Đề thi thử thpt quốc gia lần 1 năm học 2015 – 2016. Môn: Toán. Thời gian làm bài 180 phút

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
Trường PTTH Quỳnh Lưu 3 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 
 NĂM HỌC 2015 – 2016. 
Môn: Toán. Thời gian làm bài 180 phút . 
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 23 1y x x   . 
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2lny x x  trên  1;e . 
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân sau:  
1
0
1 . xI x e dx  . 
Câu 4 (1,0 điểm). 
a) Gọi 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình 
2 2 5 0z z   trên tập số phức. Hãy tính giá 
trị của biểu thức 
2 2
1 2A z z  . 
b) Giải phương trình:    3 3log 1 log 5x x   . 
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1;2;1)I và mặt phẳng 
( ) : 2 2 4 0P x y z    . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với (P). Tìm tọa 
độ hình chiếu của I trên (P). 
Câu 6 (1,0 điểm ). 
a) 
1
 ,sin
2 3
Cho

     . Tính giá trị của biểu thức sin 2 cos2P    . 
b) Năm học 2015 – 2016 trường THPT Quỳnh Lưu 3 có 39 lớp được chia đều cho ba khối 
( khối 10, 11, 12), mỗi khối gồm 13 lớp. Đoàn trường lấy ngẫu nhiên 4 lớp để tổ chức 
lễ ra quân làm lao động vệ sinh môi trường cho địa phương vào Tháng thanh niên. Tính 
xác suất để các lớp được chọn có trong cả ba khối. 
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình 
chiếu đỉnh S lên mặt đáy là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Biết góc hợp bởi SC và mặt 
đáy là 450. 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. 
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
 2 2. 2 8 4
2 11 12 7 3 0
x y y x y x
xy x x y x
     

       
. 
Câu 9 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường tròn 
nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại các điểm D,E,F. Tìm tọa độ các đỉnh 
của tam giác ABC biết D(3;1), trung điểm của BC là M(4;2), phương trình EF: 3x-y-2=0 
và B có hoành độ bé hơn 4. 
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số dương x,y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 
32 2 2 2
1 1 2
33 3
P
x yx y x y
  
 
 . 
-------------------------------/ Hết /----------------------------- 
Họ và tên thí sinh:.........................................................SBD:............. 
 1 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 1 NĂM HỌC 2015 – 2016 . 
Trường THPT Quỳnh Lưu 3 
Câu ý Nội dung Điểm 
1 
1 đ 
1) Tập xác định: 
2) Sự biến thiên 
a) Chiều biến thiên: 
2 2' 3 6 ; ' 0 3 6 0 0 2y x x y x x x x          
' 0 0 2; ' 0 0 2y x x y x         
Vậy, hàm số đồng biến trên hai khoảng  ;0 và  2; 
hàm số nghịch biến trên khoảng  0;2 
0,25 
b) Cực trị. 
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yC Đ=1. 
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và yCT=-3 
c) Giới hạn tại vô cực. 
 3 2 3 3
3 1
lim lim 3 1 lim 1 ; lim
x x x x
y x x x y
x x   
  
           
  
0,25 
d) Bảng biến thiên 
x - 0 2 + 
y’ + 0 - 0 + 
y 
1 
- 
-3 
+ 
0,25 
3. Đồ thị 
Đồ thị có tâm đối xứng I(1;-1) và đi qua các điểm (0;1), (2;3), (-1;-3),(3;1). 
0,25 
2 
1 đ 
Ta có  
2
( ) 2ln ; '( ) 1 ; '( ) 0 2 1;f x x x f x f x x e
x
        
(1) 1; (2) 2 2ln2; ( ) 2f f f e e     
Vậy, 
   1;1;
min 2 2ln 2;max 1
ee
y y   
0,5 
0,5 
 2 
3 
1 đ 
   
 
1 1
0 0
1
1 1
0 0
0
1 . 1
1 2 1 .
x x
x x x
I x e dx x de
x e e dx e e e
   
      
 

Vậy, I=e. 
0,5 
0,5 
4 
1 đ 
a 
0,5 
đ 
Phương trình 2 2 5 0z z   có ' 4 0    nên nó có hai nghiệm phức phân 
biệt là z1=1+2i và z2=1-2i. 
Khi đó,
2 2
1 2 5z z  . Do đó 
2 2
1 2 10A z z   
0,25 
0,25 
b. 
0,5 
đ 
Điều kiện: -1<x<5 
       
 
2
3 3 33
2 2
log 1 log 5 log 1 log 5
1 5 11 24 0 3 8
x x x x
x x x x x x
      
           
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm thỏa mãn là x=3. 
0,25 
0,25 
5 
1 đ 
a 
0,5 
đ 
Khoảng cách từ I đến mp(P) là  
2 2 2
1.1 2.2 2.1 4
,( ) 1
1 2 2
r d I P
  
  
 
. 
Vì M mặt cầu (S) tiếp xúc với mp(P) nên bán kính mặt cầu r=1 
Phương trình mặt cầu là (S):      
2 2 2
1 2 1 1x y z      
0,25 
0,25 
b 
0,5 
đ 
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P), d có véctơ chỉ phương là 
 1;2;2n  nên nó có phương trình 
1 2 1
1 2 2
x y z  
  . 
Gọi H là hình chiếu cần tìm thì H là giao điểm của d và (P), tọa độ H là nghiệm 
của hệ phương trình 
2
32 2 4
4 2 4 1
2 0 , ; ;
3 3 3 3
1
1
3
x
x y z
x y y H
y z
z


   
   
      
    


0,25 
0,25 
6 
1 đ 
a 
0,5 
đ 
Ta có 
2 2 8cos 1 sin
9
    
Vì ;
2

 
 
 
 
 nên cos 0  , do đó 
2 2
cos
3
   
Khi đó, 2
7 4 2
sin 2 cos2 2sin cos 1 2sin
9
P     

      
0,25 
0,25 
b 
0,5 
đ 
Gọi không gian mẫu là  : ‘ Chọn ngẫu nhiên 5 lớp trong 39 lớp ‘ thì 
  439 82251n C   
Gọi A là biến cố “ chọn được 4 lớp có trong cả ba khối”. 
TH1: khối 10 hai lớp, khối 11 một lớp và khối 12 một lớp có 2 1 113 13 13C C C cách 
chọn 
TH2: khối 10 một lớp, khối 11 hai lớp và khối 12 một lớp có 1 2 113 13 13C C C cách 
chọn 
TH3: khối 10 một lớp, khối 11 một lớp và khối 12 hai lớp có 1 1 213 13 13C C C cách 
chọn. 
0,25 
 3 
Do đó 2 1 113 13 13( ) 3 39546n A C C C  
Xác suất cần tìm là 
( ) 39546 338
( ) 48%
( ) 82251 703
n A
P A
n
   

0,25 
7 
1 đ 
a 
0,5 
đ 
Vì HC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên theo giả thiết 045SCH  . Do đó, 
2 2 0.tan .tan 45 5SH HC SCH HB BC a    
Diện tích hình vuông ABCD là 24a 
Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là 
3
21 1 4 5. 5.4 ( )
3 3 3
ABCD
a
V SH S a a dvtt   . 
0,25 
0,25 
b 
0,5 
đ 
Dựng hình bình hành BDCE, khi đó      , ,( ,( )d SC BD d BD SCE d B SCE  
Mặt khác, 
 
 
, ( ) 2 2
,( ) ( ,( ))
( ,( )) 3 3
d B SCE EB
d B SCE d H SCE
d H SCE EH
    
Gọi F và G lần lượt là hình chiếu của H lên EC và SF ta có 
( )
CE SH
CE SHF CE HG
CE HF
 
   
 
, mà HG SF nên  HG SCE hay 
  ,d H SCE HG 
Ta có 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 16 1 2 19
9 5 9 45HG SH HF SH AC a a a
       
Suy ra   ,d H SCE HG =
3 5
19
a
Vậy, khoảng cách giữa SC và BD là 
2 5
19
a
. 
0,25 
0,25 
8 
1 đ 
 Xét hệ 
 2 2. 2 8 4 (1)
2 11 12 7 3 0 (2)
x y y x y x
xy x x y x
     

       
A D
B C
S
E
H
F
G
 4 
Điều kiện 
7
2 , 0
3
x y   
Ta có 
4 8
2 2. 4( 2)
2
x y
x y x y
 
    . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x-8 
   
4 8
2 8 8 4
2
x y
y x y x
 
    . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x-8 
Suy ra  2 2. 2 8 4x y y x y x     . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x-8 
Như vậy, pt(1) y=4x-8. Thế vào pt(2) ta có: 
     
 
   
 
2
2
2 2
2
2
2
4 6 11 4 3 7 3 0
4 3 4 3 1 7 3 2 0
3 3 7
4 3 0 do 2;
34 3 1 7 3 2
1 1
3 4 0
4 3 1 7 3 2
3 0 ( )
 1 1
4 (3)
4 3 1 7 3 2
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
      
           
      
                
 
      
      
    

  
      
+
2 1 13 1 13( ) 3 0
2 2
pt x x x x
 
         
Đối chiếu điều kiện ta có 
1 13
2
x

 , hệ có nghiệm 
1 13
;2 13 6
2
 
 
 
+Xét pt(3) 
7 1 1
2; 4 3 1 3 10 6
3 64 3 1
x x x
x x
 
               
Xét hàm số 
7 3 2 7 3 3
2; : ( ) 7 3 2 '( ) 1 0
3 2 7 3 2 7 3
7 1 1
( ) 3
3 3 7 3 2
x
x g x x x g x
x x
g x g
x x
  
              
 
     
   
Do đó, 
7
2;
3
x
 
  
 
: 
1 1 1
3 4
64 3 1 7 3 2x x x x
   
     
 hay pt(3) vô nghiệm 
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất 
1 13
;2 13 6
2
 
 
 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 5 
9 
1 đ 
Phương trình đường thẳng BC: x-y-2=0 
Gọi H là giao điểm của EF và BC ta có tọa độ H là nghiệm của hệ 
3 2 0 0
, (0; 2)
2 0 2
x y x
H
x y y
    
  
     
. Từ các giả thiết ta thấy H nằm trên tia đối 
của tia BC. 
Ta chứng minh MD.MH=MB2. 
Thật vậy, qua B kẻ đường thẳng song song với CA cắt HE tại G. Khi đó ta có 
BG=BF=BD đồng thời . .
HB GB DB
HB DC DB HC
HC CE DC
    . Vì M là trung 
điểm đoạn BC nên ta được 
      2.MH MB MB MD MB MD MH MB MH MD MB       . 
Gọi B(t;t-2),t<4 ta có  
2
2 4 8 4 2 2, (2;0) (6;4)t t t B C         . 
Phương trình đường tròn tâm B bán kính BD là (T):  
2 22 2x y   . 
Đường thẳng EF cắt (T) tại G và F có tọa độ là nghiệm của hệ 
 
2 2
3
12 2 5
1 13 2 0
5
x
xx y
yx y y

    
   
      

. Vì G nằm giữa H và F nên 
 
3 1
1;1 , ;
5 5
F G
 
 
 
. Khi đó phương trình AB: x+y-2=0, AC đi qua C và song 
song với BG nên có pt: x-7y+22=0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
2 0 1
, ( 1;3)
7 22 0 3
x y x
A
x y y
     
  
    
Vậy, A(-1;3),B(2;0),C(6;4). 
0,25 
0,25 
0,5 
10 
1 đ 
Xét biểu thức 
 
32 2 2 2
1 1 2
33 3
P
x yx y x y
  
 
Trước hết ta chứng minh 
2 2 2 2
1 1 2
3 3 x yx y x y
 
 
Thật vậy, 
 
  
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
81 1 1 1
2
3 3 3 33 3
x y
x y x y x y x yx y x y
   
              
 6 
Xét 
 
    
     
   
 
   
22 2 2 2 2 22 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
4
22 2 2 2 2 2 2 2
4 2 3 38 4
3 3 3 3
4 1 1 2
0
3 3 3 3
x y x y x y x yx y
x y x y x y x y x y x y
x y
x yx y x y x y x y x y
        
     
 
    
    
Dấu “=” xẩy ra khi x=y 
Như vậy, 
 
3
2 2
3
P
x y x y
 
 
Đặt, 
1
, 0t t
x y
 

. 
Xét hàm số 
3
22( ) 2 '( ) 2 2 ; '( ) 0 1
3
t
f t t f t t f t t         
Ta có bảng biến thiên 
t - -1 1 + 
f’(t) - 0 + 0 - 
f(t) 
4/3 
Từ BBT ta thấy GTLN của f(t) là 4/3 khi t=1. 
Vậy, GTLN của P là 4/3 khi 
1
2
x y  
0,5 
0,5 
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.