 38: 	Trong không gian , cho hình bình hành có và . Phương trình tham số của đường thẳng là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 39:	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Bảng biến thiên của hàm số được cho như hình vẽ. Trên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng?
A. 	B. 	C. .	D. .
Câu 40. 	Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi có không quá số nguyên thỏa 	mãn ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 41:	Cho hàm số . Tích phân bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 42. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thực?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 43.	Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , . Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích khối chóp bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 44:	Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ , phần còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 45: 	Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Đường thẳng cắt cả hai đường thẳng , và song song với đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 46.	Cho hàm số và có là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 47:	Có bao nhiêu nguyên để phương trình có nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 48:	Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đạt cực trị tại hai điểm thỏa . Gọi là hai điểm cực trị của đồ thị là giao điểm của với trục hoành; là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, là diện tích tam giác . Biết tứ giác nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 49:	Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai số phức có điểm biểu diễn , số phức có điểm biểu diễn là thỏa mãn , và . Giá trị lớn nhất của là , giá trị nhỏ nhất của là . Biết , với . Tính ? 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 50:	Trong không gian Cho và hai điểm Mặt cầu tâm bán kính đi qua hai điểm hai điểm và tiếp xúc với đường thẳng Khi đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm là Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.D
3.B
4.D
5.C
6.C
7.D
8.D
9.A
10.A
11.B
12.B
13.C
14.B
15.A
16.A
17.D
18.A
19.D
20.D
21.B
22.A
23.B
24.C
25.D
26.B
27.B
28.C
29.B
30.D
31.D
32.A
33.B
34.C
35.A
36.A
37.B
38.A
39.A
40.C
41.D
42.D
43.A
44.D
45.B
46.C
47.C
48.D
49.B
50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: 	Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử, nên có cách.
Câu 2: 	Cho cấp số cộng , biết và . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết và suy ra ta có hệ phương trình: .
Vậy .
Câu 3: 	Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng có bảng biến thiên như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .	B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .	D. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Lời giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng , suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng .
Câu 4: 	Cho hàm số xác định và liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Căn cứ vào đồ thị ta có
, và , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại .
, và , suy ra hàm số đạt cực đại tại .
Hàm số không đạt cực tiểu tại hai điểm vì không đổi dấu khi đi qua .
Câu 5: 	Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây
.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 6: 	Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có :
Vì nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Vì , nên đường thẳng là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số
Câu 7: 	Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào hình dạng đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số bậc 3, hệ số .
Câu 8: Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số và trục hoành:
.
Phương trình có 3 nghiệm nên đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.
Câu 9: Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 10: Đạo hàm của hàm số là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 11: Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 12: Nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
.
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 13: Tích các nghiệm của phương trình là 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Nên tích các nghiệm của phương trình là .
Câu 14: Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có là một nguyên hàm của nếu .
 Mà .
Câu 15: Biết là một nguyên hàm của của hàm số thỏa mãn . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
Ta có . 
	Mà 
	Suy ra .
Câu 16: Cho . Tính ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
Câu 17: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Diện tích của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Diện tích của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là .
Câu 18: Cho hai số phức và . Phần thực của số phức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: Nên phần thực của số phức là .
Câu 19: 	Cho hai số phức và thỏa mãn và . Số phức bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D 
.
.
Do đó 
Câu 20: 	Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức qua trục có tọa độ là
	A. 	B. 	C. 	D. .
Lời giải
Chọn D 
Số phức có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là .
Điểm đối xứng với qua là .
Câu 21: 	Khối chóp có đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hành bằng và chiều cao khối chóp bằng Tính thể tích khối chóp .
	A. .	B. 	C. 	D. 
Lời giải
	Chọn B
	Vì là hình bình hành nên 
Câu 22: 	Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước có độ dài là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
	 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là thì có độ dài đường chéo là .
	 Do đó độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật đã cho là 
Câu 23: Công thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là và chiều cao là
	A. 	B. 	C. . 	D. 
Lời giải
Chọn B
	 Thể tích khối nón có bán kính đáy là và chiều cao là: .
Câu 24: Hình trụ có đường cao và đường kính đáy là . Diện tích toàn phần của hình 
 trụ đó bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn C
Đường kính đáy hình trụ là bán kính đáy là 
Diện tích toàn phần của hình trụ là: .
Câu 25: Trong không gian , cho hai điểm và . Độ dài đoạn thẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D. 
. Chọn đáp án D. 
Câu 26: Trong không gian , mặt cầu có tâm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B. 
Mặt cầu đã cho có tâm là điểm . Chọn đáp án B. 
Câu 27: Trong không gian , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B. 
Vectơ là một vectơ chỉ phương của trục . Do đó nó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục . Chọn đáp án B. 
Câu 28: Trong không gian , đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C. 
Xét các phương án A, B, C. Ta có . Thay vào ta thấy phương án C thỏa mãn. Chọn đáp án C. 
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số nguyên tố bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B. 
Trong 10 số nguyên dương đầu tiên có 4 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7. Do đó xác suất để chọn được số nguyên tố bằng hay là .
Câu 30: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D. 
Xét hàm số có tập xác định và với mọi . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng . Chọn đáp án D. 
Câu 31: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Khi đó có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có .
.
Do nên .
Ta có: , , .
Do đó .
Vậy .
Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Do tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Câu 33: Nếu thì bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Khi đó ta có .
Do đó .
Câu 34: Cho số phức . Gọi lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức . Khi đó giá trị của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Do đó .
Vậy .
Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại có . Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Suy ra là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Do đó: .
Xét vuông tại , ta có: .
Xét vuông tại , ta có: .
.
.
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật , và . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Trong kẻ 
Ta có: 
Trong kẻ 
Mà 
và 
Do đó 
Xét có: 
Xét có: 
Do đó 
Câu 37: Trong không gian , mặt cầu có tâm và tiếp xúc với trục có phương trình là:
A. 	B. 
C. 	D. 
Lời giải
Chọn B
Gọi là hình chiếu của lên trục suy ra . 
Suy ra mặt cầu tiếp xúc với tại .
Do đó .
Vậy phương trình mặt cầu là: .
Câu 38: Trong không gian , cho hình bình hành có và . Phương trình tham số của đường thẳng là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
Ta có: 
Đường thẳng qua và song song với nên nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Ta có .
Do đó phương trình tham số của là: .
Câu 39:	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Bảng biến thiên của hàm số được cho như hình vẽ. Trên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng?
A. 	B. 	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Đặt 
Đặt 
Vẽ đường thẳng lên cùng một bảng biến thiên ta được
Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 
Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi có không quá số nguyên thỏa 	mãn ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C .
Đặt thì ta có bất phương trình hay 
Vì nên , do đó Do 
Do mỗi giá trị có không quá giá trị nguyên của 
nên hay , từ đó có 
Vậy có giá trị nguyên dương của .
Câu 41:	 Cho hàm số . Tích phân bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có 
Nên hàm số đã cho liên tục tại 
Xét 
Đặt 
Với 
.
Câu 42. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thực?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D 
Gọi 
Ta có 
Theo đề ta có hệ phương trình
Giải hệ này tìm được 2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 43.	Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , . Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích khối chóp bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Từ kẻ tại .
Ta có .
Lại có .
Từ đó suy ra .
Tam giác vuông cân tại nên .
Xét vuông tại .
Xét vuông tại .
Diện tích tam giác là .
Thể tích khối chóp là .
Câu 44:	Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ , phần còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có 
Do dó tam giác vuông cân tại .
Gọi là diện tích xung quanh của hình nón, là diện tích xung quanh của phần hình nón được sơn màu đỏ, ứng với góc nên 
Câu 45: 	Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Đường thẳng cắt cả hai đường thẳng , và song song với đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi 
Ta có: 
qua và có vectơ chỉ phương là 
 đi qua điểm 
Câu 46.	Cho hàm số và có là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số	 
Ta có 	
Đặt . 
Khi đó trở thành: 	(2)
Vẽ đồ thị hàm số , trên cùng hệ trục tọa độ , ta được:
Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm và .
 có hai nghiệm và .
Bảng biến thiên của , .
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại.
Câu 47:	Có bao nhiêu nguyên để phương trình có nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Phương trình 
Đặt 
Mặt khác, PT(*) trở thành: 
Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta được
Xét hàm số 
Ta có Suy ra hàm số đồng biến trên 
Mà PT (3) 
Thay vào PT (1), ta được .
Xét hàm số , với . Ta có 
BBT:
Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm 
Vậy có 2023 số nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Câu 48:	Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đạt cực trị tại hai điểm thỏa . Gọi là hai điểm cực trị của đồ thị là giao điểm của với trục hoành; là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, là diện tích tam giác . Biết tứ giác nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ . (như hình dưới)
Do là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng .
Đặt , với với 
Có nội tiếp đường tròn tâm 
Có 
Vậy .
Câu 49:	Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai số phức có điểm biểu diễn , số phức có điểm biểu diễn là thỏa mãn , và . Giá trị lớn nhất của là , giá trị nhỏ nhất của là . Biết , với . Tính ? 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là điểm biểu diễn của số phức , suy ra .
Gọi là điểm biểu diễn của số phức , suy ra . Gọi là điểm sao cho . Suy ra tứ giác là hình bình hành.
Do từ giả thiết , suy ra .
Dùng định lí cosin trong tam giác ta tính được ; 
và định lí cosin trong tam giác ta có .
Ta có ; .
·	Tìm giá trị lớn nhất của .
Đặt , suy ra điểm biểu diễn là thuộc đường tròn tâm bán kính . Gọi điểm là biểu diễn số phức . 
 Khi đó , bài toán trở thành tìm biết điểm trên đường tròn . Dễ thấy .
·	Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Đặt , suy ra điểm biểu diễn là thuộc đường tròn tâm bán kính . Gọi điểm là biểu diễn số phức .
Khi đó , bài toán trở thành tìm biết điểm trên đường tròn . Dễ thấy điểm nằm trong đường tròn nên .
Vậy . 
Câu 50:	Trong không gian Cho và hai điểm Mặt cầu tâm bán kính đi qua hai điểm hai điểm và tiếp xúc với đường thẳng Khi đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm là Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm của và 
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên 
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên 
Toạ độ là nghiệm hệ 
Vì và nhỏ nhất thẳng hàng.
Vậy