Đề thi thử quốc gia môn toán - Đề số 21

THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
1 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 21 
Cõu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 
2 3
2
x
y
x



 cú đồ thị (C) 
 a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 
 b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung 
Cõu 2 (1,5 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau 
 a) cos cos2 sin 0x x x   
 b)    23 3log 6 log 2 1x x    
Cõu 3 (1,5 điểm) 
a) Tớnh tớch phõn:  
2
sin
0
cos .xI e x x dx

  
b) Một hộp đựng 9 thẻ được đỏnh số 1,2,3,....,9. Rỳt ngẫu nhiờn 3 thẻ và nhõn 3 số ghi trờn 
ba thẻ với nhau. Tớnh xỏc suất để tớch nhận được là một số lẻ 
Cõu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh sau 
   2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
     

   
Cõu 5 (1,0 điểm) Cho x > 0, y > 0 thỏa món 2 2 3x y xy x y xy    . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
2
2 2 (1 2 ) 3
2
xy
P x y
xy
 
   . 
Cõu 6 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng : 2 0x y    và đường trũn 
(C) : 2 2 4 2 0x y x y    . Gọi I là tõm của (C), M là điểm thuộc  . Qua M kẻ cỏc tiếp tuyến MA 
và MB đến (C) (A và B là cỏc tiếp điểm). Tỡm toạ độ điểm M, biết tứ giỏc MAIB cú diện tớch 
bằng 10 
Cõu 7 (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a hỡnh chiếu vuụng 
gúc của S trờn mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA =2 HB. Gúc giữa đường 
thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC và tớnh khoảng cỏch 
giữa hai đường thẳng SA và BC theo a 
Cõu 8 (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với 
       1;2; 1 , 2; 1;3 , 2;3;3 , 0;0;0A B C O       
a) Tớnh thể tớch tứ diện OABC 
b) Tỡm tọa độ điểm D nằm trờn mặt phẳng (0xy) sao cho tứ diện ABCD cú cỏc cạnh đối diện 
vuụng gúc với nhau 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
2 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 21 
Cõu 1 
1a 
Tập xỏc định:  \ 2 
- lim 2, lim 2 2
x x
y y y
 
    là tiệm cận ngang 
- Tiệm cận đứng x=2 
0.25 
 Sự biến thiờn: 
 
2
1
' 0, 2
2
y x
x
    

Hàm số Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ;2) và  2; 
0.25 
Bảng biến thiờn: 
0.25 
Đồ thị : 
0.25 
1b 
+ Đồ thị cắt 0y tại 
3
0;
2
M
 
  
 
,  0
1
4
f    0.25 
+ Tiếp tuyến tại M cú phương trỡnh 
1 3
4 2
y x  0.25 
Cõu 2 
2a 
+ Phương trỡnh tương đương với phương trỡnh 
  sin cos 1 cos sin 0x x x x    
sin cos 0
sin cos 1 0
x x
x x
 
    
0.25 
+ sin cos 0 ,
4
x x x k k Z

       0.25 
+  
2
1
sin cos 1 0 sin 3
4 22
2
x k
x x x k Z
x k





               

 0.25 
2b + ĐK 6x  0.25 
x 
y' 
y 


 

2
2 
2 
  
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
3 
+ Với ĐK phương trỡnh tương đương với phương trỡnh 
   23 3log 6 log 3 2x x     
 2
0
6 3 2
3
x
x x
x

      
+ Kết hợp với ĐK nghiệm của phương trỡnh 3x  
0.25 
Cõu 3 
3a 
 
2 2 2
sin sin sin
1
0
0 0
cos . sin / 1x x xI x e dx e d x e e
  
      0.25 
 
2 2 22 2
2
0 0
0 0 0
.cos . sin sin / sin cos / 1
2 2
I x x dx xd x x x xdx x
   
 
          
0.25 
Vậy 
1 2 2
2
I I I e

     0.25 
3b 
+ Gọi T là phộp thử “Lấy 3 thẻ trong 9 thẻ” 
3
9
84C    
 A là biến cố “ Tớch 3 số là số lẻ”
3
5
10A C    
0.25 
+  
10 5
84 42
P A   0.25 
Cõu 4 
+ ĐK : 
3
4
5
2
x
y



 

+ Phương trỡnh thứ nhất trong hệ tương đương với phương trỡnh: 
      24 1 2 5 2 1 5 2 1x x y y     
 Xột hàm số :      
2 21 3 1 0
t t
f t t f t f       đồng biến trờn R 
0.25 
Phương trỡnh (1) trong hệ tương đương với phương trỡnh 
 
2
2 5 2
0
2 5 2 5 4
2
x y
x
f f x y x
y



      


0.25 
Thay vào ph-ơng trình (2) trong hệ ta có ph-ơng trình: 
 2 4
25
6 4 2 3 4 7 (*)
4
x x x     
* Xột hàm số 4 2
25
( ) 4 6 2 3 4
4
f x x x x     trờn 
3
0;
4
 
 
 
 2
4
'( ) 4 (4 3)
3 4
f x x x
x
  

 < 0 
0.25 
Mặt khỏc : 
1
7
2
f
 
 
 
 nờn (*)   1
2
1
2
x
f f x
 
 
 
     y = 2. Thoã mãn điều kiện 
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
4 
Kết luận: Hệ cú nghiệm 
1
2
2
x
y



 
Cõu 5 
+ Ta cú 2 2 3x y xy x y xy    
 ( ) 3 (1)xy x y x y xy     do x >0 ; y > 0 nờn x + y > 0 
(1)  
21 1 4
3 3 3( ) 4 0x y x y x y
x y x y
            

   1 ( ) 4 0 4x y x y x y           
0.25 
(1) 
1 3
1
xy x y
  

3 1
1
x y xy
  

Nờn P = (x + y)2 + 2 - 
1
xy
 = (x + y)
2
 +1 + 
3
x y
0.25 
+ Đặt x + y = t ( t 4) 2
3
1 ( )P t f t
t
     
+Ta cú '( )f t = 2t - 
3
2 2
3 2 3
0 t>4
t
t t

   Nờn ( )f t đồng biến trờn nửa khoảng 
 4; => 
71
( ) (4)
4
P f t f   
Hay giỏ trị nhỏ nhất của P bằng 
71
4
 khi x= y = 2 
0.5 
Cõu 6 
+ Đường trũn (C) tõm  2;1 , 5I R  
+
10
10 . 10
5
MAIBS IA AM AM     
0.25 
2 2 20MI R   
2 25MI  
0.25 
+ Coi      
2 22; 2 , 25 2 3 25M x x MI x x           
2
3
6 0
2
x
x x
x
 
      
0.25 
Vậy  3;1M   hoặc  2; 4M   0.25 
Cõu 7 
+ 
2 3
2
ABC
a
S  
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giỏc 
AHC ta cú 
2 2 2 0
2
2 . .cos60
7 7
9 3
HC AH AC AH HC
a a
HC
  
  
0.25 
A 
S 
C 
B 
K
H 
I 
t 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
5 
+Tam giỏc vuụng HSC ta cú: 
0 7 21.tan 60 . 3
3 3
a a
SH HC   
2 31 3 21 7
.
3 4 3 12
a a a
V   
0.25 
 Kẻ At//BC, HI vuụng gúc với At,     ;H SAIHK SI HK SAI HK d     
0.cos . os30
2 3 3
.
3 2 3
IAH HI AH IHA AH c
a a
   
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3 24 7
7 7 2 6
a
HSI HK
HK HI SH a a a
         
0.25 
 + Ta cú           , , , ,
3 3 7 3 42
.
2 2 242 6
SA BC BC AIS B AIS H AIS
a a
d d d d     0.25 
Cõu 8 
8a 
+      1;2; 1 , 2; 1;3 , 2;3;3OA OB OC      0.25 
+  , 5; 5; 5OAOB      
1 40 20
, . 40 , .
6 6 3
OAOB OC V OA OB OC        
   
 0.25 
8b 
+ Coi    ; ;0 0D x y mp xy  theo bài ra ta cú 
. 0
, 0
. 0
AD BC
BD CA
CD AB
 




0.25 
 
1 0
2
3 5 0 2; 1;0
1
3 1 0
x y
x
x y D
y
x y
   
 
         
    
 0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
6 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 22 
Cõu 1( 2 điểm ) Cho hàm số 3 23y x x  (C). 
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (C). 
2. iết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cú hoành độ bằng 1. 
Cõu 2 ( 1 điểm ) 
a) Cho gúc  thỏa món 
2

   và 
4
sin
5
  . Tớnh 
1 tan
sin 2
A



 . 
b) Cho số phức z thỏa món: 2 . 2 5z i z i   . Tớnh modun của số phức 2w z z  
Cõu 3 ( 0,5 điểm ) 
Giải phương trỡnh sau:    22 2log 3 log 3 3x x    
Cõu 4 ( 1 điểm ) 
Giải bất phương trỡnh sau: 
2
2
1 2 2 3 1
1
1 2 1
x x x
x x
   

  
Cõu 5 ( 1 điểm ) 
Tớnh tớch phõn sau  
2
1
2 lnI x x x dx  
Cõu 6 ( 1 điểm ) 
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, tam giỏc SAD cõn tại S và nằm trờn 
mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của CD; H là hỡnh chiếu 
vuụng gúc của D trờn SM; Biết gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Tớnh thể tớch 
khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch từ H đến mặt phẳng (SBC) theo a. 
Cõu 7 ( 1 điểm ) 
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh 
1 2 5
:
2 3 4
x y z
d
  
 

;   : 2 2 1 0P x y z    . Tỡm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và 
mặt phẳng (P). Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và cỏch (P) một khoảng bằng 
2
3
. 
Cõu 8 ( 1 điểm ) 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hỡnh vuụng ABCD cú điểm C(2; -2). Gọi điểm I, K lần 
lượt là trung điểm của DA và DC; M(-1; -1) là giao của BI và AK. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh cũn lại 
của hỡnh vuụng ABCD biết điểm B cú hoành độ dương. 
Cõu 9 ( 0,5 điểm ) 
Đoàn trường THPT Hiền Đa thành lập 3 nhúm học sinh mỗi nhúm cú 4 học sinh để chăm súc 3 
bồn hoa của nhà trường, mỗi nhúm được chọn từ đội xung kớch nhà trường gồm 4 học sinh khối 
10, 4 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 12. Tớnh xỏc suất để mỗi nhúm phải cú mặt học sinh 
khối 12. 
Cõu 10 ( 1 điểm ) Cho cỏc số dương a, b, c thay đổi thỏa món 3a b c   . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
của biểu thức: 
     
2 2 2
2 2 23 3 38 1 8 1 8 1
a b c
P
b c c a a b
  
        
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
7 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
8 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 22 
Cõu 1 
1a 
+) TXĐ: D = R 
+) Giới hạn : lim
x
y

  
Đồ thị hàm số khụng cú tiệm cận 
0.25 
2' 3 6
0
' 0
2
y x x
x
y
x
 

   
+) BBT 
x  0 2  
y' + 0 - 0 + 
y 
 0 
 
 -4 
0.25 
+) Hàm số đạt cực đại tại xcđ =0; ycđ = 0. 
Hàm số đạt cực tiểu tại xct = 2; yct = -4. 
+) Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng  ;0 và  2; 
Hàm số nghịch biến trờn khoảng  0;2 
0.25 
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
0.25 
1b 
Giả sử tiếp điểm M( ;o ox y ). 
Với 1 2o ox y    
0.25 
 ' 1 3f   0.25 
 ậy phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; -2) là 
y = -3(x - 1) -2 hay y = -3x + 1 0.25 
Cõu 2 
2a 
 ỡ 
2

   nờn sin 0; cos 0   , ta cú 2 2 2
9
sin os 1 cos
25
c x     
lại cú 
3
cos
5
x   ( vỡ cos 0  ) 
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
9 
Suy ra 
4 5sin 1 .1
1 tan 255 3cos
4 3sin 2 2sin .cos 72
2. .
5 5
A

 
  
 
        
 
 
 
 0.25 
2b 
Đặt   ,z a bi z a bi a b R      
Ta cú : 
   
   
2 . 2 5 2 2 5
2 2 2 5
2 2 3
2 5 4
z i z i a bi i a bi i
a b a b i i
a b a
a b b
        
      
   
  
    
Suy ra 3 4z i  
0.25 
   
2
w 3 4 3 4 4 28
w 20 2
i i i      
 
 0.25 
Cõu 3 
Điều kiện x > 3 
Ta cú    22 2log 3 2log 3 3 0PT x x      
 
 
2
2
5
log 3 1
25
log 3 3
8
x
x
xx
  
 
    
( Thỏa món điều kiện) 
0.25 
Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm là x = 5 và x = 
25
8
 0.25 
Cõu 4 
Điều kiện: 2
2
0
3 1 0 0
1 2 1 0
x
x x x
x x
 

    

   
 0.25 
Ta cú 
2
2 1 32 1 2 3 1 ( 0)
2 4
x x x x
 
         
 
suy ra 
21 2 1 0x x    
0.25 
2 21 3 1BPT x x x x x       
1 1
1 1 3x x
x x
       ( ỡ x = 0 khụng thỏa món bất phương trỡnh) 
Đặt 
1
2x t t
x
    vỡ 0x  . 
0.25 
Ta cú 
13
1 1 3 2 1 3
4
t t t t         
Suy ra 
13 1 13
2 2
4 4
t x
x
      
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
10 
 
2
2
1
2
1 0 13 105 13 105
1 13 8 84 13 4 0
4
x
xx
x
x xx
x

       
     
    

Cõu 5 
Ta cú  
2 2
2
2
1
1 1
2 ln 2 lnI x x x dx x dx x xdx      0.25 
Tớnh 
2
3
2
2
1
1
1
2 14
2
3 3
x
I x dx   0.25 
Tớnh 
2
2
1
lnI x xdx  . Đặt 2
ln
2
dx
du
u x x
dv xdx x
v

 
 
  

22 22
2
2
1
1 1
ln 3
2ln 2 2ln 2
2 2 4 4
x x x x
I dx      
0.25 
1 2
14 3 65
2ln 2 2ln 2
3 4 12
I I I        0.25 
Cõu 6 
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD 
và BC. 
 ỡ (SAD)  (ABCD) nờn SI  
(ABCD). 
ta cú IJ  BC và SI  BC suy ra gúc 
giữa (SBC) và (ABCD là 60oSJI  . 
IJ = a. 
0.25 
Trong tam giỏc vuụng SIJ ta cú SI = IJ. 
tan60
o
 = 3a . 
2 2 2SJ SI IJ a   
0.25 
Diện tớch đỏy là SABCD = a
2
. 
Thể tớch khối chúp S.ABCD là S.ABCD = 
3
21 1 3. 3.
3 3 3
ABCD
a
SI S a a  (đvtt) 
0.25 
Chứng minh CD  (SAD). Trong tam giỏc vuụng SDM cú: 
2
2
13
14
SH SD
SM SM
  
Ta cú 
13
14
SHBC
SMBC
V SH
V SM
  . 
3 3 31 3 13 3 13 3
. . .
3 12 14 12 168
SMBC BCM SHBC
a a a
V SI S V     . 
0.25 
J
M
I
C
A B
D
S
H
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
11 
Lại cú 2
1 1
. . .2
2 2
SBCS BC SJ a a a    
 
3
2
13 3
3.
3. 13 3168,( )
56
SHBC
SBC
a
V a
d H SBC
S a
    
Cõu 7 
Gọi I(1+2t; -2-3t; 5+4t)  d (P) . 
 ỡ I  (P) nờn ta cú      2 1 2 2 2 3 5 4 1 0 1t t t t           
 1;1;1I  . 
0.25 
 ỡ (Q) // (P) gọi (Q) cú dạng 2 2 0x y z m    
       
2 2
; ;
3 3
32 2 1 2
1 2
134 4 1
d P Q d I Q
mm
m
m
  
    
          
0.5 
Vậy cú 2 mặt phẳng (Q) cần tỡm là 2 2 3 0x y z    và 2 2 1 0x y z    0.25 
Cõu 8 
Gọi J là trung điểm của AB. khi đú 
AJCK là hỡnh bỡnh hành  AK // CJ. 
Gọi CJ BM = N  N là trung điểm 
của BM. 
Chứng minh được AK  BI từ đú suy 
ra tam giỏc BMC là tam giỏc cõn tại C. 
Ta cú  3; 1 10MC MC    CM 
= BM = AB = 10 
Trong tam giỏc vuụng ABM cú 
2 2 2. .
5
. 2 2
2
AB BM BI BM AB AI
BM AB BM
  
  
0.25 
 B là giao của hai đường trũn (C; 10 ) và (M; 2 2 ). Tọa độ điểm B thỏa 
món: 
   
   
2 2
2 2
2 2 10
1 1 8
x y
x y
    

   
B(1; 1). 
0.25 
Phương trỡnh đường thẳng AB cú dạng: x - 3y + 2 = 0. 
Phương trỡnh đường thẳng AM cú dạng: x + y + 2 = 0. 
 A (-2; 0). 
0.25 
Ta cú  1; 3BA CD D    . 0.25 
Cõu 9 
Gọi  là khụng gian mẫu: " Chọn 3 nhúm học sinh mỗi nhúm cú 4 học sinh được 
lấy từ 12 học sinh trong đội xung kớch Đoàn trường". 
  4 4 412 8 4. .n C C C   
0.25 
N
J
M
K
I
CD
A B
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
12 
Gọi A là biến cố: " mỗi nhúm phải cú mặt học sinh khối 12" 
       1 3 1 3 2 24 8 3 5 2 23. . . . . .n A C C C C C C  
 
 
 
     1 3 1 3 2 24 8 3 5 2 2
4 4 4
12 8 4
3. . . . . .
. .
C C C C C Cn A
P A
n C C C
  

0.25 
Cõu 10 
Ta cú 
 
     
2
2 2 23 3 38 8 8 1 1 1
a b c
P
a b c a b c
 

          
Ta cú     3 2 2
1
8 2 2 4 6
2
a a a a a a        
    3 2 2
1
8 2 2 4 6
2
b b b b b b        
    3 2 2
1
8 2 2 4 6
2
c c c c c c        
0.25 
 
 
 
   
2
2 2 2
2
2
3
6
2 2
6
9 36
a b c
P
a b ca b c
a b c
a b c a b c
 
 
  
  
 

      
 0.25 
Đặt  t a b c   với  0;3t 
Ta cú  
2
2
6
9 36
t
f t
t t

  
 
 
 
 
2
2
2
54 8 0
' ' 0
89 36
t t t
f t f t
tt t
 
         
BBT 
t 0 
3 
f' - 
f 
0 
1 
Vậy 1P  hay Min 1P  dấu bằng xảy ra khi 1a b c   
0.5 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
13 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 23 
Cõu 1: (2.0 điểm) Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



. 
a/ Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho. 
b/ Tỡm cỏc giỏ trị m để đường thẳng (d): 3y x m   cắt (C) tại A và B sao cho trọng tõm 
tam giỏc OAB nằm trờn đường thẳng 2 0( ) : x y    . 
Cõu 2a. (1.0 điểm) 
a. Thu gọn  
3 3
2 2
2 2
cos( ) sin tan cotA x x x x
 
 
   
          
   
 b. Cho số phức 
1 2( )
m i
z
m m i
 

 
 . Tỡm m để 
1
2
.zz 
Cõu 3. (0.5 điểm) Giải phương trỡnh: 2 5 3 8cos .cos sin cos x x x x  
Cõu 4. (1.0 điểmGiải hệ phương trỡnh:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

  

   
Cõu 5. (1.0 điểm) Tớnh tớch phõn 
 
2
1 2
ln .
ln
e
x dx
I
x x


 
Cõu 6. (1.0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a. Gúc 
giữa 'CA và mặt ( ' ' )AA B B bằng 30 . Tớnh theo a thể tớch khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng 
cỏch giữa 'A I và AC với I là trung điểm AB. 
Cõu 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC nội tiếp đường trũn tõm I(1;2), bỏn 
kớnh R=5. Chõn đường cao hạ từ B, C của ABC lần lượt là . Viết phương trỡnh 
đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BCHK, biết rằng tung độ điểm A dương. 
Cõu 8. (1.0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm  1;7;5I và đường thẳng 
1 6
:
2 1 3
x y z
d
 
 

. Tỡm tọa độ điểm H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I lờn đường thẳng d và viết 
phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I, cắt đường thẳng d tại hai điểm phõn biệt M, N sao cho tam 
giỏc IMN cú diện tớch bằng 2 6009 . 
Cõu 9. (0.5 điểm) Cho một hộp đựng 12 viờn bi, trong đú cú 7 viờn bi màu đỏ, 5 viờn bi màu 
xanh. Lấy ngẫu nhiờn mỗi lần 3 viờn bi. Tớnh xỏc suất để lấy được cả 3 viờn bi đều màu đỏ. 
Cõu 10. (1.0 điểm) Cho cỏc số thực dương x, y, z. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 2
yz xyzx
P
x yz y zx z xy
  
  
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
14 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 23 
Cõu 1 
1a 
Tập xỏc định:  \ 1D 
Sự biến thiờn: 
 + Chiều biến thiờn: 
 
2
3
' 0,
1

   

y x D
x
 + Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng  ;1 và  1; 
 + Hàm số khụng cú cực trị. 
0.25 
 + Giới hạn và tiệm cận: 
 Do lim lim 2
 
 
x x
y y ; nờn tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: 2y 
2 2
lim ,lim
x x
y y
  
    ; nờn tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là: 1x 
0.25 
 + Bảng biến thiờn: 
0.25 
 Đồ thị 
0.25 
1b 
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đt (d): 
2 1
3 ( 1)
1

   

x
x m x
x
 2( ) 3 ( 1) 1 0      g x x m x m (1) 
Đường thẳng (d) cắt (C) tại A, B khi chỉ khi: 
2 21 4 3 1 0 10 12 0
5 37 5 37
1 0 3 0
( ) . .( )
( )
m m m m
m m
g
        
       
   
 (*) 
0.25 
Khi đú gọi tọa độ giao điểm là:
1 1 2 2
3 3( ; ); ( ; )A x x m B x x m    , x1, x2 là nghiệm pt(1) 
Tọa độ trọng tõm tam giỏc OAB là: 1 2 1 2
3 2
3 3
( )
( ; )
x x x x m
G
   
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
15 
G thuộc 2 0( ) : x y    nờn: 
1 2 1 2
1 2
3 2
2 0
3 3
4 2 6 0
1
4 2 6 0
3
7
( )
( )
.
x x x x m
x x m
m
m
m
   
  
    

   
  
0.25 
So với điều kiện (*) ta cú kết quả bài toỏn là: 7m  0.25 
Cõu 2 
2a 
 
3 3
cos( ) 2sin tan cot 2
2 2
A x x x x
 
 
   
          
   
A -cos 2cos cot cot   x x x x 
0.25 
cos x 0.25 
2b 
Ta cú 
2 2
1
1 ( 2 ) 1 1
m i m
z i
m m i m m
 
  
   
 0.25 
Do đú 
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
. 1
2 1 1 2 1 2
m
z z m
m m m
   
           
     
 0.25 
Cõu 3 
PT  cos2x + cos8x + sinx = cos8x 
  1- 2sin2x + sinx = 0 
0.25 
 sinx = 1 v 
1
sin
2
 x 
 
7
2 ; 2 ; 2 ,( )
2 6 6
       x k x k x k k Z
  
   
0.25 
Cõu 4 
 ẹK : x y 0
  
 
2 2
2
2
1 1
2

   
   
xy
x y
x y
x y x y
         
2 32
1 2 1 0 2 2 0             

xy
x y xy x y xy x y xy x y
x y
      2 1 2 1 0       x y x y xy x y 
0.25 
    
 
 2 2
1 1 2 0
1 3
0 4
         
 
 
   
x y x y x y xy
x y
x y x y
 0.25 
Dễ thấy (4) vụ nghiệm vỡ x + y > 0. Thế (3) vào (2) ta được 2 1 x y 0.25 
Giải hệ 
2
1 1; 0
2; 31
    
      
x y x y
x yx y
 (nhận)
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
16 
Vậy hệ phương trỡnh cú 2 nghiệm (1;0) và (-2;3). 
Cõu 5 
Đặt ln
dx
t x dt
x
   . Ta cú: ới 1 0, 1x t x e t      0.25 
1 1 1
2 20 0 0
tdt dt dt
I 2
(2 t) (2 t) (2 t)
   
    
 0.25 
1
1
0
0
2
ln 2 t
2 t
  

 0.25 
3 1
ln
2 3
  0.25 
Cõu 6 
Ta cú : 
 
' ( ' ( )) ( ' ' )
( ' ' ) : '
CI AB
CI AA AA ABC CI AA B B
Trong AA B B AB AA A
 

   
  
Suy ra gúc giữa CA’ và ( ' ' )AA B B chớnh là gúc giữa CA’ 
và IA’ và bằng gúc 30'CA I   
0.25 
Do đú 
3
2
'
tan '
IC a
A I
CA I
  ; với 
3 3
2 2
AB a
IC   
Suy ra: 
2 2
2 2 9 2
4 4
' '
a a
AA A I AI a     
Vậy 
2 33 6
2
4 4
. ' ' '
'. .
ABC A B C ABC
a a
V AA S a

   (đvtt) 
0.25 
Kẻ Ix AC . Khi đú ( , ' ) ( ,( ' , )) ( ,( ' , ))d AC A I d AC A I Ix d A A I Ix  0.25 
Kẻ AE Ix tại E và 'AF A E tại F. 
Ta chứng minh được:  ,( ' , )d A A I Ix AF 
Ta cú: 
3
60
2 4
.sin .sin
a a
AE AI AIE    
 à: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 16 35 210
352 3 6'
a
AF
AF A A AE a a a
       
Vậy:  
210
35
, '
a
d AC A I AF  
0.25 
Cõu 7 
 3;4KH  , Chứng minh IA ⊥ HK. 
Phương trỡnh IA: 
 
 
 
1;2 1 4
:
2 3 co 4; 3
I IA x t
IA t R
y tIA vtcp u
   
  
   
0.25 
x
30°
I
C
B
A' C'
B'
A
E
F
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
17 
Lấy  
2
1 4 ;2 3 ,
3
A t t IA t    
 2 2
1( )
5 16 9 25 3;5
1
t loai
IA R t t A
t

         
• AB:
 
 
0; 1
: 2 1 0
 co vtcp 3 1; 2
K AB
AB x y
AB KA
  
   
  
•AC:. 
 
 
3;3
: 3 12 0
 co vtcp 2 3; 1
H AC
AC x y
AC HA
 
   
  
•BH: . 
 3;3
:3 6 0
H BH
BH x y
BH AC
 
   

•CK:. 
 0; 1
: 2 2 0
K CK
CK x y
CK AB
  
   

0.25 
•Tọa độ B BH AB  thỏa  
3 6
1; 3
2 1
x y
B
x y
 
 
  
•Tọa độ C CK AC  thỏa  
2 2
6;2
3 12
x y
C
x y
 

 
0.25 
•Đường trũn (C) ngoại tiếp tứ giỏc BCHK cú tõm 
7 1
;
2 2
J
 
 
 
 trung điểm BC, bỏn 
kớnh 
25
2 2
BC
R   
• ậy (C):
2 2
7 1 25
2 2 2
x y
   
      
   
0.25 
Cõu 8 
Do  1 2 ;6 ;3 ,H d H t t t t     . Khi đú, ta cú  2 ; 1;3 5IH t t t    và đường 
thẳng d cú vectơ chỉ phương  2; 1;3u   . 
Mặt khỏc vỡ H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I lờn đường thẳng d nờn ta cú 
. 0 4 1 9 15 0 1u IH t t t t         
Suy ra  3;5;3H . 
0.25 
Theo tớnh toỏn phần trờn ta cú  2; 2; 2 2 3IH IH     . 
Lại vỡ tam giỏc IMN cõn tại I nờn ta cú . 2 6009 2003IMNS IH HM HM    . 
0.25 
Từ đú, suy ra mặt cầu (S) cú bỏn kớnh 
   
2 2
2 2 2 3 2003 2015R IM IH HM      
0.25 
Vậy phương trỡnh mặt cầu (S) cú dạng:      
2 2 2
1 7 5 2015x y z     
0.25 
Cõu 9 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
18 
- Gọi  là tập hợp tất cả cỏc cỏch lấy ra 3 viờn bi trong số 12 viờn bi. 
Ta cú: 312 220.C   
- Gọi A là biến số “lấy được 3 viờn bi màu đỏ”. Số cỏc cỏch lấy ra 3 viờn bi màu đỏ 
trong 7 viờn bi màu đỏ là 37 35.A C   
0.25 
- Vậy xỏc suất P(A) để lấy ra được 3 viờn bi màu đỏ là :
35 7
( ) .
220 44
A
P A

  

0.25 
Cõu 10 
 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta cú 
2
1 1
2 2
yz x x
x y zx yz x yz
   
  
 (1) 
0.25 
Tương tự ta cú 
2
1 1
2 2
zx y y
x y zy zx y zx
   
  
 (2) 
2
1 1
2 2
xy z z
x y zz xy z xy
   
  
 (3) 
0.25 
Cộng 3 bất đẳng thức cựng chiều (1), (2), (3) ta được 
 2 2 1P P   
0.25 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z. 
Vậy Max P = 1 khi x = y = z. 
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
19 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 24 
Cõu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số   3 23 1y x x 
 a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho. 
 b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm cú tung độ 1y  . 
Cõu 2: (1,0 điểm) 
 a) Giải phương trỡnh: 
1 cos (2cos 1) 2 sinx
1
1 cos
x x
x
  


 b) Cho số phức z thỏa món hệ thức: (1 2 ) (2 3 ) 2 2i z i z i      . Tớnh mụ đun của z. 
Cõu 3: (0,5 điểm) Giải phương trỡnh: 
2log (9 2 ) 3
xx   . 
Cõu 4: (1,0 điểm) Giải phương trỡnh: 2 2(4 7) 2 10 4 8x x x x x      
Cõu 5: (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn: 
ln 2 2
0 1
x
x
e
I dx
e


 
Cõu 6: (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B, 
AB BC a  , 2CD a , SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và SA a . Tớnh thể tớch khối chúp 
S.ABCD và khoảng cỏch từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). 
Cõu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC biết đỉnh B(2; –1), 
đường cao qua A cú phương trỡnh d1: 3x – 4y + 27 = 0, phõn giỏc trong gúc C cú phương trỡnh d2: 
x + 2y – 5 = 0. Tỡm toạ độ điểm A. 
Cõu 8: (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0;0; 3), (2;0; 1)A B  và mặt 
phẳng ( ) :3 1 0P x y z    . Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm nằm trờn đường thẳng AB, bỏn 
kớnh bằng 2 11 và tiếp xỳc với mặt phẳng (P). 
Cõu 9: (0,5 điểm) Từ cỏc chữ số 1;2;3;4;5 cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn cú năm chữ số, 
trong đú chữ số 3 cú mặt đỳng ba lần, cỏc chữ số cũn lại cú mặt khụng quỏ một lần. Trong cỏc số 
tự nhiờn núi trờn, chọn ngẫu nhiờn một số, tỡm xỏc suất để số được chọn chia hết cho 3. 
Cõu 10: (1,0 điểm) Cho cỏc số thực dương a,b,c đụi một khỏc nhau thỏa món 2a c và 
22ab bc c  . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
a b c
P
a b b c c a
  
  
. 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
20 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 24 
Cõu 1 
1a 
+ Tập xỏc định: D  
+ Giới hạn: 
 
   lim ; lim
x x
y y  2' 3 6y x x 0.25 
+ Sự biến thiờn: 
 Chiều biến thiờn:    
 
0
' 0
2
x
y
x
Suy ra hàm số nghịch biến trờn khoảng (-2;0) và đồng biến trờn cỏc khoảng ( ;-
2), (0;  ) 
 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x= -2; yCĐ= 5, đạt cực tiểu tại x=0; yCT=1 
0.25 
 Bảng biến thiờn: 
x - -2 0 + 
y’ + 0 - 0 + 
y 5 + 
 - 1 
0.25 
+ Đồ thị (C) 
f(x)=x^3+3x^2+1
x(t)=-2, y(t)=t
f(x)=5
x(t)=1, y(t)=t
x(t)=-3, y(t)=t
f(x)=1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
0.25 
1b 
Hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trỡnh   3 23 1 1x x . Suy ra 
0 00; 3x x   
0.25 
Suy ra hệ số gúc của tiếp tuyến là: '(0) 0; '( 3) 9y y   0.25 
Phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại điểm (0;1) là: y=1 0.25 
Phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3;1) là: y=9x+28 0.25 
Cõu 2 
2a 
Điều kiện: cos 1 2 ,x x k k    
Với điều kiện trờn phương trỡnh đó cho tương đương: 
21 cos (2cos 1) 2 sinx 1 cos 2sin 2 sin 2 0x x x x x         
0.25 
2 5
sin , ; ,
2 4 4
x x k k x k k
 
           (thỏa điều kiện) 0.25 
2b 
Gọi z=x+yi  ,x y R . Phương trỡnh đó cho trở thành: 
     1 2 2 3 2 2i x yi i x yi i        
        2 2 2 3 3 2 2 2x y x y i x y x y i i           
    3 5 2 2x y x y i i       
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
21 
3 5 2 1
2 1
x y x
x y y
    
  
     
Do đú 2 21 1 2z    
0.25 
Cõu 3 
Điều kiện: 9 2 0x  . Phương trỡnh đó cho tương đương: 
3
2log (9 2 ) 3 9 2 2
x x xx       
0.25 
2
2 1 08
9 2 2 9.2 8 0
32 2 8
x
x x x
x x
x
x
  
           
 (thỏa điều kiện) 0.25 
Cõu 4 
 Điều kiện: 2x   , bất phương trỡnh đó cho tương đương: 
 2 2(4 7) 2 2(4 7) 2 ( 2) 4x x x x x x         
2(4 7)( 2 2) 2( 2 2)( 2 2)x x x x x         
0.25 
2 2
2 2
4 7 2 2 4 4 ( 2) 2 2 1
(2 ) ( 2 1) ( 2 1 2 )( 2 1 2 ) 0
x x x x x x
x x x x x x
           
           
 0.25 
2 2 1
2 2 1
x x
x x
   
 
   
 hoặc 
2 2 1
2 2 1
x x
x x
   
 
   
2 1x    hoặc 
5 41
8
x

  
0.25 
Vậy tập nghiệm  
5 41
2; 1 ;
8
T
 
      
 
 0.25 
Cõu 5 
Đặt 21 1 2x x xt e t e tdt e dx       
0 2, ln 2 3x t x t      
0.25 
3 32
2
2 2
( 1)2
2 ( 1)
t tdt
I t dt
t

    0.25 
3
3
2
2 2
2
3 3
t
t
 
   
 
 0.5 
Cõu 6 
Kẽ đường thẳng qua C và song song với 
AB cắt AD tại E. 
Ta cú: AE BC a  ; DE=
2 2(2 ) 3DE a a a   
Suy ra diện tớch hỡnh thang ABCD là: 
  21 2 3
2ABCD
S a 
0.25 
Vậy:  3.
1 1
. 2 3
3 6
S ABCD SABCDV SAS a   0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
22 
 ỡ AD//(SBC) nờn ( ,( )) ( ,( ))d D SBC d A SBC 
Kẻ AI vuụng gúc SB tại I, chứng minh được AI vuụng gúc (SBC). 
Nờn ( ,( ))d A SBC AI 
0.25 
Trong tam giỏc SAB vuụng tại A cú AI là đường cao nờn: 
2 2 2
1 1 1
AI SA AB
  Suy 
ra:  
.
2
SAAB a
AI
SB
0.25 
Cõu 7 
Đường thẳng BC cú vectơ phỏp tuyến là:  4;3n  . Suy ra phương trỡnh đường 
thẳng BC là: 4 3 5 0x y   .Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trỡnh: 
4 3 5 0 1
( 1;3)
2 5 0 3
x y x
C
x y y
     
   
    
0.25 
 Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2. Suy ra 
phương trỡnh BB’: 
2 1
1 2
 

x y
2 5 0   x y 
 Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 
2 5 0 3
(3;1)
2 5 0 1
    
  
    
x y x
I
x y y
0.25 
 ỡ I là trung điểm BB’ nờn: '
'
2 4
(4;3)
2 3
  

  
B I B
B I B
x x x
B
y y y
Đường AC qua C và B’ nờn cú phương trỡnh: y –3 =0. 
0.25 
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
3 0 5
( 5;3)
3 4 27 0 3
    
   
    
y x
A
x y y
 0.25 
Cõu 8 
Đường thẳng AB đi qua A(0;0;-3) cú TCP (2;0;2)AB  
Nờn phương trỡnh tham số của đường thẳng AB là:
2
0
3 2
x t
y
z t



   
Gọi I là tõm của mặt cầu thỡ I(2t;0;-3+2t). 
0.25 
Mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi: 
 6 3 2 1
( ;( )) 2 11 2 11
11
t t
d I P
   
   
0.25 
9
4 4 22 2
4 4 22
4 4 22 13
2
t
t
t
t
t

 
           

 0.25 
9
(9;0;6)
2
t I  . Phương trỡnh mặt cầu 2 2 2( ) : (x 9) (z 6) 44S y     
13
( 13;0; 16)
2
t I     Phương trỡnh 2 2 2( ) (x 13) (z 16) 44S y      
0.25 
Cõu 9 
Gọi 1 2 3 4 5a a a a a là số tự nhiờn cần tỡm, 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a thuộc  1;2;3;4;5 
Sắp chữ số 3 vào ba vị trớ, cú 35 10C  (cỏch) 
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
23 
Cũn lại hai vị trớ, 4 chữ số. Chọn hai chữ số xếp vào hai vị trớ đú, cú 2
4 12C  
(cỏch) 
Vậy khụng gian mẫu