SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mụn : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt ,khụng kể thời gian giao đề Cõu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số 3 3 1 y x mx = - + + (1). a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1 m = . b) Tỡm m để đồ thị của hàm số (1) cú 2 điểm cực trị , A B sao cho tam giỏc OAB vuụng tại O ( với O là gốc tọa độ ). Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh sin 2 1 6sin cos 2 x x x + = + . Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 2 3 2 1 2 ln x x I dx x - = ũ . Cõu 4 (1,0 điểm). a) Giải phương trỡnh 2 1 5 6.5 1 0 x x + - + = . b) Một tổ cú 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giỏo viờn chọn ngẫu nhiờn 3 học sinh để làm trực nhật . Tớnh xỏc suất để 3 học sinh được chọn cú cả nam và nữ. Cõu 5 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 4;1;3 A - và đường thẳng 1 1 3 : 2 1 3 x y z d + - + = = - . Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) P đi qua A và vuụng gúc với đường thẳng d . Tỡm tọa độ điểm B thuộc d sao cho 27 AB = . Cõu 6 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp . S ABC cú tam giỏc ABC vuụng tại A , AB AC a = = , I là trung điểm của SC , hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm H của BC , mặt phẳng ( ) SAB tạo với đỏy 1 gúc bằng 60 o . Tớnh thể tớch khối chúp . S ABC và tớnh khoảng cỏch từ điểm I đến mặt phẳng ( ) SAB theo a . Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC cú ( ) 1;4 A , tiếp tuyến tại A của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC cắt BC tại D , đường phõn giỏc trong của ã ADB cú phương trỡnh 2 0 x y - + = , điểm ( ) 4;1 M - thuộc cạnh AC . Viết phương trỡnh đường thẳng AB . Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh 2 2 3 5 4 4 2 1 1 x xy x y y y y x y x ỡ + + - - = + ù ớ - - + - = - ù ợ Cõu 9 (1,0 điểm). Cho , , a b c là cỏc số dương và 3 a b c + + = . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 bc ca ab a bc b ca c ab P + + + + + = Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển ( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó gửi tới www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN Cõu Nội dung Điểm 1 a.(1,0 điểm) Vơớ m=1 hàm số trở thành : 3 3 1 y x x = - + + TXĐ: D R = 2 ' 3 3 y x = - + , ' 0 1 y x = Û = ± 0.25 Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng ( ) ; 1 -Ơ - và ( ) 1;+Ơ , đồng biến trờn khoảng ( ) 1;1 - Hàm số đạt cực đại tại 1 x = , 3 CD y = , đạt cực tiểu tại 1 x = - , 1 CT y = - lim x y đ+Ơ = -Ơ , lim x y đ-Ơ = +Ơ 0.25 * Bảng biến thiờn x –Ơ ư1 1 +Ơ y’ + 0 – 0 + y +Ơ 3 ư1 ưƠ 0.25 Đồ thị: 4 2 2 4 0.25 b.(1,0 điểm) ( ) 2 2 ' 3 3 3 y x m x m = - + = - - ( ) 2 ' 0 0 * y x m = Û - = 0.25 Đồ thị hàm số (1) cú 2 điểm cực trị Û PT (*) cú 2 nghiệm phõn biệt ( ) 0 ** m Û > 0.25 Khi đú 2 điểm cực trị ( ) ;1 2 A m m m - - , ( ) ;1 2 B m m m + 0.25 Tam giỏc OAB vuụng tại O . 0 OAOB Û = uuur uuur 3 1 4 1 0 2 m m m Û + - = Û = ( TM (**) ) 0,25 Vậy 1 2 m = 2. (1,0 điểm) sin 2 1 6sin cos2 x x x + = + Û (sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0 x x x - + - = 0.25 Û ( ) 2 2sin cos 3 2sin 0 x x x - + = Û ( ) 2sin cos 3 sin 0 x x x - + = 0. 25 sin 0 sin cos 3( ) x x x Vn = ộ Û ờ + = ở 0. 25 Û x kp = . Vậy nghiệm của PT là , x k k Z p = ẻ 0.25 3 (1,0 điểm) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln ln 3 ln 2 2 2 2 2 x x x x I xdx dx dx dx x x x = - = - = - ũ ũ ũ ũ 0.25 Tớnh 2 2 1 ln x J dx x = ũ Đặt 2 1 ln , u x dv dx x = = . Khi đú 1 1 , du dx v x x = = - Do đú 2 2 2 1 1 1 1 ln J x dx x x = - + ũ 0.25 2 1 1 1 1 1 ln 2 ln 2 2 2 2 J x = - - = - + 0.25 Vậy 1 ln 2 2 I = + 0.25 4. (1,0 điểm) a,(0,5điểm) 2 1 5 6.5 1 0 x x + - + = 2 5 1 5.5 6.5 1 0 1 5 5 x x x x ộ = ờ Û - + = Û ờ = ờ ở 0.25 0 1 x x = ộ Û ờ = - ở Vậy nghiệm của PT là 0 x = và 1 x = - 0.25 b,(0,5điểm) ( ) 3 11 165 n C W = = 0.25 Số cỏch chọn 3 học sinh cú cả nam và nữ là 2 1 1 2 5 6 5 6 . . 135 C C C C + = Do đú xỏc suất để 3 học sinh được chọn cú cả nam và nữ là 135 9 165 11 = 0.25 5. (1,0 điểm) Đường thẳng d cú VTCP là ( ) 2;1;3 d u = - uur Vỡ ( ) P d ^ nờn ( ) P nhận ( ) 2;1;3 d u = - uur làm VTPT 0.25 Vậy PT mặt phẳng ( ) P là : ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 3 3 0 x y z - + + - + - = 2 3 18 0 x y z Û - + + - = 0.25 Vỡ B d ẻ nờn ( ) 1 2 ;1 ; 3 3 B t t t - - + - + 27 AB = ( ) ( ) 2 2 2 2 27 3 2 6 3 27 AB t t t Û = Û - + + - + = 2 7 24 9 0 t t Û - + = 0.25 3 3 7 t t = ộ ờ Û ờ = ở Vậy ( ) 7;4;6 B - hoặc 13 10 12 ; ; 7 7 7 B ổ ử - - ỗ ữ ố ứ 0.25 6. (1,0 điểm) j C B A S H K M Gọi K là trung điểm của AB HK AB ị ^ (1) Vỡ ( ) SH ABC ^ nờn SH AB ^ (2) Từ (1) và (2) suy ra AB SK ị ^ Do đú gúc giữa ( ) SAB với đỏy bằng gúc giữa SK và HK và bằng ã 60 SKH = o Ta cú ã 3 tan 2 a SH HK SKH = = 0.25 Vậy 3 . 1 1 1 3 . . . . 3 3 2 12 S ABC ABC a V S SH AB AC SH = = = 0.25 Vỡ / / IH SB nờn ( ) / / IH SAB . Do đú ( ) ( ) ( ) ( ) , , d I SAB d H SAB = Từ H kẻ HM SK ^ tại M ( ) HM SAB ị ^ ị ( ) ( ) , d H SAB HM = 0.25 Ta cú 2 2 2 2 1 1 1 16 3 HM HK SH a = + = 3 4 a HM ị = . Vậy ( ) ( ) 3 , 4 a d I SAB = 0,25 7. (1,0 điểm) K C A D B I M M' E Gọi AI là phan giỏc trong của ã BAC Ta cú : ã ã ã AID ABC BAI = + ã ã ã IAD CAD CAI = + Mà ã ã BAI CAI = , ã ã ABC CAD = nờn ã ã AID IAD = ị DAI D cõn tại D ị DE AI ^ 0,25 PT đường thẳng AI là : 5 0 x y + - = 0,25 Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI ị PT đường thẳng MM’ : 5 0 x y - + = Gọi ' K AI MM = ầ ịK(0;5) ịM’(4;9) 0,25 VTCP của đường thẳng AB là ( ) ' 3;5 AM = uuuuur ịVTPT của đường thẳng AB là ( ) 5; 3 n = - r Vậy PT đường thẳng AB là: ( ) ( ) 5 1 3 4 0 x y - - - = 5 3 7 0 x y Û - + = 0,25 8. (1,0 điểm). 2 2 3 5 4(1) 4 2 1 1(2) x xy x y y y y x y x ỡ + + - - = + ù ớ - - + - = - ù ợ Đk: 2 2 0 4 2 0 1 0 xy x y y y x y ỡ + - - ³ ù - - ³ ớ ù - ³ ợ Ta cú (1) ( )( ) 3 1 4( 1) 0 x y x y y y Û - + - + - + = Đặt , 1 u x y v y = - = + ( 0, 0 u v ³ ³ ) Khi đú (1) trở thành : 2 2 3 4 0 u uv v + - = 4 ( ) u v u v vn = ộ Û ờ = - ở 0.25 Với u v = ta cú 2 1 x y = + , thay vào (2) ta được : 2 4 2 3 1 2 y y y y - - + - = ( ) ( ) 2 4 2 3 2 1 1 1 0 y y y y Û - - - - + - - = 0.25 ( ) 2 2 2 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y y - - + = - + - - + - ( ) 2 2 1 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y ổ ử ỗ ữ Û - + = ỗ ữ - + - - + - ố ứ 0.25 2 y Û = ( vỡ 2 2 1 0 1 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y Û + > " ³ - + - - + - ) Với 2 y = thỡ 5 x = . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là ( ) 5;2 0.25 9. (1,0 điểm) . Vỡ a + b + c = 3 ta cú 3 ( ) ( )( ) bc bc bc a bc a a b c bc a b a c = = + + + + + + 1 1 2 bc a b a c ổ ử Ê + ỗ ữ + + ố ứ Vỡ theo BĐT CụưSi: 1 1 2 ( )( ) a b a c a b a c + ³ + + + + , dấu đẳng thức xảy ra Û b = c 0,25 Tương tự 1 1 2 3 ca ca b a b c b ca ổ ử Ê + ỗ ữ + + + ố ứ và 1 1 2 3 ab ab c a c b c ab ổ ử Ê + ỗ ữ + + + ố ứ 0,25 Suy ra P 3 2( ) 2( ) 2( ) 2 2 bc ca ab bc ab ca a b c a b c a b c + + + + + Ê + + = = + + + , 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 3 2 khi a = b = c = 1. 0,25 Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển ( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó gửi tới www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: