www.MATHVN.com – Toỏn học Việt Nam Facebook.com/mathvn.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ THPTQG- LẦN 1 NĂM HỌC: 2015-2016 Mụn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Cõu 1 (1,0 điểm). Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số 32 24 −−= xxy Cõu 2 (2,0 điểm). a) Cho tanα 2= và 3ππ α 2 < < . Tớnh 2πsin α 3 + . b) Giải phương trỡnh: cos x sin 4x cos3x 0+ − = . Cõu 3 (1,0 điểm). Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 24 .f x x x= + − trờn đoạn 12; 2 − . Cõu 4 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh 2.4 6 9 .x x x+ = Cõu 5 (1,0 điểm). Trong đợt thi học sinh giỏi của tỉnh Nam Định trường THPT Xuõn Trường mụn Toỏn cú 5 em đạt giải trong đú cú 4 nam và 1 nữ , mụn Văn cú 5 em đạt giải trong đú cú 1 nam và 4 nữ , mụn Húa học cú 5 em đạt giải trong đú cú 2 nam và 3 nữ , mụn Vật lớ cú 5 em đạt giải trong đú cú 3 nam và 2 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn mỗi mụn một em học sinh để đi dự đại hội thi đua ? Tớnh xỏc suất để cú cả học sinh nam và nữ để đi dự đại hội? Cõu 6 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật. Tam giỏc SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABCD). Biết 2 3SD a= và gúc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 030 . Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD.Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn MD.Tam giỏc BDM nội tiếp đường trũn (T) cú phương trỡnh: 2 2( 4) ( 1) 25x y− + − = .Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật ABCD biết phương trỡnh đường thẳng CN là: 3 4 17 0x y− − = ; đường thẳng BC đi qua điểm E(7;0) và điểm M cú tung độ õm Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 5 2 2 8 1 2 1 3 4 7 x x y x y y x y y x x x + + + − + + = + − − + = − + − − + Cõu 9 (1,0 điểm). Cho [ ], , 0; 2x y z ∈ thỏa món 3x y z+ + = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 P xy yz zx x y y z z x = + + + + + + + + + + + -----------------------HẾT------------------------ www.MATHVN.com – Toỏn học Việt Nam Facebook.com/mathvn.com Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tên thí sinh: ................................................................................; SBD.......................................... HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPTQG LẦN I Cõu Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 1) Tập xỏc định : D = R 2) Sự biến thiờn: a, Giới hạn : +∞= −∞→ y x lim ; +∞= +∞→ y x lim 0,25 b, Bảng biến thiờn: y’ = xx 44 3 − , y’ = 0 ⇔ x = 0, 1±=x x - ∞ - 1 0 1 + ∞ y' - 0 + 0 - 0 + y + ∞ - 3 + ∞ - 4 - 4 0,25 Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng (- 1; 0) và );1( +∞ , hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng )1;( −−∞ và (0; 1). Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = - 3. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1± , yCT = y( 1± ) = - 4. 0,25 Cõu 1 (1,0 điểm) 3) Đồ thị: Đồ thị (C) của hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox tại 2 điểm ( ± 3 ; 0). 0,25 Cho tan α 2= và 3ππ α 2 < < . Tớnh 2πsin α 3 + ? Ta cú 2 2 1 1 1 5Cos α cosα 1 tan α 1 4 5 5 = = = ⇒ = ± + + 0,25 Do 3ππ α cosα 0 2 < < ⇒ < nờn 5cosα 5 = − 0,25 Cõu 2.1 (1,0 điểm) 5 2 5 sin α cosα. tan α .2 5 5 − − = = = 0,25 1 1− 3− y x O 4− 3 3− www.MATHVN.com – Toỏn học Việt Nam Facebook.com/mathvn.com Vậy 2π 2π 2π sin α sin α.cos cosα.sin 3 3 3 2 5 1 5 3 2 5 15 . . 5 2 5 2 10 + = + − − − − = − = 0,25 Giải phương trỡnh: cos x sin 4x cos3x 0+ − = cos x sin 4x cos3x 0 2sin 2x.sin x 2sin 2x.cos 2x 0+ − = ⇔ + = 0,25 22sin 2x(s inx cos2x) 0 sin 2x( 2sin x sin x 1) 0⇔ + = ⇔ − + + = 0,25 Cõu 2.2 (1,0 điểm) kπ x 2 πsin 2x 0 x k2π 2 s inx 1 π x k2π1 s inx 6 2 7π x k2π 6 = = = + ⇔ = ⇔ − = + − = = + 0,5 Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 24 .f x x x= + − trờn đoạn 12; 2 − . + Ta cú 2 xf '(x) 1 4 x = − − 0,25 + 1f '(x) 0 x 2 [ 2; ] 2 = ⇔ = ∉ − 0,25 + Cú 1 1 15f ( 2) 2;f ( ) 2 2 + − = − = 0,25 Cõu 3 (1,0 điểm) 1 1[-2; ] [-2; ] 2 2 1 15 ; 2 2maxf(x) minf(x) + = = − 0,25 Giải phương trỡnh 2.4 6 9 .x x x+ = Phương trỡnh 4 62. 1 9 9 ⇔ + = x x 0,25 Cõu 4 (1,0 điểm) 22 22. 1 0 3 3 ⇔ + − = x x 0,25 www.MATHVN.com – Toỏn học Việt Nam Facebook.com/mathvn.com C H A B D S I K ( )2 1 3 2 1 3 2 = − ⇔ = x x Loai 0,25 2 3 log 2⇔ = −x Vậy phương trỡnh cú nghiệm 2 3 log 2x = − 0,25 Trong đợt thi học sinh giỏi của tỉnh Nam Định trường THPT Xuõn Trường mụn Toỏn 5 em đạt giải trong đú cú 4 nam và 1 nữ , mụn Văn cú 5 em đạt giải trong đú cú 1 nam và 4 nữ , mụn Húa học cú 5 em đạt giải trong đú cú 2 nam và 3 nữ , mụn Vật lớ cú 5 em đạt giải trong đú cú 3 nam và 2 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn mỗi mụn một em học sinh để đi dự đại hội thi đua ? Tớnh xỏc suất để cú cả học sinh nam và nữ để đi dự đại hội? Cú tất cả 5.5.5.5=625 cỏch n(Ω) 625⇒ = 0,25 Gọi A là biến cố “cú cả HS nam và nữ đi dự đại hội” A⇒ là biến cố “Cả bốn HS nam hoặc cả 4 HS nữ đi dự ĐH” 0,25 n(A) 4.1.2.3 1.4.3.2 48⇒ = + = ( ) n(A) 48P A n(Ω) 625⇒ = = 0,25 Cõu 5 (1,0 điểm) Vậy ( ) 48 577P(A) 1 P A 1 625 625= − = − = 0,25 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật. Tam giỏc SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABCD). Biết 2 3SD a= và gúc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 030 . Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Gọi H là trung điểm của AB. Suy ra ( )SH ABCD⊥ và 030SCH = . Ta cú: 2 3SHC SHD SC SD a∆ = ∆ ⇒ = = . Xột tam giỏc SHC vuụng tại H ta cú: 0 0 .sin .sin 30 3 .cos .cos30 3 SH SC SCH SC a HC SC SCH SC a = = = = = = 0,25 Vỡ tam giỏc SAB đều mà 3SH a= nờn 2AB a= . Suy ra 2 2 2 2BC HC BH a= − = . Do đú, 2. 4 2ABCDS AB BC a= = . Vậy, 3 . 1 4 6 . 3 3S ABCD ABCD aV S SH= = . 0,25 Cõu 6 (1,0 điểm) Vỡ 2BA HA= nờn ( )( ) ( )( ), 2 ,d B SAC d H SAC= Gọi I là hỡnh chiếu của H lờn AC và K là hỡnh chiếu của H lờn SI. Ta cú: 0,25 www.MATHVN.com – Toỏn học Việt Nam Facebook.com/mathvn.com AC HI⊥ và AC SH⊥ nờn ( )AC SHI AC HK⊥ ⇒ ⊥ . Mà, ta lại cú: HK SI⊥ . Do đú: ( )HK SAC⊥ . Vỡ hai tam giỏc SIA và SBC đồng dạng nờn . 6 3 HI AH AH BC aHI BC AC AC = ⇒ = = . Suy ra, 2 2 .HS HIHK HS HI = = + 66 11 a . Vậy , ( )( ) ( )( ) 2 66, 2 , 2 11 ad B SAC d H SAC HK= = = 0,25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD.Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn MD.Tam giỏc BDM nội tiếp đường trũn (T) cú phương trỡnh: 2 2( 4) ( 1) 25x y− + − = .Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật ABCD biết phương trỡnh đường thẳng CN là: 3 4 17 0x y− − = ; đường thẳng BC đi qua điểm E(7;0) và điểm M cú tung độ õm I M C A D B N E +(T) cú tõm I(4;1);R=5 + Do I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BDM và N,C là chõn cỏc đường cao nờn chứng minh được :IM ⊥ CN 0,25 + Lập ptđt IM qua I và IM ⊥ CN : 4(x-4)+3(y-1)=0 4x+3y-19=0 + M là giao điểm (T) với IM : M(7; 3) M(1;5) (loai) − 0,25 +Đường thẳng BC qua M,E cú pt : x=7 + C là giao điểm BC và NC => C(7 ;1) + B đối xứng M qua C => B(7 ;5) 0,25 Cõu 7 (1,0 điểm) + Đường thẳng DC qua C và vuụng gúc BC : y=1 D là giao điểm (T) và DC : D(9;1) D( 1;1) − Vỡ B,D nằm cựng phớa với CN nờn D(-1 ;1) +Do BA CD= => A(-1 ;5) * Nếu khụng loại mà lấy cả 2 điểm D chỉ cho 0,75đ 0,25 Giải hệ phương trỡnh: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 5 2 2 8 1 2 1 3 4 7 x x y x y y x y y x x x + + + − + + = + − − + = − + − − + www.MATHVN.com – Toỏn học Việt Nam Facebook.com/mathvn.com Điều kiện 1; 2x y≥ − ≥ . Đặt ( )1 ; 2 , 0x a y b a b+ = − = ≥ , từ (1) ta cú: ( ) ( )( ) 2 2 2 2 21 5 2 2 0 1 2 0 a ab a b b a b ab b a b a b a b + + − + = + + ⇔ − + − + − = ⇔ − + + = a b⇔ = (do , 0 1 2 0a b a b≥ ⇒ + + > 1 2 3x y y x⇒ + = − ⇔ = + . 0,25 Thế vào (2) ta được: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 28 4 8 4 1 81 1 34 7 4 7 1 3 x x x x x x x x x x x x x − + − + + − = + + − ⇔ = − + − + + + ( )2 8 4 1 * 4 7 1 3 x x x x x x = ⇔ + + = − + + + 0,25 + 8 11;= ⇒ =x y + ( ) ( )( ) ( )( )2* 1 3 4 1 4 7x x x x x⇔ + + + = + − + ( ) ( ) ( ) ( )2 21 3 1 3 2 3 . 2 3x x x x ⇔ + + + + = − + − + (**) 0,25 Cõu 8 (1,0 điểm) Xột hàm số ( ) ( )( )23 3f t t t= + + với t ∈ℝ cú ( ) ( )2' 3 1 0f t t t= + ≥ ∀ ∈ℝ nờn ( )f t đồng biến trờn ℝ . Do đú ( ) ( ) ( ) 22** 1 2 1 2 1 4 4 xf x f x x x x x x ≥ ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = − + 2 2 5 13 25 3 0 x x x x ≥ + ⇔ ⇔ = − + = (T/M) 5 13 11 13 2 2 + + = ⇒ =x y Vậy hệ đó cho cú nghiệm ( );x y là ( )8;11 và 5 13 11 13; 2 2 + + 0,25 Cho [ ], , 0;2x y z ∈ thỏa món 3x y z+ + = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 P xy yz zx x y y z z x = + + + + + + + + + + + Cõu 9 (1,0 điểm) Ta cú ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 1 2x y x y x y+ + = + + + ≥ + ,.; 12 xy xy +≤ , Nờn 1 1 1 1 3 2 P xy yz zx x y y z z x ≤ + + + + + + + + + . Ta cú ( )( ) 9x y z xy yz zx xyz+ + + + ≥ 0,25 www.MATHVN.com – Toỏn học Việt Nam Facebook.com/mathvn.com ( )( )( ) ( )( ) ( )( )8 9 x y y z z x x y z xy yz zx xyz x y z xy yz zx⇒ + + + = + + + + − ≥ + + + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 1 1 8 9 27 3 8 8 x y y z y z z x x y z x x y y z z x x y y z z x x y z xy yz zx x y y z z x x y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + ≤ + + + + = + + + Suy ra ( ) 1 27 27 2 8 8 P xy yz zx xy yz zx ≤ + + + + + + Đặt t xy yz zx= + + . Do [ ] ( )( )( ) 4, , 0;2 2 2 2 0 2 2 2 xyz x y z x y z xy yz zx t+∈ ⇒ − − − ≥ ⇔ + + ≥ ≥ ⇒ ≥ Mặt khỏc: ( )21 3 3 3 xy yz zx x y z t+ + ≤ + + = ⇒ ≤ . Vậy [ ]2;3t ∈ 0,25 Ta cú ( )1 27 27 2 8 8 P t f t t ≤ + + = Xột hàm số ( )f t với [ ]0;2t ∈ ta cú ( ) [ ] 3 2 2 1 27 8 27 ' 0 2;3 2 8 16 tf t t t t t − = − = > ∀ ∈ nờn hàm số ( )f t đồng biến trờn [ ]2;3 . ( ) ( ) 153 4 f t f⇒ ≤ = . 0,25 Do ( ) 15 4 P f t P≤ ⇒ ≤ . Cú 15 4 P = khi 1x y z= = = . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 15 4 đạt được khi 1.x y z= = = 0,25 (Mọi cỏch giải khỏc nếu đỳng cho điểm tương tự)
Tài liệu đính kèm: