Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 3 1y x mx    (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O
(với O là gốc tọa độ ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 2 1 6sin cos 2x x x   .
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2 3
2
1
2lnx xI dxx
  .
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình 2 15 6.5 1 0x x    .
b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm
trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm  4;1;3A  và đường thẳng
1 1 3: 2 1 3
x y zd     . Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với đường
thẳng d . Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho 27AB  .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a  , I là
trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC là trung điểm H của
BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABC và tính
khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB theo a .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có  1;4A , tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong
của ADB có phương trình 2 0x y   , điểm  4;1M  thuộc cạnh AC . Viết phương trình
đường thẳng AB .
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2
3 5 4
4 2 1 1
x xy x y y y
y x y x
            
Câu 9 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số dương và 3a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P    
.Hết.
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
1 a. (1,0 điểm)
Với m=1 hàm số trở thành: 3 3 1y x x   
TXĐ: D R
2' 3 3y x   , ' 0 1y x   
0.25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  1; , đồng biến trên khoảng  1;1
Hàm số đạt cực đại tại 1x  , 3CDy  , đạt cực tiểu tại 1x   , 1CTy  
lim
x
y   , limx y  
0.25
* Bảng biến thiên
x – -1 1 +
y’ + 0 – 0 +
y
+ 3
-1 -
0.25
Đồ thị:
4
2
2
4 0.25
B. (1,0 điểm)  2 2' 3 3 3y x m x m     
 2' 0 0 *y x m    0.25
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị  PT (*) có 2 nghiệm phân biệt  0 **m 
0.25
Khi đó 2 điểm cực trị  ;1 2A m m m  ,  ;1 2B m m m 0.25
Tam giác OAB vuông tại O . 0OAOB   3 14 1 0 2m m m      ( TM (**) )
Vậy 12m 
0,25
2. (1,0 điểm)
sin 2 1 6sin cos2x x x  
 (sin 2 6sin ) (1 cos2 ) 0x x x    0.25
   22sin cos 3 2sin 0x x x  
  2sin cos 3 sin 0x x x   0. 25
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn
    0. 25
 x k . Vậy nghiệm của PT là ,x k k Z  0.25
3
(1,0 điểm)
22 2 2 22
2 2 2
1 1 1 11
ln ln 3 ln2 2 22 2
x x x xI xdx dx dx dxx x x         0.25
Tính
2
2
1
ln xJ dxx 
Đặt 2
1ln ,u x dv dxx  . Khi đó
1 1,du dx vx x  
Do đó
2 2
2
1 1
1 1lnJ x dxx x   
0.25
2
1
1 1 1 1ln 2 ln 22 2 2J x      0.25
Vậy 1 ln 22I   0.25
4. (1,0 điểm)
a,(0,5điểm)
2 15 6.5 1 0x x    2
5 1
5.5 6.5 1 0 15 5
x
x x
x
       
0.25
0
1
x
x
   
Vậy nghiệm của PT là 0x  và 1x   0.25
b,(0,5điểm)
  311 165n C   0.25
Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 25 6 5 6. . 135C C C C 
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9165 11
0.25
5. (1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là  2;1;3du  
Vì  P d nên  P nhận  2;1;3du   làm VTPT 0.25
Vậy PT mặt phẳng  P là :      2 4 1 1 3 3 0x y z      
2 3 18 0x y z      0.25
Vì B d nên  1 2 ;1 ; 3 3B t t t    
27AB     2 22 227 3 2 6 3 27AB t t t         27 24 9 0t t   
0.25
3
3
7
t
t
  
Vậy  7;4;6B  hoặc 13 10 12; ;7 7 7B
    
0.25
6. (1,0 điểm)
j
C B
A
S
H
K
M
Gọi K là trung điểm của AB HK AB  (1)
Vì  SH ABC nên SH AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB SK 
Do đó góc giữa  SAB với đáy bằng góc
giữa SK và HK và bằng  60SKH  
Ta có  3tan 2
aSH HK SKH 
0.25
Vậy
3
.
1 1 1 3. . . .3 3 2 12S ABC ABC
aV S SH AB AC SH   0.25
Vì / /IH SB nên  / /IH SAB . Do đó      , ,d I SAB d H SAB
Từ H kẻ HM SK tại M  HM SAB     ,d H SAB HM 0.25
Ta có 2 2 2 2
1 1 1 16
3HM HK SH a  
3
4
aHM  . Vậy    3, 4ad I SAB  0,25
7. (1,0 điểm)
K
C
A
DB I
M
M'
E
Gọi AI là phan giác trong của BAC
Ta có :   AID ABC BAI 
  IAD CAD CAI 
Mà  BAI CAI , ABC CAD nên  AID IAD
 DAI cân tại D  DE AI
0,25
PT đường thẳng AI là : 5 0x y  
0,25
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI  PT đường thẳng MM’ : 5 0x y  
Gọi 'K AI MM  K(0;5) M’(4;9) 0,25
VTCP của đường thẳng AB là  ' 3;5AM  VTPT của đường thẳng AB là  5; 3n  
Vậy PT đường thẳng AB là:    5 1 3 4 0x y    5 3 7 0x y    0,25
8.
(1,0 điểm).
2
2
3 5 4(1)
4 2 1 1(2)
x xy x y y y
y x y x
            
Đk:
2
2
0
4 2 0
1 0
xy x y y
y x
y
         
Ta có (1)   3 1 4( 1) 0x y x y y y       
Đặt , 1u x y v y    ( 0, 0u v  )
Khi đó (1) trở thành : 2 23 4 0u uv v   4 ( )
u v
u v vn
   
0.25
Với u v ta có 2 1x y  , thay vào (2) ta được : 24 2 3 1 2y y y y    
   24 2 3 2 1 1 1 0y y y y        
0.25
 
2
2 2 2 01 14 2 3 2 1
y y
yy y y
         2
2 12 01 14 2 3 2 1
y yy y y
           
0.25
2y  ( vì
2
2 1 0 11 14 2 3 2 1
yyy y y
         )
Với 2y  thì 5x  . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là  5;2
0.25
9. (1,0 điểm) .
Vì a + b + c = 3 ta có 3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c      
1 1
2
bc
a b a c
     
Vì theo BĐT Cô-Si: 1 1 2( )( )a b a c a b a c     , dấu đẳng thức xảy ra b = c
0,25
Tương tự 1 123
ca ca
b a b cb ca
       và
1 1
23
ab ab
c a c bc ab
       0,25
Suy ra P 32( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
           , 0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 32 khi a = b = c = 1.
0,25