Đề thi thử học sinh giỏi lần 9 năm học 2013 - 2014 môn toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi

SỞ GD&ĐT HOÀ BÌNH
TRƯỜNG THPT 19-5
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 9 NĂM HỌC 2013-2014
Môn TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi.
Câu I: (3,0 điểm) 	Cho hàm số có đồ thị 
Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và sao cho tam giác đều ( với là gốc tọa độ ).
Câu II: (6,0 điểm)
	1. Cho phương trình . 
 	Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thực.
	2. Giải hệ phương trình .
	 	3. Tìm nghiệm trên khoảng của phương trình: 
Câu III: (4,0 điểm)
Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính theo thể tích khối lăng trụ .
Câu IV: (4,0 điểm)
 a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: . Đường cao kẻ từ B có phương trình: , điểm thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
 b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng nằm trên một đường thẳng.
 Chứng minh rằng: 
Câu V: (3,0 điểm)
 Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 
 a) 
 b) 
----------------HẾT----------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 9
Câu 1. 
+ Phương trình hoành độ giao điểm: với 
 + Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác (đúng )
+ Gọi là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 
Giả sử , 
Khi đó ta có 
Kết hợp ta được . Suy ra cân tại 
Ta có . Tam giác đều 
 . Vậy giá trị cần tìm là 
Câu 2
1/ ĐKXĐ: . Đặt 
Ta có: 
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 
Xét hàm số với 
Ta có hàm số liên tục trên đoạn . 
Suy ra , 
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 
Suy ra giá trị cần tìm của là: 
2/ ĐKXĐ: 
( loại )
Hệ phương trình tương đương: 
PT 
Với . Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 
3/ (2) Û Û 
	Vì nên .
D
Câu 3.
+ Diện tích đáy là 
Gọi là trọng tâm tam giác 
Gọi là trung điểm . Ta có 
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng .
Do đó 
Suy ra là khoảng cách giữa hai đường thẳng và 
Tam giác vuông tại suy ra 
Xét tam giác vuông tại ta có 
Vậy (đvtt).
Câu 4.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình . Đường cao kẻ từ B có phương trình , điểm thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
Toạ độ B là nghiệm của hệ 
 Suy ra 
Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC
Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ 
 Suy ra 
Gọi I là trung điểm MN .
 Gọi E là trung điểm BC. Do tam giác ABC cân nên IE là đường trung trực BC, IE đi qua I vuông góc với BC .
 Toạ độ E là nghiệm của hệ. 
CA đi qua C vuông góc với BN suy ra 
Toạ đô A là nghiệm của hệ 
Trong mặt phẳng cho bốn điệm phân biệt A,B,C,D và không cùng nằm trên đường thẳng. Chứng minh rằng: 
Chọn hệ trục sao cho , .
Giả sử trong hệ trục đó ta có: 
 (*)
Do 
Vậy từ (*) suy ra m = 0 , hay D nằm trên trục tung.
Vậy (*)
Câu 5.
1/ , , 
Mà 
Vậy: , đẳng thức xảy ra khi 
2/ 
Tương tự: 
Vậy: 
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1