www.VNMATH.com SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2014 MÔN: TOÁN; KHỐI: A - A1 - B - V (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề). Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số 3 2( 2) 4 3y x m x m (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với 1m . 2. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng 2 7y x cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt , ,A B C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại các điểm , ,A B C bằng 28. Câu 2(1,0 điểm). Giải phương trình 3 sin 7 2sin 4 sin3 cos 0x x x x . Câu 3(1,0 điểm). Giải phương trình 22 2 4 4 2 9 16x x x x . Câu 4(1,0 điểm). Tính tích phân 1 2 0 ( 2 1) 1 x x x x e x e I dx xe . Câu 5(1,0 điểm). Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a . Hình chiếu vuông góc của 'C lên mặt phẳng ( )ABC là điểm H thuộc cạnh BC thỏa mãn 2HC HB . Góc giữa hai mặt phẳng ( ' ')ACC A và ( )ABC bằng 060 . Tính thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C theo a và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AH và 'BB . Câu 6(1,0 điểm). Cho các số dương ,x y thỏa mãn 3x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 21 14 4 x y P x y y x . Câu 7(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh (3; 1)C . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , đường thẳng DM có phương trình là 1 0y . Biết đỉnh A thuộc đường thẳng 5 7 0x y và 0Dx . Tìm tọa độ các đỉnh A và D . Câu 8(1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm ( 4;1;2), (2; 3; 2), (5;0;2)A B C . Viết phương trình mặt cầu ( )S đi qua các điểm , ,A B C và có tâm thuộc mặt phẳng ( )Oxy . Câu 9(1,0 điểm). Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A. ----------------- Hết ---------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh: ............................................................ 1 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM - ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2014 MÔN: TOÁN; KHỐI: A (Đáp án - thang điểm gồm 06 trang) Câu Nội dung Điể m Câu 1.1 (1,0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2( 2) 4 3y x m x m với 1m . Với 1m , ta có hàm số 3 23 1y x x * Tập xác định: D R * Sự biến thiên: 2' 3 6y x x ; ' 0 0y x hoặc 2x 0,25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 2;+ . Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại D0; 1Cx y , đạt cực tiểu tại 2, 3CTx y - Giới hạn: lim ; lim x x y y 0,25 - Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị : Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;1) , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình 3 23 1 0x x '' 6 6; '' 0 1y x y x . Đồ thị nhận điểm 1; 1 làm tâm đối xứng. 0,25 Câu 1.2 (1,0đ) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng 2 7y x cắt đồ thị hàm số (1).. x 'y y 0 0 0 1 3 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 2 Gọi : 2 7d y x . Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) 3 2 3 2( 2) 4 3 2 7 ( 2) 2 4 4 0x m x m x x m x x m 2 2 2 2 0 (2) x x mx m . Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt , ,A B C khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2. Điều kiện cần và đủ là 2 4 2 2 8 8 0 0 4 2 2 1 2 4 0 12 2 m m m m m m m 0,25 Gọi các nghiệm của phương trình (2) là 1 2,x x . Khi đó hoành độ các giao điểm là 1 22, ,A B Cx x x x x . Hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại các điểm , ,A B C lần lượt là 2 2 1 1 1 2 2 2'(2) 4 4 ; '( ) 3 2( 2) ; '( ) 3 2( 2)A B Ck y m k y x x m x k y x x m x . Tổng các hệ số góc bằng 28 nên 2 21 1 2 228 4 4 3 2( 2) 3 2( 2) 28A B Ck k k m x m x x m x 0,25 2 2 1 2 1 24 4 3( ) 2( 2)( ) 28m x x m x x 2 1 2 1 2 1 24 4 3 ( ) 2 2( 2)( ) 28m x x x x m x x 2 2 64 4 3 2( 2 2) 2( 2) 28 4 12 0 2 m m m m m m m m m . 0,25 Kết hợp điều kiện (3) được 2m . 0,25 Câu 2 (1,0) Giải phương trình 3 sin 7 2sin 4 sin 3 cos 0x x x x 3 sin 7 2sin 4 sin 3 cos 0 3 sin 7 cos cos7 cos 0x x x x x x x x 0,25 3 1 3 sin 7 cos7 2cos sin 7 cos7 cos 2 2 x x x x x x 0,25 cos 7 cos 3 x x 0,25 7 2 3 18 3 , , 7 2 3 24 4 x x k x k k k x x k x k 0,25 3 Câu 3 (1,0đ) Giải phương trình 22 2 4 4 2 9 16x x x Điều kiện 2 4 0 2 2 2 0 x x x 22 2 4 4 2 9 16x x x 24(2 4) 16(2 ) 16 (2 4)(2 ) 9 16x x x x x 2 248 8 16 2(4 ) 9 16x x x 0,25 2 216 2(4 ) 8 9 32x x x 2 28 2 2(4 ) 9 32x x x (1) Xét trường hợp 2 2 4 2 2 2(4 ) 0 2 2(4 ) 3 x x x x x . Thay vào (1) không thỏa mãn. Xét trường hợp 2 4 2 2 2(4 ) 0 3 x x x 2 2 2 2 8 2 2(4 ) 2 2(4 ) (1) 9 32 2 2(4 ) x x x x x x x 2 2 22 2 2 2 8 8(4 ) 8 32 9 9 32 9 32 2 2(4 ) 2 2(4 ) x x x x x x x x x 2 2 2 2 9 32 0 8 89 32 1 0 1 02 2(4 ) 2 2(4 ) x x x x x x 0,25 Xét phương trình 2 2 32 4 2 9 32 0 9 3 x x x . Loại 4 2 3 x 0,25 Xét phương trình 2 2 2 8 1 0 2 2(4 ) 8 0 2 2(4 ) 8 2 2(4 ) x x x x x x . Do 2 2 8 0x x Phương trình 22 2(4 ) 8x x vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm 4 2 3 x . 0,25 Câu 4 (1,0đ) Tính tích phân 1 2 0 ( 2 1) 1 x x x x e x e I dx xe 1 1 1 12 0 0 0 0 ( 2 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x e x e xe xe x e xe xe x e I dx dx dx dx xe xe xe xe 1 1 0 0 ( 1) 1 x x x x e I xe dx dx xe 0,25 4 Xét 1 0 xM xe dx . Đặt x x u x du dx e dx dv v e 1 0 1 1 . 1 1 0 0 x x xM x e e dx e e e e 0,25 Xét 1 0 ( 1) 1 x x x e N dx xe . Đặt 1 ( ) ( 1)x x x xt xe dt e xe dx x e dx Đổi cận 0 1; 1 1x t x t e ; 1 1 1 ln ln( 1) ln1 ln( 1) 1 e edt N t e e t 0,25 Vậy 1 ln( 1)I e 0,25 Câu 5 (1,0đ) Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a .. Từ giả thiết có ' ( )C H ABC .Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AC . ( ' ) ' ' AC HK AC C HK AC C K AC C H . Góc giữa hai mặt phẳng ( ' ')ACC A và ( )ABC là góc 'C KH . Theogiả thiết có 0' 60C KH . 0,25 Trong tam giác vuông HKC có 0 0.sin 60 2 .sin 60 3HK HC a a Trong tam giác vuông 'C HK có 0 0' . tan 60 3 tan 60 3C H HK a a Diện tích tam giác ABC là 2 0 01 1 9 3. sin 60 3 .3 sin 60 2 2 4 ABC a S AB AC a a Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là 2 39 3 27 3 ' . 3 . 4 4 ABC a a V C H S a 0,25 B'A' A B C C' H K 5 Vì '// 'AA BB nên ( ', ) ( ', ) cos( ', ) cos 'BB AH AA AH BB AH A AH Trong tam giác AHB có 2 2 2 0 2 2 212 . .cos60 9 2.3 . . 7 7 2 AH AB BH AB BH a a a a a AH a . Trong tam giác vuông 'C HC có 2 2 2 2 2 2' 9 4 13 ' 13C C CH HC a a a C C a ' 13A A a . ' ( ) ' ( ' ' ') ' ' 'C H ABC C H A B C C H A C . Trong tam giác vuông ' 'A C H có 2 2 2 2 2 2' ' ' ' 9 9 18 ' 3 2A H C H A C a a a A H a . 0,25 Trong tam giác 'A AH có 2 2 2 2 2 2' ' 13 7 18 91 cos ' 2 ' . 912. 13. 7 A A AH A H a a a A AH A A AH a a Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng 'BB và AH bằng 91 91 . 0,25 Câu 6 (1,0đ) Cho các số dương ,x y thỏa mãn 3x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .. Ta chứng minh hai bất đẳng thức: 1) Với 0, 0a b thì 3 3 34 ( )a b a b Thật vậy 3 3 3 3 3 2 2 3 2 3 24 ( ) 3 3 3 3 0a b a b a b a b ab a a b b ab 2 2 2 2 2( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( ) ( ) 0a a b b b a a b a b a b a b . Dấu " " xảy ra khi 0a b . 2) 2 2 2 ( ) 2 a b a b . Dấu " " xảy ra khi a b . Áp dụng các bất đẳng thức trên có 3 33 2 2 32 1 1 1 1 4 4 2 ( ) 3( ) 6 3 ( ) 2 x y x y x y P x y y x y x x y x y x y P x y 0,25 Đặt t x y 32 3 6 3 2 t t t P t . Ta có : 2 2 2( )3 ( ) 4( ) 3 0 2 64 x yx y x y xy x y x y x y x y x y (Vì 0, 0x y ) Mặt khác 3 3x y xy x y (Vì 0, 0x y ). Vậy 2 3 2 3x y t . 0,25 6 Xét hàm số 32 3 6 ( ) , 2;3 3 2 t t t f t t t 22 2 2 3 6 6 3 1 '( ) 3 . 0, 2;3 3 (3 ) 2 t t t t f t t t t Vậy hàm số ( )f t đồng biến trên 2;3 2;3 min ( ) (2) 64 2f t f 0,25 64 2P . Dấu " " xảy ra khi 1 1 3 1 0, 0 x y y x x y xy x y x y Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 64 2 , đạt được khi 1x y . 0,25 Câu 7 (1,0đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh (3; 1)C . : 1 0DM y ( , ) 1 1 2d C DM Ta có ( , ) 1 ( , ) 2 ( , ) 4 ( , ) 2 d C DM IC MC d A DM d C DM d A DM IA DA 0,25 Điểm A thuộc đường thẳng 5 7 0x y nên ;5 7A a a 2 5 6 4 ( , ) 4 5 7 1 4 5 6 4 5 5 6 4 2 a a d A DM a a a a Với 2 ( 2; 3)a A . Với 2 2 ;5 5 5 a A . 0,25 Điểm ( 2; 3)A và (3; 1)C cùng phía so với đường thẳng : 1 0DM y nên loại điểm ( 2; 3)A . Vậy 2 ;5 5 A . 0,25 I M C A B D 7 2 ( ;1) ; 4 ; 3;2 5 D DM D x AD x CD x . Do 2 2 13 46 . 0 3 8 0 0 5 5 5 AD CD AD CD x x x x 2 2 5 13 46 0 223 5 x x x x x (Vì 0Dx ). Với 2 ( 2;1)x D (Nếu học sinh làm cả hai trường hợp thì cho 0,75 cả câu) 0,25 Câu 8 (1,0đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (4;1;2), (2; 3; 2), (5;0;2)A B C . Gọi I là tâm mặt cầu (S). Theo giả thiết ( ) ( ; ;0)I Oxy I x y . 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 (4 ) (1 ) 4 (2 ) ( 3 ) 4 (4 ) (1 ) 4 (5 ) 4 x y x yIA IB I A IC x y x y 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 (4 ) (1 ) 4 (2 ) ( 3 ) 4 (4 ) (1 ) 4 (5 ) 4 4 8 4 2 1 3 2 2 8 4 1 x y x y x y x y x y x y x x y x y y 0,25 Suy ra ( 3; 1;0)I . Vậy phương trình mặt cầu 2 2 2( 3) ( 1) 9x y z . 0,25 Câu 9 (1,0đ) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. .. Số phần tử không gian mẫu 527 80730n C . Gọi A là biến cố 5 học sinh chọn ra, lớp nào cũng có học sinh được chọn và số học sinh lớp A ít nhất là 2. Trường hợp 1: 5 học sinh chọn ra có 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B, 1 học sinh lớp C. Số cách chọn trường hợp này là 2 2 110 9 8 12960C C C . 0,25 Trường hợp 2: 5 học sinh chọn ra có 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B, 2 học sinh lớp C. Số cách chọn trường hợp này là 2 1 210 9 8 11340C C C . Trường hợp 3: 5 học sinh chọn ra có 3 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B, 1 học sinh lớp C. Số cách chọn trường hợp này là 3 1 110 9 8 8640C C C . 0,25 Vậy số khả năng thuận lợi của biến cố A là 12960 11340 8640 32940 . 0,25 Xác suất của biến cố A là ( ) 32940 122 ( ) 80730 299 n A p A n . 0,25
Tài liệu đính kèm: