Đề thi thử môn toán 9 thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút.
Đề 1.
Bài 1. (2đ) Cho biểu thức 
 a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
 b) Với giá trị nào của x thì A > 
 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2. (2đ) cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện 
Bài 3. (1.5đ) Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.
Bài 4. (4đ)
Bài 5. (0.5đ) Cho a c 0 ; b c CMR: + 
----------------------------------------------------------------------------------------------
Đề 2.
Bài 1. Cho biểu thức 
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P	
b) Tìm các giá trị của x để P = 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
Bài 2.Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0 
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m để đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 3.Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho 
vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?
Bài 4.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) .M là điểm di động trên cung lớn BC , từ M dựng đường vuông góc với AB ,BC và AC lần lược tại H, K ,P .Chứng minh : 
a) BKMH nội tiếp 
b) Tam giác MHK đồng dạng tam giác MAC 
c) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK đạt giá trị lớn nhất 
 Bài 5.Cho a2+b2 2 . CMR : -2 
Đề 3.
Bài 1. Cho biểu thức: 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D < -
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 2.Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0
	a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
	b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại
	c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 
Bài 3.Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng 18. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 54. Tìm số ban đầu.
Bài 4.Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B .Người ta kẻ trên nữa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc AB ,trên tia Ax lấy một điểm I .Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K .Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P .Chứng minh : 
a) Tứ giác CPKB nội tiếp 
b) AI.BK = AC .CB c) Tam giác APB vuông 
d) Giả sử A,B I cố định .Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho S ABKI lớn nhất 
Bài 5.Cho x , y , z > 0 vµ x+y+z=1 CMR: x+y 
Đề 4.
Bài 1. Cho biểu thức: 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2. Cho phương trình: 
a) Giải phương trình với m = -1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Bài 3.Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225 m2. Tính kích thước của hình chữ nhật đó
Bài 4. Cho ( O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn .Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC và cát tuyến AMN tới đường tròn ( B,C,M,N nằm trên đường tròn và AM < AN ) .Gọi D là trung điểm của MN , E là giao điểm thứ hai của đường thẳng CD với đường tròn 
a) CM: 5 điểm A,B,O,D,C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO 
b) CM: BE // MN 
c) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AEN lớn nhất 
Bài 5.Cho a,b,c>0 . CMR: kh«ng lµ sè tù nhiªn
Đề 5.
Bài 1. Cho biểu thức 
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài 2. Cho phương trình: 	
a) Giải phương trình với m = -1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Bài 3.Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 4.Cho tam giác đều ABC cạnh a .Từ một điểm M trên đoạn BC vẽ đường thẳng song song AB cắt AC tại F , cũng từ M vẽ đường thẳng song song AC cắt AB tại E 
a) chứng minh : tứ giác A F M B nội tiếp 
b) Chứng minh : BF = CE 
c) Xác định vị trí của M trên đoạn BC để diện tích tam giác MEF bằng (đơn vị diện tích) 
Bài 5.Cho a,b,c>0 ; a b . CMR : a +
Đề 6.
Bài 1. Cho biểu thức 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 2.Cho phương trình: 
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
Bài 3.Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Bài 4.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong ( O;R ) .Gọi AI là đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC ( D khác A và C ) 
a) Tính cạnh của tam giác ABC theo R và chứng tỏ AI là phân giác góc BAC 
b) Trên tia DB lấy đoạn DE = DC ,chứng minh tam giác CDE đều và DI vuông góc CE 
c) Tìm Tập hợp các điểm E khi D di động trên cungnhỏ AC của đường tròn (O)
d) Tính theo R diện tích tam giác ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC 
Bài 5.Cho . CMR: 
Đề 7.
Bài 1. Cho biểu thức: 
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P	b) Tìm x để P > 0
Bài 2.Cho phương trình: 
a) Giải phương trình với m = 0
b) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
Bài 3.:  Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
Bài 4.Cho tam giác ABC ( AC = BC ) nội tiếp trong đường tròn (0) có đường kính CD = 2R , lấy một điểm M trên cung nhỏ BC ( M B ,M C ) ,trên tia AM lấy điểm E sao cho ME = MB ( M nằm giữa A và E ) 
a) Chứng minh MD // BE 
b) Kéo dài CM cắt BE tại I .Chứng minh BI = IE suy ra CA = CB = CE 
c) CMR : MA + MB CA + CB 
d) Giả sử cung AB = 1200 ,Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho CA = CN. Tìm điểm K trên ND ( theo R ) để tam giác NEK vuông tại E 
Bài 5.Cho a,b,c>0 vµ a+b+c =1. CMR : 
Đề 8.
Bài 1. Cho biểu thức 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 2.Cho phương trình: 
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
Bài 3.Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi
Bài 4.Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường cao AH .Đường tròn tâm 0 đường kính AH cắt AB và AC lần lược tại E và F ( E A, F A) .Gọi M,N,P lần lược là trung điểm các đoạn thẳng OH ,BH và CH 
Chứng minh: a) AHF = ACB b) Tứ giác BE FC nội tiếp 
 c) Điểm M là trực tâm tam giác ANP 
d) Chứng minh rằng nếu S ABC = 2 S AEHF thì tam giác ABC vuông cân
Bài 5.Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm ,hình nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó.
Đề 9.
Bài 1. Cho biểu thức: 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
b) Tìm x để P <.
Bài 2.Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0
	a ) Tìm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phân biệt
	b) Tìm m để 
c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m 
Bài 3.Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã định. Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên mỗi ngày xí nghiệp sản xuất nhiều hơn mức dự kiến 1 tấn; chẳng những rút ngắn thời gian dự định 1 ngày mà còn sản xuất thêm 10 tấn ngoài kế hoạch. Hỏi thời gian dự kiến bao nhiêu ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm ra bao nhiêu tấn dụng cụ ?
Bài 4.Cho đường tròn (0;R) đường kính AB .Gọi Clà một điểm bất kì thuộc đường tròn đó ( C khác A và B ) , M và N lần lược là các điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC ,các đường thẳng BN , AC cắt nhau tại I , các dây cung AN và BC cắt nhau ở P 
a) chứng minh ICPN nội tiếp , xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp đó 
b) chứng minh KN là tiếp tuyến ( 0;R)
c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (0;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 
Bài 5.Tính tích số với a b 
	P = ( a + b )( a2 + b2 ) )( a4 + b4) ................
Đề 10.
Bài 1. Cho biểu thức 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P < 
Bài 2.Giải và biện luận phương trình theo tham số m
Bài 3.Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân đều các phòng. Nếu xếp mỗi phòng thi thêm 4 thí sinh thì số phòng thi sẽ giảm đi 2 phòng. Hỏi lúc đầu mỗi phòng thi dự định xếp bao nhiêu thí sinh ?
Bài 4.Từ điểm S ở ngoài đường tròn (0) .Kẻ hai tiếp tuyến SA,SB tới đường tròn ( A,B là tiếp điểm ) .Đường thẳng qua S cắt đường tròn (0) tại D và E ( D nằm giữa S và E ) dây DE không qua tâm (0) .Gọi H là trung điểm của DE ; SE cắt AB tại K 
a) chứng minh: SA0B nội tiếp 
b) chứng minh : HS là tia phân giác của góc AHB 
c) chứng minh : 
Bài 5.Cho a+b+c = 0 , x+y + z = 0 và .Chứng minh : a x2+by2 + cz2 = 0 
Đề 11.
Bài 1. Cho biểu thức : Q = (
 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q. 
 b) Tìm a để Q dương. 
 c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4
Bài 2.Cho phương trình bậc hai (m2 – 4)x2 – 2( m – 2)x + 1 = 0
	a ) Giải phương trình với m = 3
	b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 
Bài 3.Cho hai số, số này gấp ba lần số kia. Nếu ta thêm 1 vào mỗi số thì tổng nghịch đảo của chúng bằng ¾ . Tìm hai số đó?
Bài 4.Cho tam giác ADC vuông tại D có đường cao DH .Đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AD tại điểm M (M#A); Đường tròn tâm O/đường kính CH cắt cạnh DC tại điểm N ( N#C ) . Chứng minh :
 1, Tứ giác DMHN là hình chữ nhật .
 2,Tứ giác AMNC nội tiếp tronh một đường tròn 
 3 , MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kính OO/ .
Bài 5.Cho hai số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện : a+b=2016 Tìm giá trị lớn nhất của tích ab .
Đề 12.
Bài 1. Cho biểu thức : M = 
 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M
 b) Tìm giá trị của a để M = - 4.
Bài 2. 1, Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 21cm , AC = 2cm. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố định , ta được một hình nón . Tính thể tích hình nón đó .
Bài 3.Tìm 5 số nguyên dương liên tiếp biết rằng tổng bình phương của hai số lớn nhất bằng tổng bình phương của 3 số còn lại.
Bài 4.Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O).
Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh góc AOC=góc BIC
Chứng minh BI//MN.
Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài 5.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= 
Đề 13.
Bài 1. Cho biểu thức 
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
Bài 2.Cho phương trình : 
 1 , Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
 2, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào m
Bài 3.Khi nhân hai số tự nhiên hơn kém 10 đơn vị, một học sinh đã làm sai, nên trong kết quả số hàng chục thiếu đi 3. Biết rằng nếu đem kết quả sai đó chia cho số nhỏ hơn trong hai số ban đầu sẽ được thương là 25 và số dư là 4. Tìm hai số đó.
Bài 4.Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong của góc BAC cắt đoạn BC tại D, cắt đường tròn tại M, đường phân giác ngoài của góc BAC cắt đường thẳng BC tại E, cắt đường tròn tại N. Gọi K là trung điểm của DE.
	Chứng minh rằng:
	a, MN vuông góc với BC tại trung điểm I của BC.
	b, Góc ABN = góc EAK
	c, KA là tiếp tuyến của đường tròn(O)
Bài 5.Cho đoạn thẳng AB cố định có độ dài bằng a trong mặt phẳng chứa đoạn AB lấy điểm M thay đổi , đặt MA = b, MB = c. CMR:
	Đẳng thức xảy ra khi nào?
Đề 14.
Bài 1. Cho biểu thức: với a > 0 và a1.
 a) Rút gọn biểu thức P.
 b) Với những giá trị nào của a thì P > .
Bài 2.Cho phương trình:
	a, Giải phương trình với m = 2
	b, Cmr: phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị cuả m
	c, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 3x1- 4x2= 1
Bài 3.Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài  1cm. Nếu tăng thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?
Bài 4.Cho hệ phương trình
	1. Giải hệ phương trình với n = m = 1
	2. Tìm giá trị của n và m để x = 2; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình
Bài 5.Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Đề 15.
Bài 1. Cho biểu thức : A = với ( x > 0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức khi 
Bài 2.Cho hệ phương trình
	1. Giải hệ phương trình với n = m = 1
	2. Tìm giá trị của n và m để x = 2; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình
Bài 3.Một hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu bớt mỗi chiều đi  5 mét thì diện tích chỉ còn 1276m2. Tìm độ dài mỗi chiều?
Bài 4.Cho đường tròn tâm O, đường kính EF; BC là một dây cung cố định vuông góc với EF; A là điềm bất kỳ trên cung BFC 
	1/ CM: AE là phân giác của góc BAC.
	2/ Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB
	CM: BD// AE
	3/ Gọi I là trung điểm của BD. CM: I, A, F thẳng hàng.
	4/ M là điểm bất kỳ trên dây cung AB sao cho (k không đổi), qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với AC. Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC thì đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5.Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn: abc = 1
	Tìm giá trị nhỏ nhất của M = a + b + c + ab + ac + bc
Đề 16.
Bài 1. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 2.Cho phương trình : x2 - ax + a +b = 0 ( a; b là tham số)
	1/ Giải phương trình với a = 7; b = 3.
	2/ Tìm giá trị của a và b để x1 = 2 và x2 = 5 là 2 nghiệm của phương trình
Bài 3.Một người đi theo chiều dài của một công viên hình chữ nhật thì mất hết 1 phút 5 giây và nếu đi theo chiều rộng công viên thì mất hết 39 giây. Người ta làm một lối đi xung quanh công viên rộng 1,5m, như thế bồn cỏ còn lại là 5529m2. Tính các chiều của công viên?
Bài 4.Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R . Gọi C là trung điểm của đoạn OA, D là điểm nằm trên đường tròn sao cho BD = R. Đường trung trực của đoạn OA cắt AD tại E và BD tại F:
	1/ Tính góc 
	2/ Tính độ dài các đoạn: AE; EC và theo R
	3/ CM: 
	4/ CM: 
	5/ Một điểm M nằm trên đường tròn. CMR: Khi M thay đổi trên đường tròn thì trung điểm I của đoạn MD chạy trên một đường tròn cố định , sác định tâm và bán kính đường tròn đó.
Bài 5.Chứng minh bất đẳng thức:
Đề 17.
Bài 1. Cho biểu thức : A = 
 1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
 2) Với giá trị nào của x thì A < -1
Bài 2.Giải phương trình
Bài 3.Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn là 0,2g/cm3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 0,7g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng?
Bài 4.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn , đường thẳng d tiếp súc vời nửa đường tròntại M và cắt đường trung trựccủa AB tại I. Đường tròntâm I tiếp súc với AB và cắt đường thẳngd tại E và F (F nằm trong góc ).
 a/Chứng minh OE và OF theo thứ tự là phân giác của
	b/ Chứng minh: EA. EB= R2
	3/ Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để diịen tích tứ giác AEFB nhỏ nhất
Bài 5.Cho a , b , c > 0 CMR : ++ 2(+-) 
Đề 18.
Bài 1. Cho biểu thức : A = (Với ) 
 a) Rút gọn A
 b) Tìm x để A = - 1
Bài 2.Cho phương trình 
a) Giải phương trình 
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài 3.Một miếng kim loại nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là 10cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn là 1g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi khối kim loại?
Bài 4.Cho hai đường tròn (O) và (O’), tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D Î (O), E Î (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE tại I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, M là giao điểm của O’I và AE. 
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? 
b) Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’ 
c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE 
d) Tính DE biết OA = 5cm; O’A = 3,2cm
Bài 5.Tìm giá trị của x để biểu thức: M = đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
Đề 19.
Bài 1. Cho biểu thức : B = 
 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B. 
 b) Tính giá trị của B với x = 3 
 c) Tính giá trị của x để 
Bài 2.Cho phương trình gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình 
1) Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
 a) ; b) 
2) Xác định phương trình bậc hai nhận và là nghiệm
Bài 3.Hai người đi xe đạp cùng khởi hành tại một địa điểm về hai hướng vuông góc với nhau. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Tìm vận tốc của mỗi người. Biết rằng vận tốc của người này hơn vận tốc người kia là 6km/h.
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
Bài 4.Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn: BH = 4cm; CH = 9cm. Gọi D, E theo thứ tự đó là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE?
b) Chứng minh đẳng thức AE.AC = AD.AB?
c) Gọi các đường tròn (O), (M), (N) theo thứ tự ngoại tiếp các tam giác ABC, DHB, EHC. Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn: (M) và (N); (M) và (O); (N) và (O)?
d) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M) và (N) và là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN?
Bài 5.Cho b, c là hai số thoả mãn hệ thức: 
	Chứng minh rằng trong hai phương trình dưới đây có ít nhất một phương trình có nghiệm: ax2 + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0
Đề 20.
Bài 1. Cho biểu thức : P = 
 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P
 b) Tìm x để P = 2 
Bài 2.Cho phương trình gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình 
1) Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
 a) ; b) 
2) Xác định phương trình bậc hai nhận và là nghiệm
Bài 3.Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 4.Cho tam giac ABC có góc A tù, đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng d quay quanh A cắt (O) và (O’) thứ tự tại M và N sao cho A nằm giữa M và N.
Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
Chứng minh tỉ số HM: HN không đổi.
Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh A, H, K, I cùng thuộc một đường tròn và I chạy trên một cung tròn cố định.
Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BMNC lớn nhất.
Bài 5.Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. CMR : 
 víi p =
Gợi ý giải
A
C
D
B
O
H
A
B
C
D
O≡H
h.6
h.7
Hình có diện tích lớn nhát:
Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo . Kẻ BH ^ AC .
 Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH
Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :
SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2)
SABCD = 24 cm2 Û BH ≡ BO Û H ≡ O Û BD ^AC
Vậy max SABCD = 24 cm2 . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2.
VÝ dô 1: CMR víi mäi x , y ta cã :
a) + b) x2+y2+1 xy + x + y c) x4+y4 xy3+x3y
Gi¶i: a) Ta cã + - = = 0 
VËy + dÊu b»ng xÈy ra khi 
b) Ta cã : x2+y2+1 -(xy + x + y) = (2x2+2y2+2-2xy-2x-2y) 
 =0
DÊu b»ng xÈy ra khi x=y=1 VËy x2+y2+1 xy +x +y
c) Ta cã: x4+y4 - ( xy3+x3y) = (x-y)2 0
DÊu b»ng xÈy ra khi x=y VËy x4+y4 xy3+x3y
VÝ dô 2: Cho a< b < c < d h·y xÕp x,y,z theo thø tù t¨ng dÇn nÕu:
 x=(a+b)(c+d) ; y=(a+c)(b+d) ; z=(a+c)(b+d)
HD : XÐt y -x > 0 y > x vµ z - y > 0 z > y 
 VËy x< y < z
2) Ph­¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu
 A B vµ B C th× A C L­u ý : 0 x 1 th× x2 x
VÝ dô 1: Cho 0 x , y ,z 1 CMR:
a) 0 x+ y + z - xy - yz - xz 1 ; b) x2+y2+z2 1+x2y+y2z+z2x
Gi¶i: a) Ta cã x+y+z -xy -yz -xz = x(1-y) +y(1-z) + z(1-x) 0 (1) 
Mµ (1-x)(1-y)(1-z) = 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz 0
 x+y+z-xy-xz-yz 1-xyz 1( v× x,y,z 0) (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: §PCM
b) Ta cã x2+y2+z2-x2y-y2z-z2x 
 = x2(1-y) +y2(1-z) +z2(1-x)
 x(1-y) + y(1-z) +z(1-x) ( v× x x ; y y ; z z )
 = x+y+z-xy-yz-xz 1 (tõ c©u a) VËy x2+y2+z2 1+x2y+y2z+z2x
VÝ dô 2: CMR víi mäi x > ; y > ta cã : x4-x3y+x2y2-xy3+y4> x2+y2
Gi¶i: ta cã : x4-x3y+x2y2-xy3+y4=
V× x ; y > nªn x2>2 ; y2 > 2 do ®ã x5+y5=x2x3+y2y3 > 2(x3+y3)
Suy ra : > =2(x2-xy+y2) (1)
Mµ : 2(x2-xy+y2)-(x2+y2) =(x-y)2 0 nªn 2(x2-xy+y2)x2+y2 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : §PCM
3) Ph­¬ng ph¸p 3: Dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng
VÝ dô 1: Cho a , b , c > 0 CMR : ++ 2(+-) (1)
Gi¶i: ++ 2( )
 a2+b2+c2 2(bc+ac-ab) (v× a , b , c > 0 )
 (a+b-c)2 0 ®óng vËy (1) ®óng
VÝ dô 2: Cho a c 0 ; b c CMR: + (1)
Gi¶i: Ta cã : + 
 (+)2 ab
 c(a-c) +c(b-c) + 2 ab
 c2-2c + (a-c)(b-c) 0
 ( c- )2 0 ®óng vËy (1) ®óng
4) Ph­¬ng ph¸p 4: Sö dông bÊt ®¼ng thøc phô
C¸c bÊt ®¼ng thøc th­êng dïng: 
x+y 2 ; x+y 2xy ; (x+y)2 4xy
VÝ dô 1: Cho a2+b2 2 . CMR : -2 
Gi¶i: Ta cã a2+b2 2ab mµ a2+b2 2 nªn 2ab 2 hay ab 1
Do ®ã: (a+b)2=a2+b2+2ab 4 vËy : -2
VÝ dô 2: Cho x , y , z > 0 vµ x+y+z=1 CMR: x+y 
Gi¶i:Tõ 4xy (x+y)2 ta cã : 16xyz 4z(x+y)2 (1)
Ta cÇn chøng minh 4z(x+y)2 x+y
ThËt vËy: 4z(x+y)2 x+y 4z(x+y) 14x(1-z) 1 (2z-1)2 0 ®óng
VÝ dô3: CMR: 2 víi mäi x
Gi¶i: ¸p dông B§T x+2 ta cã: =
VÝ dô 4: Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. CMR : 
 víi p =
Gi¶i: ¸p dông B§T : víi x>0,y>0 ta cã:
 céng vÕ víi vÕ ta cã:
5) Ph­¬ng ph¸p 5: Ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng
VÝ dô: Cho 6 sè tù nhiªn nhá h¬n 108 . CMR cã thÓ chän ra ®­îc 3 sè trong 6 sè ®ã ch¼ng h¹n a,b,c sao cho a <bc , b< ca , c< ab
Gi¶i: Gi¶ sö 6 sè ®ã tho¶ m·n 1nªn
Víi 3 sè bÊt k× x , y , z tho¶ m·n 1 ta lu«n cã x<yz vµ y<xz
NÕu trong 6 sè kh«ng cã 3 sè a , b , c nµo tho¶ m·n a<b<c vµ c<ab th× ta cã:
aa.a; aa.a. Khi ®ã a, tr¸i víi gi¶ thiÕt a<108
VËy ph¶i cã 3 sè a,b,c tho¶ m·n a<bc ; b<ca ; c<ab
6) Ph­¬ng ph¸p 6: Ph­¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè
* víi a,b,c>0 th× : 
a) nÕu <1 th× b) nÕu th× 
* nÕu b,d>0 th× : 
VÝ dô 1: Cho a,b,c>0 . CMR: kh«ng lµ sè tù nhiªn
Gi¶i: Ta cÇn chøng minh 1
Ta cã: ( v× c>0 vµ )
 1 < <2
VÝ dô 2: Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . CMR: 
a2+b2+c2 <2(ab+bc+ca)
Gi¶i: Ta cã: 0<a<b+c a2< ab+ac t­¬ng tù b2<ab+ac ; c2<ac+bc
a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc)
7) Ph­¬ng ph¸p7: Ph­¬ng ph¸p dïng B§T CauChy , Bunhiacopxki
* (víi a) dÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi a==a
* dÊu '=' xÈy ra khi vµ chØ khi 
VÝ dô 1: Cho a,b,c>0 ; a b . CMR : a +
Gi¶i: Ta cã : a+
VÝ dô 2: Cho a,b,c>0 vµ a+b+c =1. CMR : 
Gi¶i: Tõ a+b+c=1
T­¬ng tù ; 
VÝ dô 3: Cho . CMR: 
Gi¶i: ¸p dông B§T bunhiacopxki cho 6 sè lµ: 1;2;3;a,b,c ta cã: