Đề thi thử thpt quốc gia lần 2 năm 2015 - 2016 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN HẠ LONG 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015 - 2016 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
3
.
2 1
 


x
y
x
Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số 3 3 2y x x    có đồ thị là ( ).C Viết phương trình tiếp tuyến của 
đồ thị ( )C tại các giao điểm của nó với đường thẳng  có phương trình 2.y x   
Câu 3 (1,0 điểm). 
a) Cho số phức z thỏa mãn (2 3 ) 1 9 .z i z i    Tìm môđun của số phức 2 1.w z z   
b) Giải phương trình 2 23 3 82.x x   
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 
1
0
2
( )d .
1
xI x e x
x
 

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho ba điểm (1;1;1), (3;5; 2), (3;1; 3).A B C  
Lập phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ ,O vuông góc với mặt phẳng ( )ABC và lập 
phương trình mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện .OABC 
Câu 6 (1,0 điểm). 
a) Tính giá trị biểu thức 2 2sin ( ) cos ( ),
4 3
A
 
     biết 
3
cos =
5
  và 
3
.
2

   
b) Chương trình Táo Quân năm 2016 (Gặp nhau cuối năm) có một trò chơi tên là Vòng quay kỳ diệu
dành cho các Táo tương tự như trò chơi truyền hình Chiếc nón kỳ diệu trên kênh VTV3. Chiếc nón 
có hình tròn được chia đều thành các ô hình quạt, trong đó có 10 ô có tên “Tham nhũng”, 4 ô có tên 
“Trong sạch” và 2 ô có tên “Phần thưởng”. Có 4 Táo (Kinh tế, Xã hội, Giáo dục và Tinh thần) cùng 
tham gia trò chơi này, mỗi Táo chỉ được quay ngẫu nhiên một lần. Tính xác suất để cả 4 Táo đều 
quay vào ô “Trong sạch”. 
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,a mặt bên SAC là tam 
giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ),ABC đường thẳng SB tạo với 
mặt phẳng ( )ABC một góc 060 , M là trung điểm cạnh .BC Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC 
và khoảng cách giữa hai đường thẳng , .SM AC 
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho hình vuông ABCD có (4;6).A Gọi 
,M N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao cho  045 , ( 4;0)MAN M  và đường 
thẳng MN có phương trình 11 2 44 0.x y   Tìm tọa độ các điểm , , .B C D 
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
2 2 2 21 97 1 97 97( )
( , ).
27 8 97
x y y x x y
x y
x y
     

 
 
Câu 10 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 
2
4 .
2016
a b c
abc
  
 
 
Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức 
.
a b c
P
a bc b ca c ab
  
  
----------Hết---------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề thi thử THPT Quốc gia mới nhất có hướng dẫn giải chi tiết : diendan.onthi360.com
1 
TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN HẠ LONG 
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM HỌC 2015 - 2016 
Môn: TOÁN 
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) 
Câu Đáp án (Trang 01) Điểm 
1 
(1,0đ) 
 Tập xác định 
1
\{ }.
2
D   
 Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: 
2
5
' ; ' 0, .
(2 1)
y y x D
x

   

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng 
1
( ; )
2
 và 
1
( ; ).
2
 
0,25 
- Giới hạn và tiệm cận: 
1
lim lim ;
2x x
y y
 
   tiệm cận ngang: 
1
.
2
y   
1 1
2 2
lim ; lim ;
x x
y y
 
   
    
   
    tiệm cận đứng: 
1
.
2
x  
0,25 
- Bảng biến thiên: 
0,25 
 Đồ thị: 
- Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 3), 
cắt trục Ox tại điểm (3;0). 
- Đồ thị nhận điểm 
1 1
( ; )
2 2
I  là giao 
của hai đường tiệm cận làm tâm đối 
xứng. 
0,25 
2 
(1,0đ) 
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và  là 3 3 2 2x x x      0,25 
3 4 0 0, 2, 2.x x x x x        Suy ra tọa độ các giao điểm của ( )C và  là 
(0; 2), ( 2;0)A B  và (2; 4).C  
0,25 
Ta có 2' 3 3;y x   Hệ số góc của tiếp tuyến của ( )C tại , ,A B C lần lượt là '(0) 3,y  
y'( 2) 9, '(2) 9.y     
0,25 
Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại , ,A B C lần lượt là 3 2, 9 18, 9 14.y x y x y x        0,25 
Đề thi thử THPT Quốc gia mới nhất có hướng dẫn giải chi tiết : diendan.onthi360.com
2 
Câu Đáp án (Trang 02) Điểm 
3 
(1,0đ) 
a) Đặt ( , ).z a bi a b   Từ giả thiết suy ra (2 3 )( ) 1 9a bi i a bi i      
3 1 2
3 ( 3 3 ) 1-9 .
3a 3 9 1
a b a
a b a b i i
b b
    
         
      
 Do đó 2 .z i  
0,25 
Ta có 2 1 2 2(2 ) 1 7 .w z z i i i          Suy ra 
2 27 1 50.w    0,25 
b) Phương trình đã cho tương đương với 2
3 9
9.3 82.3 9 0 1
3
9
x
x x
x
 
   
 

 0,25 
2
.
2
x
x

   
 Do đó nghiệm của phương trình đã cho là 2; 2.x x   0,25 
4 
(1,0đ) 
Ta có 
1 1
0 0
2
.
1
x xI xe dx dx
x
 
 
0,25 
 
1 1 1
0 0 0
1 1
1.
0 0
x x x x xxe dx xde xe e dx e e        
0,25 
  
1 1
0 0
12 2
2 2 2 ln 1 2 2 ln 2.
01 1
x
dx dx x x
x x
 
       
  
  
0,25 
Do đó 3 2 ln 2.I   0,25 
5 
(1,0đ) 
Ta có (2;4;1), (2;0; 4)AB AC  
 
 suy ra [ , ] ( 16;10; 8) 0.AB AC    
  
 Do đó mặt phẳng 
( )ABC có một véc tơ pháp tuyến là 
1
[ , ] (8; 5;4).
2
n AB AC   
 
 Do ( )d ABC nên d 
nhận n

 làm véc tơ chỉ phương. 
0,25 
Đường thẳng d đi qua O và nhận n

 làm véc tơ chỉ phương, nên 
8
: 5 .
4
x t
d y t
z t


 
 
 0,25 
Gọi ( ; ; )I a b c là tâm của mặt cầu ( ).S Vì ( )S đi qua bốn điểm , , ,O A B C nên 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
11
7( 1) ( 1) ( 1)
41
( 3) ( 5) ( 2) .
7
( 3) ( 1) ( 3) 39
14
a
a b c a b cOI AI
OI BI a b c a b c b
OI CI a b c a b c
c

 
         
 
             
            
 

0,25 
Suy ra mặt cầu ( )S có tâm 
11 41 39
; ; ,
7 7 14
I
 
  
 
bán kính 
1247
.
28
R OI  Do đó 
2 2 2
11 41 39 1247
( ) : .
7 7 14 28
S x y z
     
          
     
0,25 
Tài liệu ôn thi 10, 11, 12 và kỳ thi THPT Quốc gia: diendan.onthi360.com
3 
Câu Đáp án (Trang 03) Điểm 
6 
(1,0đ) 
a) Với 
3
,
2

   ta có 2
9 4
sin 1 cos 1 .
25 5
         0,25 
Ta có 
2 2
59 24 3
sin cos cos sin cos cos sin sin .
4 4 3 3 100
A
   
   
   
       
   
 0,25 
b) Số phần tử của không gian mẫu  là 4( ) 16 .n   0,25 
Gọi A là biến cố “Cả 4 Táo đều quay vào ô Trong sạch”. Ta có 4( ) 4 .n A  
Xác suất cần tính là 
4
4
( ) 4 1
( ) .
( ) 16 256
n A
P A
n
  

