Đề thi thử học sinh giỏi lần 7 năm học 2013 - 2014 môn toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi

SỞ GD&ĐT HOÀ BèNH
TRƯỜNG THPT 19-5
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 7 NĂM HỌC 2013-2014
Mụn TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề, khụng sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi.
Cõu 1: (5,0 điểm)
1) Cho hàm số y = - x3 - 3x2 + mx + 4, trong đú m là tham số thực. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số đó cho nghịch biến trờn khoảng (0 ; + Ơ).
2) Cho hàm số . Gọi M là một điểm bất kỡ trờn đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt cỏc tiệm cận của (C) tại A, B. CMR diện tớch tam giỏc ABI (I là giao của hai tiệm cận) khụng phụ thuộc vào vị trớ của M.
Cõu II: (6,0 điểm) Giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh.
1) .
2) 
3) 
Cõu III(4, 0 điểm) 
 Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a, BC = , , . Gọi M là trung điểm SA , chứng minh . Tớnh
Cõu IV( 2,0 điểm) 
Cho đường trũn ( C) và điểm A (-2; 3) cỏc tiếp tuyến qua A của ( C) tiếp xỳc với ( C) tại M, N .Tớnh diện tớch tam giỏc AMN.
Cõu V: (3,0 điểm)
1) Cho hàm số . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng cú đỳng hai nghiệm.
2) Cho x, y là cỏc số thực thỏa món .
 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 
----------------HẾT----------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 7
Cõu 1.
1)Hàm số đó cho nghịch biến trờn khoảng (0 ; + Ơ)
Û y’ = – 3x2 – 6x + m Ê 0, " x > 0Û 3x2 + 6x ³ m, " x > 0	(*)
Ta cú bảng biến thiờn của hàm số y = 3x2 + 6x trờn (0 ; + Ơ)
Từ đú ta được : (*) Û m Ê 0.
2/ Gọi 
Tiếp tuyến tại M cú phương trỡnh: 
Giao điểm với tiệm cận đứng là 
Giao điểm với tiệm cận ngang là 
Giao hai tiệm cận I(-1; 2)
Suy ra đpcm
Cõu 2.
1/
 . PT (2) cú nghiệm .
Với t=-1 ta tỡm được nghiệm x là : .
KL: Họ nghiệm của hệ PT là:, 
2/ Giải phương trỡnh Điều kiện: 
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đó cho
Với . Đặt và biến đổi phương trỡnh về dạng 
Giải ra ta được Vậy pt cú 3 nghiệm x =1; 
S
A
B
C
M
N
Cõu 3. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = , , . 
 Gọi M là trung điểm SA , chứng minh . Tính
 Theo định lí côsin ta có: 
Suy ra . Tương tự ta cũng có SC = a.
Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ^ SA, MC ^ SA. Suy ra SA ^ (MBC).
Hai tam giỏc SAB và SAC cú ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nờn chỳng bằng nhau. Do đú MB = MC hay tam giỏc MBC cõn tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ^ BC. Tương tự ta cũng cú MN ^ SA. 
.
Do đó (đvtt)
Cõu 4. Cho đường trũn ( C) và điểm A (-2; 3) cỏc tiếp tuyến qua A của ( C) tiếp xỳc với ( C) tại M, N .Tớnh diện tớch tam giỏc AMN.
+) Ta cú (C ) cú Tõm I(1; 2) bỏn kớnh R = 3 Và dễ thấy cú một tiếp tuyến vuụng gúc với Ox và qua A là d: x= -2 
+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( -2; 3) cú hệ số gúc là k ta cú d’ y = k(x + 2) + 3
 d’ là tiếp tuyến của ( C ) úd( I, d’ ) = R ú 
+ ta cú tiếp điểm của d và (C ) là M(-2; 0), của d’ và (C ) là 
+ Ta cú AM = 3, .Vậy 
Cõu 5. 1/ Đặt khi đú
Đặt Với 
Khi đú ; 
Vậy khi . Hay khi .
1/ Cho hàm số . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng cú đỳng hai nghiệm.
Ta cú Do đú 
Hàm số là hàm đồng biến; hàm số là hàm nghịch biến vỡ . Mặt khỏc là nghiệm của phương trỡnh nờn nú là nghiệm duy nhất.
Lập bảng biến thiờn của hàm số (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trỡnh cú đỳng hai nghiệm.
Từ bảng biến thiờn ta cú 
2/