Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 - 2016 lần III môn: Tóan thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

TRƯỜNG THPT ÂN THI ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015 - 2016 LẦN III
—————— Mơn: Tốn
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề.
—————————
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y =
x
x + 1
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+1+
9
x + 2
trên đoạn [0; 3]
Câu 3 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn 2z = 5i + iz, tính |i.z¯ + 2|
b) Giải phương trình log2x.log2(2x)− 2 = 0
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân sau: I =
1∫
0
(x− 1)(ex + 1)dx
Câu 5 (1,0 điểm). Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;−5; 6) và mặt phẳng (P ) cĩ
phương trình x − 2y + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I và tiếp xúc
với mặt phẳng (P )? Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P )?
Câu 6 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình: cos 2x− sinx + 2 = 0
b) Cĩ 100 vé xổ số, trong đĩ chỉ cĩ 1 vé trúng thưởng 100000 đồng, 5 vé trúng thưởng
50000 đồng, 10 vé trúng thưởng 10000 đồng, cịn các vé khác khơng trúng thưởng. Một
người mua 3 vé xổ số, tính xác suất để người đĩ trúng thưởng và cĩ tổng số tiền thưởng
là 110000 đồng?
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, gĩc
ÂBC bằng 1200 . Mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD),
gĩc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của CD. Tính theo
a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BI?
Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình sau: (x2 + x+ 1)
√
x.
√
3x2 + 4x + 1 = 9x2 + 9x+ 2
Câu 9 (1,0 điểm). Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung
điểm của AD, đường thẳng qua M vuơng gĩc với MB cắt CD tại E, gọi H là hình chiếu
của M trên BE, gọi K là giao điểm của BD và AE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD biết ME : x− 3 = 0, H(−1; 2) và K
(
−1
5
;
2
5
)
Câu 10 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a+ b+ c = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P =
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
+
1
a2 + b2
+
1
b2 + c2
+
1
c2 + a2
——— Hết ———
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN 
TRƯỜNG THPT ÂN THI 
ĐÁP ÁN THI THỬ THPTQG NĂM 2015 – 2016 LẦN III 
MƠN TỐN 
Thời gian làm bài 180 phút khơng kể thời gian giao đề. 
ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 
1
x
y
x


1,0 
TXĐ:  \ 1D   ; 
2
1
'
( 1)
y
x


0,25 
Hàm số đồng biến trên ( ; 1)  và ( 1; )  
Hàm số khơng cĩ cực trị 
0,25 
lim 1; lim 1
x x
y y
 
  , suy ra đường thẳng 1y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
1 1
lim ; lim
x x
y y
  
    , suy ra đường thẳng 1x   là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
Bảng biến thiên 
0,25 
Đồ thị hàm số đi qua O(0;0) và nhận điểm ( 1;1)I  làm tâm đối xứng. 
-3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
x
y
O
0,25 
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
9
1
2
y x
x
  

 trên 
[0;3] 
1,0 
TXĐ:  \ 2D   
Ta cĩ hàm số đã cho liên tục trên [0;3] 
2
2 2
9 4 5
' 1
( 2) ( 2)
x x
y
x x
 
  
 
0,25 
1 (0;3)
' 0
5 (0;3)
x
y
x
 
     
 0,25 
11
(0)
2
y  ; (1) 5y  ; 
29
(3)
5
y  
0,25 
[0;3]
29
max
5
y  (tại 3x  ); 
[0;3]
min 5y  (tại 1x  ) 
0,25 
 1 
'y
x
y
 
1
1

ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Câu 3: a) Cho số phức z thỏa mãn 2 5z i iz  , tính . 2i z  
b) Giải phương trình 2 2log .log (2 ) 2 0x x   
1,0 
a) 
5 5 (2 )
2 5 (2 ) 5 1 2
2 5
i i i
z i iz i z i z z z i
i

            

 0,25 
. 2 ( 1 2 ) 2 4 17i z i i i        0,25 
b) ĐK: 0x  
Ta cĩ:   22 2 2 2 2 2log .log (2 ) 2 0 log . 1 log 2 0 log log 2 0x x x xx x          
0,25 
2
2
log 1
log 2
2
1
4
x
x
x
x



  

 

 (thỏa mãn) 
Vậy phương trình cĩ hai nghiệm 
1
2;
4
x x  
0,25 
Câu 4: Tính tích phân sau: 
1
0
( 1)( 1)xI x e dx   1,0 
Đặt 
1
( 1)x x
u x du dx
dv e dx v e x
   
 
    
 0,5 
1
1 2
1
0
0 0
3
( 1)( ) ( ) 1
2 2
x x x xI x e x e x dx e e
 
          
 
 0,5 
Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2; 5;6)I  và mặt phẳng ( )P cĩ phương trình 
2 2 3 0x y z    . Viết phương trình mặt cầu ( )S cĩ tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng 
( )P ? Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu ( )S và mặt phẳng ( )P ? 
1,0 
Ta cĩ 
2 10 12 3
( , ( )) 9
3
d I P
  
  
Mặt cầu (S) cĩ phương trình 2 2 2( ) : ( 2) ( 5) ( 6) 81S x y z      
0,25 
Gọi M là tiếp điểm của (S) và (P). Ta cĩ M là hình chiếu vuơng gĩc của I trên mặt phẳng (P). 0,25 
Mặt phẳng (P) cĩ một vtpt là (1; 2;2)n  . Đường thẳng IM đi qua M cĩ nhận n làm vtcp nên 
cĩ phương trình 
2
: 5 2
6 2
x t
IM y t
z t
 

  
  
0,25 
M IM nên (2 ; 5 2 ;6 2 )M t t t    
( )M P nên 2 10 4 12 4 3 0 3t t t t         
Vậy ( 1;1;0)M  
0,25 
Câu 6: a) Giải phương trình: cos2 sin 2 0x x   
b) Cĩ 100 vé xổ số, trong đĩ chỉ cĩ 1 vé trúng thưởng 100000 đồng, 5 vé trúng thưởng 
50000 đồng, 10 vé trúng thưởng 10000 đồng, cịn các vé cịn lại khơng trúng thưởng. Một 
người mua 3 vé xổ số, tính xác suất để người đĩ trúng thưởng và cĩ tổng số tiền thưởng là 
110000 đồng? 
1,0 
a) 2 2cos2 sin 2 0 1 2sin sin 2 0 2sin sin 3 0x x x x x x            0,25 
sin 1
3
sin
2
x
x

 
 

 2 ,
2
x k k

    0,25 
ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Vậy phương trình cĩ nghiệm 2 ,
2
x k k

   
b) Xét phép thử: “Mua 3 vé xổ số trong 100 vé xổ số” 
3
100( )n C  
Gọi A là biến cố: “Người mua vé trúng thưởng được tổng số tiền là 110000 đồng” 
TH1: Người mua vé mua được 1 vé trúng thưởng 100000 đồng, 1 vé khơng trúng thưởng và 
1 vé trúng thưởng 10000 đồng 
Trường hợp này cĩ 1 1 1
1 84 10. .C C C khả năng xảy ra 
0,25 
TH2: Người mua vé mua được 2 vé trúng thưởng 50000 đồng và 1 vé trúng thưởng 10000 
đồng 
Trường hợp này cĩ 2 1
5 10.C C khả năng xảy ra 
Suy ra 1 1 1 2 11 84 10 5 10( ) . . . 940n A C C C C C   
Xác suất của biến cố A là 
3
100
( ) 940 47
( )
( ) 8085
n A
P A
n C
  

0,25 
Câu 7: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a , gĩc ABC bằng 0120 . 
Mặt phẳng ( )SAC và ( )SBD cùng vuơng gĩc với mặt phẳng ( )ABCD , gĩc giữa SA và mặt 
phẳng ( )ABCD bằng 060 . Gọi I là trung điểm của CD. Tính theo a thể tích của khối chĩp 
S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BI 
1,0 
60°
120°
G
F
E
IO
CB
A D
S
H
Gọi O AC BD  
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuơng gĩc với mặt đáy 
(ABCD) nên ( )SO ABCD . 
Ta cĩ ABCD là hình thoi cạnh a và gĩc ABC bằng 
0120 nên tam giác ABD và tam giác BCD là tam 
giác đều cạnh a, suy ra 
2 3
2
2
ABCD ABD
a
S S  
0,25 
Ta cĩ AC là hình chiếu của SA trên (ABCD) nên 0( ,( )) ( , ) 60SA ABCD SA AC SAC   
0 3tan 60
2
a
SO AO  ; 
2 3
.
1 1 3 3 3
. . .
3 3 2 2 4
S ABCD ABCD
a a a
V SO S   (đvtt) 
0,25 
Gọi G là giao điểm của BI và AC, suy ra G là trọng tâm tam giác BCD. 
Dựng đường thẳng d qua A song song với BI cắt CD tại E. Khi đĩ ta cĩ / /( )BI SAE 
Suy ra 
4
( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
3
d BI SA d BI SAE d G SAE d O SAE   
0,25 
Dễ thấy ABIE là hình chữ nhật và D là trung điểm của IE. Dựng OF//CD (với F là điểm 
thuộc AE) suy ra OF AE (1) 
Dựng OH vuơng gĩc với SF tại H (2) 
Ta cĩ ( )SO ABCD SO AE   (3) 
Từ (1) và (3) ta cĩ AE OH (4) 
Từ (2) và (4) suy ra ( ) ( ,( ))OH SAE d O SAE OH   
Ta cĩ  
1 3
2 4
a
OF AB DE   
Tam giác SOF vuơng tại O nên 
2 2 2 2
1 1 1 20 3
9 2 5
a
OH
OH OS OF a
     
0,25 
ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Vậy 
4 2 5
( , )
3 5
a
d SA BI OH  
Câu 8: Giải phương trình sau: 22 2( 1) 3 4 1 9 9 2x x x x x x x       1,0 
Điều kiện 
2
0
0 1
0
3 4 1 0 1
3
x
x x
x
x x
x

  
        

 0,25 
Khi đĩ 
222 2( 1) 3 4 1 9 9 2 ( 1) (3 1)( 1)(3 (31 2))x x x x x x x x x x x xx x            
2 2( 1) (3 2) 3 1x xx x x x      
0,25 
22 2( ) ( 1) 3 13 31x x x xx xx x x         (*) 
 Xét hàm số 3( )f t t t  trên 
Ta cĩ 2'( ) 3 1 0,f t t t     , suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên 
0,25 
Suy ra (*)    2 3 1f x x f x    
2 23 1 2 1 0 1 2x x x x x x           (vì x nhận giá trị khơng âm) 
Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất 1 2x   
0,25 
Câu 9: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của AD, 
đường thẳng qua M vuơng gĩc với MB cắt CD tại E , gọi H là hình chiếu của M trên BE, 
gọi K là giao điểm của BD và AE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết 
: 3 0ME x  , ( 1;2)H  và 
1 2
;
5 5
K
 
 
 
1,0 
IK
N
H
E
C
MA
B
D
Gọi I HD ME  , N BM CD  
Dễ thấy ABM DNM   BM MN  
Tam giác EBN cĩ ME là đường cao cũng là đường trung 
tuyến nên tam giác EBN cân tại E, suy ra HEM MED 
và BE EN DE AB   
0,25 
Ta thấy hai tam giác vuơng HME và DME cĩ 
HEM MED và cạnh ME chung nên chúng bằng nhau, 
suy ra HM=MD, EH=ED suy ra D đối xứng với H qua 
ME 
Đường thẳng HD đi qua H và vuơng gĩc với ME nên cĩ 
phương trình 2 0y   
I HD ME  nên (3;2)I 
Vì I là trung điểm của HD nên (7;2)D 
0,25 
Ta cĩ / /
BK AB BK KD AB DE BD BE
HK DE
KD DE KD DE KD EH
 
      
4 8
;
5 5
HK
 
  
 
AD đi qua D nhận  
5
1; 2
4
n HK   làm vtpt nên cĩ phương trình là 2 3 0x y   
0,25 
ĐÁP ÁN ĐIỂM 
M ME AD  nên (3;0)M 
Vì M là trung điểm của AD nên ( 1; 2)A   
AB đi qua A nhận n làm vtcp nên cĩ phương trình 2 4 0x y   
BE đi qua H nhận ( 4;2)MH   làm vtpt nên cĩ phương trình 2 4 0x y   
B AB BE  suy ra ( 2;0)B  
Gọi F là tâm của hình chữ nhật ABCD, vì F là trung điểm của BD nên 
5
;1
2
F
 
 
 
Lại cĩ F là trung điểm của AC nên (6;4)C 
Vậy ( 1; 2), ( 2;0), C(6;4), D(7;2)A B   
0,25 
Câu 10: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: 3a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
P
a b c a b b c c a
     
  
1,0 
Ta cĩ 
3
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 23
2
3
1 1 2 1 1
3 3 3
( )
. .
2 2.
2 2
2
a ba b a b a b a b a bab ab ab
a b
    
   
  
  
    
 
0,25 
hay 
2 2 2 2 2
21 1 12
( )a b a b a b
  
 
 (1) 
Bằng cách chứng minh tương tự ta cĩ 
2 2 2 2 2
21 1 12
( )b c b c b c
  
 
 (2) 
2 2 2 2 2
21 1 12
( )a c c a c a
  
 
 (3) 
Từ (1), (2) và (3) ta cĩ 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
6
( ) ( ) ( )
P
a b c a b b c c a a b b c c a
 
         
      
0,25 
 
2 63
3
18 1
1 1 9
2( )( )( 2
3
)
8
2 2aa b b c ca bc

 
 
   
 
 
0,25 
Vậy P nhỏ nhất bằng 
9
2
, khi 1a b c   0,25 
Phạm Trung Hảo THPT Ân Thi, Hưng Yên