0,25 
7 
(1,0đ) 
Gọi H là trung điểm ,AC theo gia thiết, ta có 
( ),SH ABC góc giữa SB và ( )ABCD là
 060 ,SBH  0
3 3
.tan 60 . 3 .
2 2
a a
SH BH   
0,25 
2 3
.
1 1 3 3 3
. . . .
3 3 4 2 8
S ABC ABC
a a a
V S SH   0,25 
Gọi N là trung điểm .AB Ta có ( )AC SMN nên 
( , ) ( , ( )).d SM AC d H SMN Gọi ,D BH MN  K 
là hình chiếu vuông góc của H trên .SD Ta có 
,MN BH MN SH  nên .MN HK Suy ra 
( ).HK SMN Do đó ( , ( )) .d H SMN HK 
0,25 
Tam giác SHB vuông tại ,H có đường cao ,HK nên 
2 2 2 2
1 1 1 52
.
9HK SH HD a
   Từ đó suy ra 
29 3 13
( , ) .
52 26
a a
d SM AC HK   
0,25 
8 
(1,0đ) 
Gọi , , .E BD AN F BD AM I ME NF      
Ta có    045MAN NDB MBD   nên hai tứ giác 
,ADNF ABNE nội tiếp. Do đó ,ME AN .NF AM 
Suy ra .AI MN 
Gọi .H AI MN  Ta có ,ABME MNEF là các tứ 
giác nội tiếp nên   .AMB AEB AMH  Suy ra 
.AMB AMH   Do đó B là đối xứng của H qua 
đường thẳng .AM 
0,25 
Từ AH MN tại ,H tìm được 
24 22
( ; ).
5 5
H  Do B là 
đối xứng của H qua ,AM nên tìm được (0; 2).B  
0,25 
Tìm được : 2 4 8 0, : 2 18 0BC x y CD x y      suy 
ra ( 8;2).C  
0,25 
Từ AD BC
 
 ta tìm được ( 4;10).D  0,25 
D
N
MH
A B
C
S
K
I
E
F
H
N
C
DA
B M
Tài liệu ôn thi 10, 11, 12 và kỳ thi THPT Quốc gia: diendan.onthi360.com
4 
Câu Đáp án (Trang 04) Điểm 
9 
(1,0đ) 
2 2 2 21 97 1 97 97( ) (1)
27 8 97 (2).
x y y x x y
x y
     

 
Điều kiện: 
1
0 , .
97
x y  
Thay ( ; )x y bằng một trong các cặp số 
1 1 1 1
(0;0), (0; ), ( ;0), ( ; )
97 97 97 97
 vào hệ (1),(2), 
ta thấy các cặp này đều không là nghiệm. Do đó 
1
0 , .
97
x y  
Đặt 97 , 97 .x a y b  Do 
1
0 ,
97
x y  nên 0 , 1.a b  Khi đó (1) trở thành 
2 2 2 21 1a b b a a b        2 21 1 0a a b b b a       
2 2 2 2
2 2
( 1) 0 1.
1 1
a b
a b a b
a b b a
 
        
    
 Suy ra 2 2
1
.
97
x y  
0,25 
Với các số dương 1 2 1 2, , , ,a a b b ta có 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2. .a b a b a a b b    Đẳng thức xảy ra khi 
và chỉ khi 1 2 2 1.a b a b Thậy vậy, 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2.a b a b a a b b   
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )a b a b a a b b    
2
1 2 2 1( ) 0.a b a b   
Do đó 2 227 8 97 9 4 97 97 97x y x y x y      (do 2 2
1
).
97
x y  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 9x y và 2 2
1
.
97
x y  
0,25 
Do đó (2)  
2 2
9
1
97
.97
4
4 9
97
x
x y
x y y

   
 
   
 0,25 
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình đã cho là 
9 4
( ; ) ; .
97 97
x y
 
  
 
 0 ,25 
10 
(1,0đ) 
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có 
4 4 4
1 1 1 1
.
22 2 2
a b c
P
ab bc caa bc b ca c ab
 
      
 
 0,25 
Với các số thực , , ,x y z ta có 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0 .x y y z z x xy yz zx x y z            
Do đó 
4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
.
2 2 2 2
ab bc ca a b c
ab bc ca a b c abc abc
      
         
   
Suy ra 
.
2
a b c
P
abc
 
 
0,25 
Từ giả thiết, ta có 4032 .a b c abc   Do đó 2016.P  0,25 
Với 
2
1
,
1344
a b c   ta có 2016.P  Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2016. 0,25 
----------Hết---------- 
LUYỆN THI ONLINE : ONTHI360.COM
Tài liệu ôn thi 10, 11, 12 và kỳ thi THPT Quốc gia: diendan.onthi360.com
Đề thi thử THPT Quốc gia mới nhất có hướng dẫn giải chi tiết : diendan.onthi360.com