Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn : Toán – đề số 13 thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn : TOÁN – Đề số 13
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số 3 23 1y x mx   (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m  .
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng (d) y = - x + 1 tại 3 điểm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm).
a)Gọi x là một góc trong tam giác ABC thoả mãn 12cos s inx 3 cos
3 2
x x
           
Chứng minh tam giác ABC vuông.
b)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 6 71 3 5
z iz i
  . Tìm phần thực của số phức
5z
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2 2
2
1
lnx xI dx
x
  .
Câu 4 (1,0 điểm). a) Giải bất phương trình: 2 15 6.5 1 0x x    .
b) Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số {0; 1; 2; 3;
4; 5; 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là một số không chia
hết cho 5.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm  4;1;3A  và đường
thẳng 1 1 3:
2 1 3
x y zd     . Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với
đường thẳng d . Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho 27AB  .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a  , I
là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC là trung điểm
H của BC , mặt phẳng  SAB tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABC
và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB theo a .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có  1;4A , tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác
trong của ADB có phương trình 2 0x y   , điểm  4;1M  thuộc cạnh AC . Viết phương
trình đường thẳng AB .
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2
3 5 4
4 2 1 1
x xy x y y y
y x y x
            
Câu 9 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số dương và 3a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P    
.Hết.
5. (1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là  2;1;3du  
Vì  P d nên  P nhận  2;1;3du   làm VTPT 0.25
Vậy PT mặt phẳng  P là :      2 4 1 1 3 3 0x y z      
2 3 18 0x y z      0.25
Vì B d nên  1 2 ;1 ; 3 3B t t t    
27AB     2 22 227 3 2 6 3 27AB t t t         27 24 9 0t t   
0.25
3
3
7
t
t
  
Vậy  7;4;6B  hoặc 13 10 12; ;
7 7 7
B     
0.25
6. (1,0 điểm)
j
C
B
A
S
H
K
M
Gọi K là trung điểm của AB HK AB  (1)
Vì  SH ABC nên SH AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB SK 
Do đó góc giữa  SAB với đáy bằng góc
giữa SK và HK và bằng  60SKH  
Ta có  3tan
2
aSH HK SKH 
0.25
Vậy
3
.
1 1 1 3
. . . .
3 3 2 12S ABC ABC
aV S SH AB AC SH   0.25
Vì / /IH SB nên  / /IH SAB . Do đó      , ,d I SAB d H SAB
Từ H kẻ HM SK tại M  HM SAB     ,d H SAB HM 0.25
Ta có 2 2 2 2
1 1 1 16
3HM HK SH a
   3
4
aHM  . Vậy    3, 4ad I SAB  0,25
7. (1,0 điểm)
K
C
A
DB I
M
M'
E
Gọi AI là phan giác trong của BAC
Ta có :   AID ABC BAI 
  IAD CAD CAI 
Mà  BAI CAI ,  ABC CAD nên  AID IAD
 DAI cân tại D  DE AI
0,25
PT đường thẳng AI là : 5 0x y  
0,25
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI  PT đường thẳng MM’ : 5 0x y  
Gọi 'K AI MM  K(0;5) M’(4;9) 0,25
VTCP của đường thẳng AB là  ' 3;5AM  VTPT của đường thẳng AB là  5; 3n  
Vậy PT đường thẳng AB là:    5 1 3 4 0x y    5 3 7 0x y    0,25
8.
(1,0 điểm).
2
2
3 5 4(1)
4 2 1 1(2)
x xy x y y y
y x y x
            
Đk:
2
2
0
4 2 0
1 0
xy x y y
y x
y
         
Ta có (1)   3 1 4( 1) 0x y x y y y       
Đặt , 1u x y v y    ( 0, 0u v  )
Khi đó (1) trở thành : 2 23 4 0u uv v  
4 ( )
u v
u v vn
   
0.25
Với u v ta có 2 1x y  , thay vào (2) ta được : 24 2 3 1 2y y y y    
   24 2 3 2 1 1 1 0y y y y        
0.25
 
2
2 2 2 0
1 14 2 3 2 1
y y
yy y y
         2
2 12 0
1 14 2 3 2 1
y
yy y y
           
0.25
2y  ( vì
2
2 1 0 1
1 14 2 3 2 1
y
yy y y
         )
Với 2y  thì 5x  . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là  5;2
0.25
9. (1,0 điểm) .
Vì a + b + c = 3 ta có
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
      
1 1
2
bc
a b a c
     
Vì theo BĐT Cô-Si: 1 1 2( )( )a b a c a b a c
     , dấu đẳng thức xảy ra  b = c
0,25
Tương tự 1 1
23
ca ca
b a b cb ca
       và
1 1
23
ab ab
c a c bc ab
       0,25
Suy ra P 3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
           , 0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 3
2
khi a = b = c = 1. 0,25