Đề thi thử đại học lần thứ II môn Toán Học Khối D - Trường Trung học phổ thông Hồng Quang

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012 
MƠN: TỐN; KHỐI: D 
Thời gian làm bài 180 phút, khơng kể thời gian phát đề 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
−
=
−
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
 2. Gọi ( )d là tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm ( )0; 1A − . Tìm trên đồ thị ( )C điểm M cĩ hồnh 
độ lớn hơn 1, sao cho khoảng cách từ M đến ( )d bằng khoảng cách từ M đến trục Oy . 
Câu II (2,0 điểm) 
 1. Giải phương trình: cos 2 sin 2 1 6 cos
4
x x x
pi 
− = − − 
 
. 
2. Giải hệ phương trình: ( )
2
2 2
2
2
11 3
x y y
x y
x
 + =


+ = −

 ( ),x y ∈ℝ . 
Câu III (1,0 điểm) 
 Tính tích phân : ( )1 2
0
ln 4 1I x x dx= +∫ 
Câu IV(1,0 điểm) 
 Cho hình lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C cĩ 

0
, 2 2 ( 0), 135AB a AC a a BAC= = > = và đường 
thẳng 1AB tạo với mặt phẳng ( )1 1BCC B gĩc 030 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp ( )1 1BCC B và thể 
tích khối lăng trụ đã cho. 
Câu V(1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm thực: 
 ( )2 25 6 7 1 2x x m x x+ + = + + 
Câu VI(2,0 điểm) 
 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD cĩ diện tích 16S = , điểm 
( )1; 4I − − là giao điểm của 2 đường chéo. Trung điểm của cạnh AB là điểm ( )3;0M . Tìm tọa độ các 
đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh A cĩ tung độ âm. 
 2. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2 1 0x y z+ − + = . Viết 
phương trình mặt phẳng ( )Q , biết rằng mặt phẳng ( )Q song song với trục Oz , vuơng gĩc với mặt phẳng 
( )P và khoảng cách giữa trục Oz và mặt phẳng ( )Q bằng 2 . 
Câu VII(1,0 điểm) 
Gọi z là nghiệm của phương trình 2 6 13 0z z− + = trên tập phức. 
Tính giá trị của biểu thức: 1A z
z i
= −
+
. 
------------------ Hết ----------------- 
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh: ............................. 
Chữ kí giám thị: ............................................. 
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
 - 2 - 
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG 
Tổ: Tốn 
----***---- 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012 
MƠN: TỐN; KHỐI: D 
 (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
1. (1,0 điểm) 
* Tập xác định: { }\ 1ℝ 
* Sự biến thiên: 
( ) ( ) ( )2
1
' 0, ;1 1;
1
y x
x
= > ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
−
⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( );1 và 1;+−∞ ∞ . 
0,25 
Cực trị: Hàm số khơng cĩ cực trị. 
Giới hạn, tiệm cận: 
1 1 1 1
2 1 2 1lim lim ; lim lim
1 1x x x x
x xy y
x x− − + +→ → → →
− −
= = +∞ = = −∞
− −
Do đĩ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 
2 1 2 1lim lim 2; lim lim 2
1 1x x x x
x xy y
x x→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
− −
= = − = = −
− −
Do đĩ đường thẳng y = - 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 
0,25 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 1 +∞ 
( )'f x
 + + 
( )f x +∞ - 2 
- 2 −∞ 
0,25 
I 
(2,0 đ) 
Đồ thị: 
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; - 1) và cắt trục hồnh tại điểm 1 ;0
2
 
 
 
. 
Đồ thị cĩ tâm đối xứng là giao điểm I(1; - 2) của hai tiệm cận. 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0,25 
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
 - 3 - 
2. (1,0 điểm). 
- Phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại A là: 1y x= − hay 1 0x y− − = . 0,25 
- M là điểm cĩ hồnh độ lớn hơn 1 và thuộc đồ thị (C) 
0 0
0
1
; 2 , 1
1
M x x
x
 
⇒ − − > 
− 
( )( ) ( )
0
0
0
12 1
1
, ,
2
x
x
d M d d M Oy x
+ + −
−
= ⇔ = 
0,25 
2
0
0 0 0 0 0 0
0 0
11 2 2 2 2 ( 1)
1 1
 do x
x
x x x x x
x x
⇔ + + = ⇔ = ⇔ = − >
− −
0 2 2x⇔ = + . 
0,25 
Với ( )0 2 2 2 2; 1 2x M= + ⇒ + − − . 0,25 
1. (1,0 điểm) Giải phương trình: cos 2 sin 2 1 6 cos
4
x x x
pi 
− = − − 
 
 (1) 
TXĐ: D = ℝ 
( )
( )( ) ( ) ( )
2 2
2
cos sin 1 sin 2 3 2 cos
4
cos sin cos sin cos sin 3. cos sin
x x x x
x x x x x x x x
pi 
⇔ − = + − − 
 
⇔ + − = + − +
0,25 
( )( )cos s 3 2sin 0
cos s 0
3 2sin 0
inx
inx
x x
x
x
⇔ + − =
+ =
⇔ 
− =
0,25 
( )cos s 0 sin 0 , .
4 4
inxx x x k kpi pi + = ⇔ + = ⇔ = − + pi ∈ 
 
ℤ 
0,25 
( )
23 33 2sin 0 s
22 2
3
inx
x l
x l
x l
pi
= + pi
− = ⇔ = ⇔ ∈
pi
= + pi

ℤ 
Kết luận. 
0,25 
2. (1,0 điểm) . Giải hệ phương trình: ( )
2
2 2
2
2 (1)
11 3 (2)
x y y
x y
x
 + =


+ = −

 ( ),x y ∈ℝ . (I) 
II 
(2,0 đ) 
-Điều kiện xác định 0x ≠ 
(1) ( )2 221 2 1x y y x⇔ + = ⇔ = + 
- Thay 2
2
1
y
x
=
+
 vào (2) ta cĩ: ( )
2 2
22 2
1 4(2) 3 . 0
1
x x
x x
⇔ + − + =
+
 0,25 
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
 - 4 - 
( )
( )( )
( )
( )
( )
2 22 22
2 22 2
22 22
22
2 1 2 11 4 11 0 0
1 1
11
1
x x x xx
x x
x xx x
xx
x x
− − + +   
⇔ − + − = ⇔ − + =   
   + +
− −
⇔ = 
  +
0,25 
( )
2
22 2
1 0
1
x
x x
 − =
⇔
= +
4 2
1 1
1 0
 hoặc (thỏa mãn điều kiện)
x (phương trình vô nghiệm)
x x
x
= = −
⇔ 
+ + = 
0,25 
2
21 1
1
1 1
Với thì 
Với thì 
x y
x
x y
= = =
+
= − =
Hệ phương trình cĩ 2 nghiệm: ( )1;1 và ( )1;1− . 
0,25 
Cách khác: Điều kiện: 0x ≠ . Nhận thấy y = 0 khơng thỏa mãn hệ nên 
 (I)
( )
2
2
1 2
1 5
x
x xy
x xy
x

+ =

⇔ 
  + + =  
 ( ) ( )
2
2
4 5xy
xy
⇒ + =
1
1
2
2
xy
xy
xy
xy
=

= −⇔
 =

= −
0,5 
Với xy = 1 1 2 1 1x x y
x
⇒ + = ⇔ = ⇒ = . Hệ cĩ nghiệm (1; 1) 
Với xy = - 1 1 2 1 1x x y
x
⇒ + = − ⇔ = − ⇒ = . Hệ cĩ nghiệm (-1; 1) 
Với xy = 2 21 1 1 0x x x
x
⇒ + = ⇔ − + = ⇒Phương trình vơ nghiệm. 
Với xy = - 2 21 1 1 0x x x
x
⇒ + = − ⇔ + + = ⇒Phương trình vơ nghiệm. 
Vậy hệ (I) cĩ 2 nghiệm (1; 1) và (- 1; 1). 
0,5 
(1,0 điểm) 
( ) ( ) ( )1 12 2 2
0 0
1ln 4 1 ln 4 1 4 1
8
I x x dx x d x= + = + +∫ ∫ 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 2 2
0
11 4 1 ln 4 1 4 1 ln 4 1
08
x x x d x
 
= + + − + + 
 
∫ 
0,25 
( )1 2 2
0
1 85ln 5 4 1 .
8 4 1
x
x dx
x
 
= − + 
+ 
∫ =
1
0
5 ln 5
8
xdx− ∫ 
0,25 
III 
(1,0 đ) 
2 15 5 1ln 5 ln 5 .
08 2 8 2
x
= − = − 
0,25 
IV 
(1,0 đ) 
- Kẻ AH BC⊥ tại H ⇒H thuộc đoạn BC do 
 090BAC > . 
Theo tính chất của lăng trụ đứng thì ( )1 1BB ABC BB AH⊥ ⇒ ⊥ . 
Vậy ( )1 1AH BCC B⊥ ( )( )1 1,d A BCC B AH⇒ = . 
H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên mp ( )1 1BCC B 
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
 - 5 - 
⇒ B1H là hình chiếu vuơng gĩc của 
B1A trên mp(BCC1B1) 
nên gĩc giữa đường thẳng 1AB và 
mp ( )1 1BCC B , bằng gĩc giữa đường 
thẳng 1AB và 1B H , bằng gĩc 

 0
1 30AB H = ( vì 
 01 90AB H < trong 
1AB H△ vuơng tại H với 
1AH B H⊥ ). 
0,25 
2 2 2 0 2 2 222. . . 135 8 2. .2 2 13
2
osBC AB AC AB AC c a a a a a
 
= + − = + − − = 
 
13BC a⇒ = 
- Diện tích tam giác ABC là: 

 0 21 1
. .sin . .2 2.sin135
2 2ABC
S AB AC BAC a a a= = = . 
Mặt khác: 21 .
2ABC
S AH BC a= =
22 2
13
a aAH
BC
⇒ = = 
( )( )1 1 2, 13
ad A BCC B AH⇒ = = 
0,25 
Trong ∆ vuơng AB1H cĩ: 

1
1
2
413
1 13sin
2
a
AH aAB
AB H
= = = 
Trong ∆ vuơng ABB1 cĩ: 
2
2 2 2
1 1
16 3 39
13 13 13
a aBB AB AB a a= − = − = = 
0,25 
Thể tích khối lăng trụ 1 1 1.ABC A B C là: 
( )2 31 39 39. . 13 13ABC
aV S BB a a dvtt= = = . 
0,25 
 V 
(1,0 đ) 
-TXĐ: D = R 
- Nhận thấy ( ) ( )22 25 6 7 3 1 2 2x x x x+ + = + + + 
nên (1) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 3 1 1 2x x m x x⇔ + + + = + + 
do x = - 1 khơng là nghiệm của (1) nên 
2
2
2 1(1) 2. 3.
1 2
x x
m
x x
+ +
⇔ + =
+ +
. (1’) 
0,25 
A
B 
C 
C1 A1 
B1 
H
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
 - 6 - 
Đặt ( ) ( ) ( )32 2
1 2
'
2 2
x xf x t f x
x x
+ −
= = ⇒ =
+ +
( ) ( ) ( )' 0 2; l 1 ; l 1im im
x x
f x x f x f x
→+∞ →−∞
= ⇔ = = = − 
Ta cĩ bảng biến thiên: 
x −∞ 2 +∞ 
f’(x) 
 + 0 - 
t = f(x) 
6
2
1 
-1 
Dựa vào BBT ta cĩ 61;
2
t
 
∈ − 
 
0,25 
Khi đĩ phương trình (1’) cĩ dạng: 2 3t m
t
+ = (2) 
Xét hàm số ( ) 2 63 , 1;
2
g t t t
t
 
= + ∀ ∈ − 
 
( ) ( )
2
2
3 2 6 6
' ; ' 0 1;
3 2
tg t g t t
t
 
−
= = ⇔ = ± ∈ − 
 
( ) ( )
0 0
lim , lim
x x
g t g t
− +→ →
= −∞ = +∞ 
0,25 
Ta cĩ BBT: 
BBT ta thấy phương trình (2) cĩ nghiệm khi 2 6 2 6m m≤ − ∪ ≥ . 
0,25 
VI 1. (1 điểm). 
t 
f(t) 
f’(t) 
6 / 3− 
0 6 / 3 6 / 2 
2 6−
) 
-5 
−∞ 
13
6
-1 
2 6
) 
+∞ 
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
 - 7 - 
-Đường thẳng AB qua M và vuơng gĩc với MI 
nên nhận ( ) 11;1
4
n IM= =

 

làm véc tơ pháp tuyến 
⇒ phương trình (AB): 3 0x y+ − = 
Gọi ( )3 ;A a a− với 0a < (theo giả thiết). 
( )3;0M là trung điểm của AB nên ( ) ( )3 ; 2 ; 2B a a AB a a+ − ⇒ = −


 
0,25 
- Ta cĩ 4 2IM = ⇒ 2 8 2AD IM= = 
- 
16
. 2
8 2
SS AB AD AB
AD
= ⇒ = = = 
0,25 
2 2 2 2 1 12 2 4 4 2
4 2
AB AB a a a a= ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⇒ = ( do a < 0). 
⇒
7 1 5 1
; , ;
2 2 2 2
A B   −   
   
. 
0,25 
- Do I là trung điểm của AC và BD nên suy ra tọa độ các đỉnh C, D là : 
11 15 9 17
; , ;
2 2 2 2
C D   − − − −   
   
. Kết luận. 
0,25 
2. (1 điểm) 
- Mặt phẳng (P) cĩ véc tơ pháp tuyến ( )1;1; 2n = −
 
-Trục Oz cĩ véc tơ đơn vị ( )0;0;1k =
 
- Ta cĩ ( ), 1; 1;0 0n k  = − ≠ 

 
 

⇒ n


 và k


 là 2 véc tơ khơng cùng phương. 
0,25 
Theo giả thiết giá của 2 véc tơ n


 và k


 song song hoặc nằm trên mp (Q) nên mp 
(Q) nhận ( )1 1; 1;0n = −


 làm véc tơ pháp tuyến. 
- Phương trình mp (Q) cĩ dạng: 0, ( 0)x y d d− + = ≠ 
0,25 
- Do ( ) ( )( ) ( )( ) 1.0 1.0/ / , ,
2 2
d d
Oz Q d Oz Q d O Q − +⇒ = = = 
- theo giả thiết ( )( ), 2 2 2
2
d
d Oz Q d= ⇔ = ⇔ = ± 
0,25 
- Với ( )12 : 2 0d Q x y= ⇒ − + = 
- Với ( )22 : 2 0d Q x y= − ⇒ − − = . 
0,25 
Giải phương trình (1) ta được 2 nghiệm: 1 23 2 ; 3 2z i z i= + = − 0,5 
Với 1
1 1 17 13 4583 2 3 2 3 2
3 3 6 6 6 6
i
z z i A i i i
i
−
= = + ⇒ = + − = + − = + =
+
0,25 
Với 1
1 3 27 21 11703 2 3 2 3 2
3 10 10 10 10
i
z z i A i i i
i
+
= = − ⇒ = − − = − − = − =
−
0,25 
(2,0 đ) 
Kết luận 
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 
--------------- Hết -------------- 
A M B 
C D 
I 
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
 - 8 - 
www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com