Đề thi thpt quốc gia năm học 2015 ­ 2016 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA  NĂM HỌC 2015ư2016ưLẦN I 
Mụn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề. 
Cõu 1 (1,0 điểm). Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số = - + 3 2 3 2 y x x 
Cõu 2 (1,0 điểm).Tỡm cực trị của hàm số :  sin 2 2 y x x = - +  . 
Cõu 3 (1,0 điểm). 
a)  Cho  tan 3 = a  . Tớnh giỏ trị biểu thức 
3 3 
3sin 2cos 
5sin 4cos 
M 
- 
= 
+ 
a a 
a a 
b)  Tớnh giới hạn : 
2 3 
4 3 
lim 
9 x 
x x 
L 
x đ 
- - 
= 
- 
Cõu 4 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh :  2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 x x x x - + = 
Cõu 5 (1,0 điểm). 
a) Tỡm  hệ số của  10 x  trong khai triển của biểu thức : 
5 
3 
2 
2 
3x 
x 
ổ ử - ỗ ữ 
ố ứ 
. 
b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12  quả đỏ và  8  quả xanh. Lấy ngẫu nhiờn (đồng 
thời) 3quả. Tớnh xỏc suất để cú ớt nhất một quả cầu màu xanh. 
Cõu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho hỡnh bỡnh hành  ABCD  cú hai đỉnh 
( ) 2; 1 A - -  , ( ) 5;0 D  và cú  tõm ( ) 2;1 I  . Hóy xỏc  định  tọa độ hai đỉnh  , B C và gúc nhọn hợp bởi hai 
đường chộo của hỡnh bỡnh hành đó cho. 
Cõu 7 (1,0 điểm). 
Cho hỡnh chúp S.ABC  cú đỏy  ABC  là tam giỏc vuụng tại  A , mặt bờn  SAB  là tam giỏc đều và nằm 
trong  mặt  phẳng  vuụng  gúc  với  mặt  phẳng ( ) ABC  ,  gọi  M  là  điểm  thuộc  cạnh  SC  sao  cho 
2 MC MS =  . Biết  3, 3 3 AB BC = =  ,  tớnh  thể  tớch  của khối  chúp  S.ABC  và khoảng  cỏch  giữa hai 
đường thẳng  AC  và  BM . 
Cõu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho tam giỏc  ABC  ngoại tiếp đường trũn 
tõm ( ) 2;1 J  . Biết đường cao xuất phỏt từ đỉnh  A  của tam giỏc  ABC  cú phương trỡnh :  2 10 0 x y + - = 
và ( ) 2; 4 D -  là giao điểm thứ hai của  AJ với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc  ABC . Tỡm tọa độ cỏc 
đỉnh tam giỏc  ABC  biết  B  cú hoành độ õm  và  B  thuộc đường thẳng cú phương trỡnh  7 0 x y + + =  . 
Cõu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh : 
3 3 2 2 
3 2 
3 12 7 3 6 
2 4 4 2 
x y x y x y 
x y x y x y 
ỡ - + - + = - ù 
ớ 
+ + - = + - - ù ợ 
Cõu 10 (1,0 điểm).Cho hai phương trỡnh :  3 2 2 3 4 0 x x x + + + =  và  3 2 8 23 26 0 x x x - + - =  . 
Chứng minh rằng mỗi phương trỡnh trờn cú đỳng một nghiệm, tớnh tổng hai nghiệm đú. 
ưưưưưưưưHếtưưưưưưư 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh:.......; Số bỏo danh: 
TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA  LẦN I 
NĂM HỌC 2015ư2016 
Mụn: TOÁN ( Gồm 6 trang) 
Cõu  Đỏp ỏn  Điểm 
Cõu 1.Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số = - + 3 2 3 2 y x x  1,0 
Tập xỏc định:  D = Ă . 
Ta cú  2 3 6 y' x x. = -  ; 
0 
0 
2 
x 
y' 
x 
= ộ 
= Û ờ = ở 
0,25 
ư Xột dấu đạo hàm; Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ;0) -Ơ  và  (2; ) +Ơ  ; nghịch 
biến trờn khoảng  (0;2) . 
ư Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT =ư2. 
ư Giới hạn:  lim , lim 
x x 
y y 
đ+Ơ đ-Ơ 
= +Ơ = -Ơ 
0,25 
Bảng biến thiờn: 
x -Ơ  0                        2 +Ơ 
y'  +          0  ư  0              + 
y  2 +Ơ 
-Ơ  ư2 
0,25 
1 (1,0 đ)  Đồ thị: 
f(x)=(x^3)ư3*(x)^2+2 
ư8  ư6  ư4  ư2  2  4  6  8 
ư5 
5 
x 
y 
0,25 
Cõu 2 .Tỡm cực trị của hàm số :  sin 2 2 y x x = - +  .  1,0 
Tập xỏc định  D = Ă 
( ) ( ) 1 2cos 2 , 4sin 2 f x x f x x  Â = - =  0,25 
2 (1,0 đ) ( )  1 0 1 2cos 2 0 cos 2 , 
2 6 
f x x x x k k 
p  = Û - = Û = Û = ± + p ẻ  0,25
4sin 2 3 0 
6 3 
f k 
p p ổ ử ổ ử ÂÂ - + p = - = - < ị ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
hàm số đạt cực đại tại 
6 i 
x k 
p 
= - + p 
Với 
3 
2 , 
6 6 2 C 
y f k k k 
p p ổ ử = - + p = - + + + p ẻ ỗ ữ 
ố ứ 
D   
0,25 
4sin 2 3 0 
6 3 
f k 
p p ổ ử ổ ử ÂÂ + p = = > ị ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
hàm số đạt cực tiểu tại 
6 i 
x k 
p 
= + p 
Với 
3 
2 , 
6 6 2 C 
y f k k k 
p p ổ ử = + p = - + + p ẻ ỗ ữ 
ố ứ 
T   
0,25 
Cho  tan 3 = a  . Tớnh giỏ trị biểu thức 
3 3 
3sin 2cos 
5sin 4cos 
M 
- 
= 
+ 
a a 
a a 
0,5 
( ) ( ) 2 2 2 2 
3 3 
3sin sin cos 2cos sin cos 
5sin 4cos 
M 
+ - + 
= 
+ 
a a a a a a 
a a 
3 2 2 3 
3 3 
3sin 2sin cos 3sin cos 2cos 
5sin 4cos 
- + - 
= 
+ 
a a a a a a 
a a 
(chia tử và mẫu cho  3 cos a ) 
3 2 
3 
3 tan 2 tan 3tan 2 
5 tan 4 
- + - 
= 
+ 
a a a 
a 
0,25 
3.(1,0đ)  Thay  tan 3 = a  vào ta được 
3 2 
3 
3.3 2.3 3.3 2 70 
5.3 4 139 
M 
- + - 
= = 
+ 
0,25 
Lưu ý: HS cũng cú thể từ  tan 3 a =  suy ra  2 2 
2 
k k p p a p < < +  và 
1 3 
cos ; sin 
10 10 
a a = =  rồi thay vào biểu thức M. 
b) Tớnh giới hạn : 
2 3 
4 3 
lim 
9 x 
x x 
L 
x đ 
- - 
= 
-  0,5 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
2 
2 2 3 3 
4 3 4 3  4 3 
lim lim 
9 4 3 9 4 3 x x 
x x x x  x x 
L 
x x x x x x đ đ 
- - + - - + 
= = 
- + - - + - 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( ) 3 
1 3 1 1 
lim 
18 3 4 3 3 3 3 4.3 1 x 
x 
L 
x x x đ 
- - 
= = = 
+ + - + + -  0,25 
Cõu 4.Giải phương trỡnh :  2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 x x x x - + =  1,0 
4 .(1,0 đ)  Phương trỡnh ( ) 2 2 2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 sin cos x x x x x x Û - + = + 
2 2 sin 4sin cos 3cos 0 x x x x Û - + = 
0,25 
( ) ( ) sin cos sin 3cos 0 sin cos 0 sin 3cos 0 x x x x x x x x Û - - = Û - = Ú - =  0,25 
tan 1 tan 3 arctan3 , 
4 
x x x k x k k 
p 
Û = Ú = Û = + p Ú = + p ẻZ  0,25 
Vậy phương trỡnh cú hai họ nghiệm:  , arctan 3 , 
4 
x k x k k 
p 
= + p = + p ẻZ  0,25 
a) Tỡm  hệ số của số hạng chứa  10 x  trong khai triển của biểu thức : 
5 
3 
2 
2 
3x 
x 
ổ ử - ỗ ữ 
ố ứ 
.  1,0 
( ) ( ) 
5  5 5 5 
3 3 5 15 5 
5 5 2 2 
0 0 
2 2 
3 3 . 1 3 .2 
k k 
k k k k k k 
k k 
x C x C x 
x x 
- 
- - 
= = 
ổ ử ổ ử - = - = - ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
ồ ồ  0,25 
Hệ số của của số hạng chứa  10 x  là  5 5 ( 1) 3 2 , 
k k k k C - -  với 15 5 10 1 k k - = Û = 
Vậy hệ số của  10 x  là : ( ) 1 1 4 1 5  1 3 2 810 C - = - 
0,25
5 (1,0 đ)  b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12  quả đỏ và  8  quả xanh. Lấy ngẫu 
nhiờn3quả. Tớnh  xỏc  suất để  trong 3 quả cầu chọn  ra cú  ớt nhất một quả cầu màu 
xanh. 
Số phần tử của khụng gian mẫu là ( )  3 20 n C W = 
GọiA là biến cố “Chọn được ba quả cầu  trong đú cú ớt nhất một quả cầu màu xanh” 
0,25 
Thỡ A là biến cố “Chọn được ba quả cầu  màu đỏ” ( ) ( ) 
3 
3  12 
12  3 
20 
C 
n A C P A 
C 
ị = ị = 
Vậy xỏc suất của biến cố A là ( ) ( ) 
3 
12 
3 
20 
46 
1 1 
57 
C 
P A P A 
C 
= - = - = 
0,25 
Cõu 6 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho hỡnh bỡnh hành  ABCD  cú hai 
đỉnh ( ) 2; 1 A - -  , ( ) 5;0 D  và cú tõm ( ) 2;1 I  . Hóy xỏc định tọa độ hai đỉnh  , B C và 
gúc nhọn hợp bởi hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành đó cho. 
1,0 
Do  I  là trung điểm  BD . Suy ra ( ) 
2 4 5 1 
1;2 
2 2 0 2 
B I D 
B I D 
x x x 
B 
y y y 
= - = - = - ỡ 
ị - ớ = - = - = ợ 
0,25 
6 .(1,0 đ)  Do  I  là trung điểm  AC . Suy ra ( ) 
2 4 2 6 
6;3 
2 2 1 3 
C I A 
C I A 
x x x 
C 
y y y 
= - = + = ỡ 
ị ớ = - = + = ợ 
0,25 
Gúc nhọn ( ) , AC BD a =  . Ta cú ( ) ( ) 8;4 , 6; 2 AC BD = = - 
uuur uuur 
0,25 
( )  48 8 2 cos cos , 45 
2 4 5.2 10 
AC BD 
AC BD 
AC BD 
ì - 
a = = = = ị a = o 
uuur uuur uuur uuur 
uuur uuur  0,25 
Cõu 7 . Cho hỡnh chúp S.ABC  cú đỏy  ABC  là tam giỏc vuụng tại  A , mặt bờn  SAB 
là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng ( ) ABC  , gọi  M 
là điểm thuộc cạnh SC  sao cho  2 MC MS =  . Biết  3, 3 3 AB BC = =  , tớnh thể tớch 
của khối chúp S.ABC  và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng  AC  và  BM . 
1,0 
Gọi  H là trung điểm  AB SH AB ị ^  ( do 
SAB D  đều). 
Do ( ) ( ) ( ) SAB ABC SH ABC ^ ị ^ 
Do  ABC D  đều  cạnh bằng  3 
nờn  2 2 
3 3 
S , 3 2 
2 
H AC BC AB = = - = 
K 
N  M 
H 
C 
B 
A 
S 
0,25 
3 
. 
1 1 3 6 9 6 
3 6 12 4 S ABC ABC 
V SH S SH AB AC ị = ì ì = ì ì ì = =  (đvtt)  0,25 
7. (1,0 đ)  Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt  SA  tại ( ) || || N AC MN AC BMN ị ị 
( ) , AC AB AC SH AC SAB ^ ^ ị ^  , ( ) ( ) || AC MN MN SAB MN SAB ị ^ ị ^ 
( ) ( ) BMN SAB ị ^  theo giao tuyến  BN . 
Ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) || , , , AC BMN d AC BM d AC BMN d A BMN AK ị = = =  với  K 
là hỡnh chiếu của  A  trờn  BN 
0,25 
2 2 2 2 3 3 3 3 
3 3 3 4 2 ABN SAB 
NA MC 
S S 
SA SC 
= = ị = = ì =  (đvdt) và 
2 
2 
3 
AN SA = =  0,25
2 2 0 2A . .cos60 7 BN AN AB N AB = + - = 
3 3 
2 2S  3 21 2 
7 7 
ABN AK 
BN 
ì 
ị = = = 
Vậy ( )  3 21 d , 
7 
AC BM =  (đvđd) 
Lưu ý: Việc tớnh thể tớch, học sinh cũng cú thể giải quyết theo hướng  ( ) CA SAB ^ 
và  . . S ABC C SAB V V = 
Cõu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho tam giỏc  ABC  ngoại tiếp đường 
trũn  tõm ( ) 2;1 J  . Biết đường cao xuất phỏt từ đỉnh  A  của tam giỏc  ABC  cú phương 
trỡnh :  2 10 0 x y + - =  và ( ) 2; 4 D -  là giao điểm thứ hai của  AJ với đường trũn ngoại 
tiếp tam giỏc  ABC . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc  ABC  biết  B  cú hoành độ õm  và 
B  thuộc đường thẳng cú phương trỡnh  7 0 x y + + =  . 
1,0 
AJ đi qua ( ) 2;1 J  và ( ) 2; 4 D -  nờn cú 
phương trỡnh  : 2 0 AJ x - = 
{ }  , A AJ AH = ầ  ( trong đú  H  là chõn 
đường cao xuất phỏt từ đỉnh  A ) 
Tọa độ  A  là nghiệm của hệ 
( ) 
2 0 2 
2;6 
2 10 0 6 
x x 
A 
x y y 
- = = ỡ ỡ 
Û ị ớ ớ + - = = ợ ợ 
0,25 
8 .(1,0 đ)  Gọi  E  là giao điểm thứ hai của  BJ  với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc  ABC . 
Ta cú  ằ ằ DB DC DB DC = ị =  và  ằ ằ EC EA = 
ã  1 
2 
DBJ =  (sđ ằ EC + sđ ằ DC )= 1 
2 
(sđ ằ EA + sđ ằ DB )= ã DJB DBJ ị D  cõn tại  D ị 
DC DB DJ = =  hay  D  là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc  JBC 
Suy  ra  , B C  nằm  trờn  đường  trũn  tõm ( ) 2; 4 D -  bỏn  kớnh  2 2 0 5 5 JD = + =  cú 
phương trỡnh ( ) ( ) 2 2 2 4 25 x y - + + =  . Khi đú tọa độ  B  là nghiệm của hệ 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
2 2  3; 4 3 2 2 4 25 
4 9  2; 9 7 0 
B x x x y 
y y  B x y 
ỡ - - ộ = - = ỡ ỡ - + + = ù Û Ú ị ờ ớ ớ ớ = - = - - + + = ợ ợ ờ ù ở ợ 
Do  B  cú hoành độ õm  nờn ta được ( ) 3; 4 B - - 
0,25 
( ) ( ) 
( ) 
3; 4 3; 4 
: : 
1; 2 AH 
qua B qua B 
BC BC 
vtpt n u AH 
- - ỡ - - ỡ ù ù ị ớ ớ 
= = - ^ ù ù ợ ợ 
r r  : 2 5 0 BC x y ị - - = 
Khi đú tọa độ C  là nghiệm của hệ 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
( ) 
2 2  3; 4 3 5 2 4 25 
5;0 
4 0  5;0 2 5 0 
C B x x x y 
C 
y y  C x y 
ỡ - - º ộ = - = ỡ ỡ - + + = ù Û Ú ị ị ờ ớ ớ ớ = - = - - = ợ ợ ờ ù ở ợ 
Vậy ( ) ( ) ( ) 2;6 , 3; 4 , 5;0 A B C - - 
0,25 
Cõu 9. Giải hệ phương trỡnh : 
( )
( ) 
3 3 2 2 
3 2 
3 12 7 3 6 1 
2 4 4 2 2 
x y x y x y 
x y x y x y 
ỡ - + - + = - ù 
ớ 
+ + - = + - - ù ợ 
1,0 
Điều kiện : 
2 0 2 
4 0 4 
x x 
y y 
+ ³ ³ - ỡ ỡ 
Û ớ ớ - ³ Ê ợ ợ 
0,25 
H 
E 
J  I
D 
C B 
A
Từ phương trỡnh ( ) 1  ta cú ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 1 2 1 3 x y x y y x - = - Û - = - Û = + 
9 .(1,0 đ)  Thay ( ) 3  vào ( ) 2  ta được pt: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 1 1 4 2 1 x x x x x x + + - + = + + - - + 
Û  3 2 2 3 4 1 x x x x x + + - = + - -  , Đ/K  2 3 x - Ê Ê 
0,25 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
3 2 2 
2 2 3 2 
2 3 3 4 4 1 4 
2 3 3 
x x 
x x x x x x x 
x x 
+ - - 
Û + + - - = + - - Û = + - 
+ + - + 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
2 
2 2 3 4 
1 4 
2 3 3 2 3 2 
x x 
x x 
x x x x 
+ - - ộ ự ở ỷ Û = + - 
+ + - + + - + 
( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 
2 
2 
2 2 
2 2 
2 3 3 2 3 2 
x x 
x x x 
x x x x 
- + + 
Û = + - - 
+ + - + + - + 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
2 
0 
2 
2 2 0 
2 3 3 2 3 2 
x x x 
x x x x 
> 
ổ ử 
ỗ ữ 
ỗ ữ Û - - + + = ỗ ữ + + - + + - + ỗ ữ 
ỗ ữ 
ố ứ 
144444444424444444443 
2  2 0 2 1 x x x x Û - - = Û = Ú = - 
ã ( ) ( ) ( ) 3 2 3 ; 2;3 x y x y = ắắđ = ị =  ( thỏa món đ/k) 
ã ( ) ( ) ( ) 3 1 0 ; 1;0 x y x y = - ắắđ = ị = -  ( thỏa món đ/k) 
Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2;3 , ; 1;0 x y x y = = - 
0,25 
Cõu10.Chohai phương trỡnh:  3 2 2 3 4 0 x x x + + + =  và  3 2 8 23 26 0 x x x - + - =  .Chứng 
minh rằng mỗi phương trỡnh trờn cú đỳng một nghiệm, tớnh tổng hai nghiệm đú 
1,0 
ã  Hàm số ( )  3 2 2 3 4 f x x x x = + + +  xỏc định và liờn tục trờn tập Ă 
Đạo hàm ( ) ( ) 2 3 2 3 0, f x x x x f x  = + + > " ẻ ị Ă  đồng biến trờn Ă ( ) * 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 . 0 40 .4 160 0 4;0 : 0 ** f f a f a - = - = - < ị $ ẻ - = 
Từ ( ) *  và ( ) **  suy ra  phương trỡnh 
3 2 2 3 4 0 x x x + + + =  cú một nhiệm duy nhất  x a = 
0,25 
10.(1,0đ) ã  Tương tự phương trỡnh 
3 2 8 23 26 0 x x x - + - =  cú một nhiệm duy nhất  x b =  0,25 
Theo trờn :  3 2 2 3 4 0 a a a + + + = ( ) 1 
Và ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 8 23 26 0 2 2 2 3 2 4 0 2 b b b b b b - + - = Û - + - + - + = 
Từ ( ) 1  và ( ) 2 ị ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 4 2 2 2 3 2 4 3 a a a b b b + + + = - + - + - + 
0,25 
Theo trờn hàm số ( )  3 2 2 3 4 f x x x x = + + +  đồng biến  và liờn tục trờn tập Ă 
Đẳng thức ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 f a f b a b a b Û = - Û = - Û + = 
Vậy tổng hai nghiệm của hai phương trỡnh đú bằng  2 . 
0,25 
Lưu ý khi chấm bài: 
ư Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một cỏch giải bao gồm cỏc ý bắt buộc phải cú trong bài làm của học sinh. Khi chấm 
nếu học sinh bỏ qua bước nào thỡ khụng cho điểm bước đú. 
ư Nếu học sinh giải cỏch khỏc, giỏm khảo căn cứ cỏc ý trong đỏp ỏn để cho điểm. 
ư Trong bài làm, nếu ở một bước nào đú bị sai thỡ cỏc phần sau cú sử dụng kết quả sai đú khụng được điểm. 
ư Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
ư Trong lời giải cõu 7 nếu học sinh khụng vẽ hỡnh thỡ khụng cho điểm. 
ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn.