Đề thi thử - Kỳ thi thpt quốc gia năm 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút ( không tính thời gian phát đề)

SỞ GD - ĐT TP. ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN
-------------------------------------------------------------------
(Ngày thi: 12/5/2015)
ĐỀ THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ( không tính thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2( ) 3 2y f x x x    .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 0x , biết  0'' 3f x   .
Câu 2. (1,0 điểm)
1) Giải phương trình  22 1 2 2cosx sinx cosx sinx    .
2) Tìm số phức z sao cho (1 2 )i z là số thuần ảo và 2. 13z z  .
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình  23 1
3
log (5 3) log 1 0x x    .
Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình 22
3 11 11
x
xx
   .
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân  4
1
( 1)I x ln x dx   .
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật và SA = AB = 2a.
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh AB, mặt bên (SCD)
hợp với đáy một góc 060 . Hai đường thẳng MC và BD cắt nhau tại I. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (2; 2)A  , trọng tâm  0;1G và
trực tâm 1 ;12H
    . Tìm tọa độ của các đỉnh B, C và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm (1; 2; 3)A  , đường thẳng
1 2 3: 2 1 1
x y zd     và mặt phẳng ( ) : 2 2 4 0P x y z    . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên mặt phẳng tọa độ (Oyz) và B là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Viết phương
trình mặt phẳng ( )Q đi qua H và vuông góc với đường thẳng d. Tính diện tích mặt cầu đường
kính AB.
Câu 9. (0,5 điểm) Một hộp có 5 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu vàng và 8 viên bi màu xanh. Cùng
một lần lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm xác suất sao cho trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào
là màu đỏ.
Câu 10. (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn 0xy yz zx xyz    . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 22 2 2x y y z z xF xy yz zx
     .
---------------HẾT--------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................................................................số báo danh:............................................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2015
(GỒM 4 TRANG)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2( ) 3 2y f x x x    .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. (1 điểm)
Hàm số 3 2( ) 3 2y f x x x    .
 Tập xác định: R
 Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: 2y ' f '(x) 3x 6x, y ' 0 x 0; x 2      
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0 và  2; ; nghịch biến trên khoảng  0;2
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, CDy 2 , đạt cực tiểu tại x = 2 CT, y 2
+ Giới hạn: lim ; lim
x x
y y    
0,25
+ Bảng biến thiên (đầy đủ, đúng) 0,25
 Đồ thị: 0,25
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)...........................(1 điểm)
Gọi M 0 0( ; )x y là tiếp điểm.
0 0 0
1''( ) 6 6. ''( ) 3 6 6 3 2f x x f x x x          0,25
0
1 11
2 8y f
     ;
1 9' 2 4f
     0,25
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: 9 1 114 2 8y x
       ; 0,25
Hay là: 9 54 2y x   0,25
Câu 2. (1,0 điểm) 1) Giải phương trình  22 1 2 2cosx sinx cosx sinx    .(0,5 điểm)
 22 1 2 2 2 0 ( 2)(1 2 ) 0 (*)PT cosx sinx cos x cosx sinx cosx sin x           0,25
Do 2 0cosx   nên (*) 1 2 0 2 1 .4sin x sin x x k
           0,25
2) Tìm số phức z sao cho (1 2 )i z là số thuần ảo và 2. 13z z  (0,5 điểm)
Giả sử ( , )z a bi a b R   , khi đó (1 2 ) (1 2 )( ) ( 2 ) (2 )i z i a bi a b a b i       
(1 2 )i z là số thuần ảo 2 0 2a b a b     0,25
22. 3 2 3 13 13 1z z a bi b bi b b         
Có hai số phức thỏa mãn đề bài: 2z i  ; 2z i   0,25
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình  23 1
3
log (5 3) log 1 0x x    .
Điều kiện: 35x  , biến đổi được    2 21 33log 1 log 1x x    0,25
Với điều kiện trên, PT đã cho tương đương với phương trình:
 23 3log 1 log (5 3)x x   2 1 5 3x x     2 5 4 0 1; 4x x x x     
( thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1; x = 4
0,25
Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình 22
3 11 11
x
xx
   .
Điều kiện 1x  . Bất phương trình đã cho tương đương với:
0,25
2 2 2
2 22 2
1 3 31 2 0 (1)1 11 1
x x x x x
x xx x
         
Đặt
21
xt
x
  , khi đó bất phương trình (1) trở thành:
2 13 2 0 2
tt t t
      0,25
Với t < 1 thì 2
2
1 1 (2)
1
x x x
x
   
 1 0 :x   bất phương trình (2) đúng
 0 1:x  bất phương trình 2 2 2(2) 1 0 2x x x     
 Tập nghiệm của bất phương trình (2) là 1 21; 2S
     
0,25
Với t > 2 thì 2
2
2 2 1 (3)
1
x x x
x
   
 Bất phương trình (3) 2 2
0 2 5
54(1 )
x xx x
    
 Tập nghiệm của bất phương trình (3) là 2 2 5 ;15S
     
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 2 2 2 51; ;12 5S S S
                
0,25
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân  4
1
( 1)I x ln x dx   .

4 4
1 1
. ( 1).I x dx ln x dx    . 0,25

4 4 1
2
1
1 1
42 14. . ( ) 13 3I x dx x dx x x     0,25
  4 42
1 1
4( 1). ( 1) ( 1) 5ln 5 2ln 2 31I ln x dx x ln x dx          . 5 5ln5 2ln 23I    0,50
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật và SA = AB = 2a. Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh AB, mặt bên (SCD) hợp với đáy
một góc 060 . Hai đường thẳng MC và BD cắt nhau tại I. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
Từ giả thiết có SAB là tam giác đều cạnh 2a,
SM là đường cao,   3SM 2a . a 32
60
0
K
N
I
A
B C
D
M
H
S
C
0,25
Gọi N là trung điểm của CD thì có   0; ( ), ( ) 60MN CD SN CD SCD ABCD MNS    
0tan 60
SMBC MN a  
Thể tích khối chóp S.ABCD:
32 3. . . .(2 ).( ).( 3) 3
1 1 1.3 3 3ABCD
aAB BC SM a a aV S SM   
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên SN thì ( ) ( , ( ))MH SCD MH d M SCD  
2
2 2
. . 3 3
2 2
MN MS MN SM a aMH SN aMN SM
   
0,25
Từ giả thiết suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.
Kẻ IK // MH thì 2, , ( )3K CH IK MH IK SCD  
2 2 3( , ( )) . ( , ( ))3 3 3
ad K SCD IK MH d M SCD    
0,25
Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (2; 2)A  , trọng tâm  0;1G và trực tâm
1 ;12H
    .Tìm tọa độ của B, C và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
(C)
K
M
H
CB
A
I
Gọi M là trung điểm cạnh BC, ta có
3 5. 1;2 2AM AG M
     
 
3 ;32AH
    

hay  1; 2n   là pháp vectơ của đường
thẳng BC.
0,25
Phương trình : 2 6 0 2 6BC x y x y     
Vì B và C đối xứng với nhau qua M nên gọi (2 6; )B m m thì có (4 2 ; 5 )C m m  0,25
 2 8; 2AB m m   ; 7 2 ; 42HC m m
     
 . Ta có: . 0AB HC  
( 4)(5 5 ) 0 4; 1m m m m       .Vậy có (2;4), ( 4;1)B C  hoặc ( 4;1), (2;4)B C
0,25
Kẻ đường kính AK của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
Tứ giác BHCK có BH//KC và BK//HC nên BHCK là hình bình hành. Suy ra: HK và BC cắt
nhau tại M là trung điểm của BC và M cũng là trung điểm của HK.
Ta có 1 ;12H
    ,
51; 2M
   
5 ;42K
     . Bán kính
1 15
2 4R AK 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Ghi chú: Có thể tìm tọa độ tâm I của đường tròn (C) bằng hệ thức Ơ-le 2GH GI   ( Thí
sinh phải trình bày chứng minh hệ thức này). Sau đó tính R IA
0,25
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm (1; 2; 3)A  , đường thẳng
1 2 3: 2 1 1
x y zd     và mặt phẳng ( ) : 2 2 4 0P x y z    . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng tọa độ (Oyz) và B là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt
phẳng ( )Q đi qua H và vuông góc với đường thẳng d. Tính diện tích mặt cầu đường kính AB.
Hình chiếu của A trên mp (Oyz) là H(0; -2; 3). Đường thẳng d có vectơ chỉ phương (2;1;1)u 
0,25
Mặt phẳng (Q) đi qua H. Vì ( )Q d nên ( )Q nhận (2;1;1)u  làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của (Q): 2( 0) 1( 2) 1( 3) 0 2 1 0x y z x y z          
0,25
(1 2 ; 2 ; 3 )B d B t t t     . Tọa độ của B ứng với giá trị của t thỏa mãn:
2(1 2 ) (2 ) 2(3 ) 4 0 2t t t t          . Từ đó có ( 3;0;1)B 
( Hoặc giải hệ PT:
2 5 31 2 3
1 02 1 1
2 2 4 0 2(2 5) ( 1) 2 4 0 1
x z xx y z
y z y
x y z z z z z
                              
)
0,25
Mặt cầu đường kính AB có bán kính 1 62R AB  .
Diện tích của mặt cầu: 2 2( ) 4 4 ( 6) 24mcS R     (đvdt)
0,25
Câu 9.(0,5 điểm) Một hộp có 5 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu vàng và 8 viên bi màu xanh. Cùng một lần
lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm xác suất sao cho trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là màu đỏ.
Số phần tử của không gian mẫu: 320 1140C phần tử
Gọi A là biến cố: " Trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là màu đỏ", nghĩa là trong 3 viên
bi lấy ra hoặc là toàn bi vàng, hoặc là toàn bi xanh, hoặc là có cả bi xanh và bi vàng
0,25
Ta có 37C  35 cách lấy 3 viên bi vàng, có 38 56C cách lấy 3 viên bi xanh, có
2 1 1 2
7 8 7 8. .C C C C  364 cách lấy 3 viên có cả vàng và xanh.
Do đó:
3 3 2 1 1 2
7 8 7 8 7 8. . 455 91( ) 1140 1140 228
C C C C C CP A     
0,25
Cách khác gọn hơn: Gọi A là biến cố: " Trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là màu đỏ",
nghĩa là 3 viên bi được lấy ra từ 15 viên bi ( vàng và xanh). Số cách chọn 315 455C 
455 91( ) 1140 228P A  
0,25
Câu 10.(1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn 0xy yz zx xyz    . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2 2 2 2 2 22 2 2x y y z z xF xy yz zx
     .
Biến đổi:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 12.x y x yxy x y y x
    . Đặt 1 1 1, ,a b cx y z   . Giả thiết đề bài:
, , 0 , , 0
0 1
x y z a b c
xy yz zx xzy a b c
          
; và 2 2 2 2 2 22 2 2F b a c b a c     
0,25
Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên    2 2.u v u v    , với (1;1;1), ( ; ; )u v b b a   ta có:
2 2 2 2 2 2 23(2 ) 3( ) ( ) (2 )b a b b a b b a b a         2 2 12 (2 ) (1)3b a b a   
0,25
Tương tự, ta có 2 2 2 21 12 (2 ) (2); 2 (2 ) (3)3 3c b c b a c a c      0,25
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
2 2 2 2 2 2 12 2 2 (3 3 3 ) 33F b a c b a c a b c         
Đẳng thức xảy ra 1 33a b c x y z       
Kết luận: F có giá trị nhỏ nhất bằng 3
0,25
-----HẾT-----