Đề thi thpt quốc gia năm 2016 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) môn toán

 1 
SỞ GDĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI DIỄN TẬP THPT QUỐC GIA NĂM 2016 
TRƯỜNG THPT CHUYấN 
NGUYỄN QUANG DIấU 
MễN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) 
Ngày Thi: 17/06/2016 
Cõu 1 (1,0 điểm). Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số 4 22 4.y x x   
Cõu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số 3 23 1y x x   cú đồ thị ( ).C Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ( )C tại điểm 
cú tung độ bằng 1. 
Cõu 3 (1,0 điểm). 
 a) Cho số phức z thỏa món điều kiện (1 2 ) (3 2 ) 4 10 .i i iz z     Tỡm mụđun của số phức 2 .w z z  
 b) Giải phương trỡnh 2 327 5.3 4.x x  
Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
2
1
(2 )x xI e e x dx  
Cõu 5 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai điểm (7; 2; 1), ( 5; 4; 3)A B    và mặt 
phẳng ( ) :3 2 6 38 0.P x y z    
 a) Viết phương trỡnh mặt cầu ( )S cú đường kớnh AB. 
 b) Chứng minh ( )P tiếp xỳc với mặt cầu ( )S . 
Cõu 6 (1,0 điểm). 
 a) Cho gúc thỏa cot 2.  Tớnh giỏ trị của biểu thức 
3 3
cos
cos 2sin
P

 
 

 b) Tỡm hệ số của số hạng chứa 7x trong khai triển 
11
2 2( ) ( 0).A x x x
x
 
   
 
Cõu 7 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp .S ABCDcú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a ; 
o
;60BCD  SA vuụng 
gúc với mặt phẳng ( ),ABCD hai mặt phẳng ( )SCB và ( )SCD vuụng gúc với nhau. Tớnh thể tớch khối chúp 
.S ABCDvà khoảng cỏch từ C đến mặt phẳng ( )SBD theo a . 
Cõu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hỡnh chữ nhật , (2; 2), 3 ,ABCD A BC BA 
trọng tõm của tam giỏc ABC là
10
0; 
3
G
 
 
 
.Tỡm tọa độ cỏc đỉnh cũn lại của hỡnh chữ nhật ABCD biết rằng 
đỉnh B cú hoành độ dương, đường trung tuyến kẻ từ B của tam giỏc ABD cú hệ số gúc nhỏ hơn 1. 
Cõu 9 (1,0 điểm). Tỡm m để hệ sau cú hai nghiệm phõn biệt: 
 
4 4
2
22 ( 2 5)
1
log ( 1) log ( 1)
2
log 2 5 log 2 5
x x
x x
x x m
 

   

    

2 
Cõu 10 (1,0 điểm). Cho , ,x y z là cỏc số thực dương thỏa món 2 2 22 2(1 ).x y z xy    Tỡm giỏ trị nhỏ 
nhất của biểu thức  
2 2
2 2 2 2 ( ) 25 ( 2 )
2
x y z
P x y z x y z
 
        
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm 
Đề chớnh thức 
(Đề thi gồm 01 trang) 
 2 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP 
TRƯỜNG THPT CHUYấN NGUYỄN QUANG DIấU 
ĐÁP ÁN TOÁN THI DIỄN TẬP TRUNG HỌC PHỔ THễNG QUỐC GIA NĂM 2016 
NGÀY 17/06/2016 
I) HƯỚNG DẪN CHUNG. 
1) Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn nhưng vẫn đỳng thỡ cho đủ số điểm 
từng phần như thang điểm quy định. 
 2) Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 điểm. (sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyờn kết quả) 
II) Đỏp ỏn và thang điểm: 
Cõu 1 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số 4 22 4.y x x   
Tập xỏc định . 
Chiều biến thiờn: 
 - Ta cú 24 ( 1); 0 0     y x x y x hoặc 1. x 
 - Hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng ( ; 1)  và (0;1). 
 - Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng ( 1; 0) và (1; ). 
0.25 
 Cực trị: 
 - Hàm số đạt cực tiểu tại 1, ( 1) 3.    CTx y y 
 - Hàm số đạt cực đại tại 0, (0) 4.  x y yCẹ 
 Cỏc giới hạn tại vụ cực: lim ; lim
 
   
x x
y y 
0.25 
Bảng biến thiờn 
x  1 0 1  
y'  0  0  0  
y 
  4  
 3 3 
0.25 
Đồ thị hàm số : Đồ thị qua cỏc điểm 
1 31
93
 
  
 
; , ( 2; 12), (2; 12).A B C 
0.25 
Cõu 2 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
Cho hàm số 3 23 1y x x   cú đồ thị ( ).C Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ( )C tại điểm cú 
tung độ bằng 1. 
Hoành độ ox của tiếp điểm M là nghiệm của PT 
3 2 3 2
o o o o3 1 1 3 0x x x x      
o o0; 3.x x   
0.25 
Suy ra hệ số gúc của tiếp tuyến là (0) 0, (3) 9y y   (với 23 6y x x   ) 0.25 
 0 y
x11
4
3
O
 3 
PT tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại (0; 1)M là 1.y  0.25 
PT tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại (3; 1)M là 9 26.y x  0.25 
Cõu 3 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
a) Cho số phức z thỏa món điều kiện (1 2 ) (3 2 ) 4 10 .i i iz z     Tỡm mụđun của số 
phức 2w z z  . 
Đặt ( , ) .z a bi a b z a bi      
Ta cú (1 2 ) (3 2 ) 4 10i i iz z      (1 2 )( ) (3 2 )( ) 4 10i a bi i a bi i       
4 (4 2 ) 4 10a a b i i    
4 4 1
.
4 2 10 3
a a
a b b
  
  
    
Do đú 1 3 .z i  
0.25 
Ta cú 2 1 3 2(1 3 ) 3 3i.w z z i i        Suy ra mụđun của w là 
2 23 3 3 2.w    
0.25 
b) Giải phương trỡnh 2 327 5.3 4.x x  
 Ta cú  
22 3
.
45
27 5.3 4 27 4 27 4 27 45 0
27
x x x x x
x
         
Đặt 27 ( 0)xt t  ta được 2 4 45 0t t   
0.25 
9t  hoặc 5t  (loại) 
3 2 23 3 3 2
3
x x x       
Vậy PT đó cho cú nghiệm là 
2
3
x   
0.25 
Cõu 4 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
Tớnh tớch phõn 
2
1
(2 )x xI e e x dx  
Ta cú 
2 2
1 1
2 .xI dx xe dx J K     0.25 
2
1
2
1
2 (2 ) 2.J dx x   0.25 
 
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
(2 ) (2 ) .x x x xK xe dx xe e dx e e e e e e e e            0.25 
Vậy 22I J K e     0.25 
Cõu 5 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
Trong khụng gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai điểm (7; 2; 1), ( 5; 4; 3)A B    và mặt phẳng 
( ) :3 2 6 38 0.P x y z    
a) Viết phương trỡnh mặt cầu ( )S cú đường kớnh AB. 
b) Chứng minh ( )P tiếp xỳc với mặt cầu ( )S . 
a) Mặt cầu ( )S cú tõm (1; 1; 1),I   bỏn kớnh 7.R IA  0.25 
Phương trỡnh mặt cầu 2 2 2( ) : ( 1) ( 1) ( 1) 49.S x y z      0.25 
b) Ta cú khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng ( )P là 
2 2 2
3.1 2( 1) 6( 1) 38
( ;( )) 7.
3 ( 2) ( 6)
d I P
    
 
   
 0.25 
Vỡ ( ;( ))d I P R nờn suy ra ( )P tiếp xỳc ( ).S 0.25 
Cõu 6 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm a) Cho gúc thỏa cot 2.  Tớnh giỏ trị của biểu thức 
3 3
cos
cos 2sin
P

 
 

 4 
Do cot 2 sin 0,    ta cú 
23
3 3 3
3 3
cos
cot (1 cot )sin
cos 2sin cot 2
sin sin
P

 
  
 

 


 0.25 
Thay cot 2  vào P được 1.P  0.25 
b) Tỡm hệ số của số hạng chứa 7x trong khai triển 
11
2 2( ) ( 0).A x x x
x
 
   
 
Ta cú    
11 11 1111
2 2 1 22 3
11 11
0 0
2
( ) 2x .( 2) . .
k k
k k k k
k k
A x x C x C x
x

 
 
 
      
 
  0.25 
Tỡm k sao cho 22 3 7 5.k k    
Vậy hệ số của số hạng chứa 7x là 5 511.( 2) 14784.C    
0.25 
Cõu 7 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
Cho hỡnh chúp .S ABCDcú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a ; 
o
;60BCD  SA vuụng gúc với 
mặt phẳng ( ),ABCD hai mặt phẳng ( )SCB và ( )SCD vuụng gúc với nhau. Tớnh thể tớch khối 
chúp .S ABCDvà khoảng cỏch từ C đến mặt phẳng ( )SBD theo a . 
Theo giả thiết ABCD là hỡnh thoi cạnh a và o60BCD BCD  đều và diện tớch 
hỡnh thoi ABCD là 
2 3
2BCD
a
S   
0.25 
Ta cú ( ) .
BD AC
BD SAC BD SC
BD SA

   

Gọi ,O AC BD  trong ( )SAC kẻ ,OM SC M SC  
( ).SC MBD  
Do đú BMD là gúc giữa (SCB) và (SCD) 
o 190
2 2
a
BMD OM BD      
Ta thấy 
SAC ∽
SA AC
OMC
OM MC
   
2 2 2 2
3.
. 62
23
4 4
a
a
AC OM a
SA
OC OM a a
    


Thể tớch khối chúp cần tỡm là 
31 2
.
3 4ABCD
a
V SA S    
0.25 
Ta cú O là trung điểm của AC nờn ( , ( )) ( , ( ))d C SBD d A SBD 
Trong (SAC), kẻ ,AH SO H SO  mà AH BD nờn ( )AH SBD 
( , ( ))AH d A SBD  
0.25 
Trong tam giỏc SAO vuụng tại A cú 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 4 2
3 3AH AS AO a a a
     
2
a
AH  Vậy khoảng cỏch từ C đến mặt phẳng (SBD) là 
2
a
 
0.25 
Cõu 8 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hỡnh chữ nhật , (2; 2), 3 ,ABCD A BC BA 
S
A
H
B
O
M
C
D
 5 
trọng tõm của tam giỏc ABC là
10
0; 
3
G
 
 
 
.Tỡm tọa độ cỏc đỉnh cũn lại của hỡnh chữ 
nhật ABCD biết rằng đỉnh B cú hoành độ dương, đường trung tuyến kẻ từ B của tam giỏc 
ABD cú hệ số gúc nhỏ hơn 1. 
Cỏch 1. 
Gọi N là trung điểm của .BC Ta cú 2 ( 1; 4).AG GN N   
Gọi M là trung điểm của ,AD I là trung điểm của .BM Khi đú 
I là trung điểm của .AN Suy ra
1
; 3
2
I
 
 
 
0.25 
Gọi ( )C là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ( )ABN . 
PT đường trũn 
2
2 21 13( ) : ( 3)
2 4
C x y AI
 
      
 
0.25 
Gọi ( ; )B a b ,ta cú 
   
2
2
2 2 2 2
2 2
2
1 13
( 3)( ) ( )
2 4
3 2 3
4 ( 1) ( 4) 9 ( 2) ( 2)
2
4
2 26 6 0
232 2
 1313 68 64 03
16
13
a bB C B C
BC BA BN BA
a b a b
a
b
ba b a b a
ab
a
b b
b
 
          
    
   
      
 

                      
 



Theo giả thiết đường thẳng BM cú hệ số gúc nhỏ hơn 1 nờn chọn (2; 4).B 
0.25 
Với (2; 4)B và trung điểm ( 1; 4)N  ta suy ra ( 4; 4).C  
Từ ( 4; 2).AB DC D   
Vậy cỏc đỉnh cũn lại cần tỡm của hỡnh chữ nhật ABCD là (2; 4), ( 4; 4), ( 4; 2).B C D  
0.25 
Cỏch 2. 
Gọi N là trung điểm của .BC Ta cú 2 ( 1; 4).AG GN N   
Suy ra PT : 2 3 10 0.AN x y   
Gọi M là trung điểm của ,AD I là trung điểm của .BM Khi đú 
I là trung điểm của .AN Suy ra
1
; 3
2
I
 
 
 
0.25 
Đặt
2 2 13
2 6
2 2 2
AN AB BN m
BA m BC m IA IB

         
Ta cú 
2 2 2
5
cos( , ) cos
2 . 13
IB IA AB
BM AN BIA
IB IA
 
    
0.25 
Gọi  2 21: ( 3) 0 0 .
2
BM a x b y a b
 
      
 
Ta cú 2 2
2 2
2 35 5
cos( , ) 27 156 92 0 (*)
13 1313.
a b
BM AN a ab b
a b

      

Với 20 27 0 0b a a     (loại) 
Với 0,b  chia hai vế của PT (*) cho 2b ta được 
0.25 
A B
CD
NM
I
G
 6 
2
2
3
27 156 92 0
46
9
a
a a b
ab b
b

    
       
      

Theo giả thiết đường thẳng BM cú hệ số gúc 1
a
k
b
   nờn : 2 3 8 0.BM x y   
Do
2 8
; .
3
t
B BM B t
 
   
 
Ta cú
2 2
1 2 8 13
3
2 3 4
t
IB IA t
   
        
   
213 13 26 0t t    
2 (2; 4)
1 ( 1; 2) ( )
t B
t B
 
      loaùi
Với (2; 4)B và trung điểm ( 1; 4)N  ta suy ra ( 4; 4).C  
Từ ( 4; 2).AB DC D   
Vậy cỏc đỉnh cũn lại cần tỡm của hỡnh chữ nhật ABCD là (2; 4), ( 4; 4), ( 4; 2).B C D  
0.25 
Cõu 9 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
Tỡm m để hệ sau cú hai nghiệm phõn biệt: 
 
4 4
2
22 ( 2 5)
1
log ( 1) log ( 1)
2
log 2 5 log 2 5 (2)
x x
x x
x x m
 

   

    

 (1) 
2 
Ta cú
4 4
1
(1) 1
log log 2
1
x
x
x


   
   
1
1 3.1
2
1
x
xx
x


   
 
 0.25 
Hệ đó cho cú hai nghiệm phõn biệt (2) cú hai nghiệm phõn biệt thỏa1 3.x  
Đặt    2 22 2log 2 5 log ( 1) 4t x x x      
Với (1; 3)x thỡ (2; 3).t 
PT(2) trở thành 2
2
5 5 2
m
t t t m
t
      (* ) 
0.25 
Xột hàm số 2( ) 5f t t t  trờn khoảng (2; 3); cú
5
( ) 2 5, ( ) 0
2
f t t f t t       
Lập bảng biến thiờn 
t 2 
5
2
 3 
( )f t  0  
( )f t 
 6 6 
25
4
 
0.25 
Dựa vào bảng biến thiờn và cỏch đặt t ở trờn ta thấy: 
Hệ đó cho cú hai nghiệm phõn biệt  (*) cú hai nghiệm phõn biệt (2; 3)t 
25 25
2 6 3
4 8
m m         
0.25 
Cõu 10 Đỏp ỏn Điểm 
1 điểm 
Cho là cỏc số dương thỏa món 2 2 22 2(1 ) (*).x y z xy    Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
 
2 2
2 2 2 2 ( ) 25 ( 2 )
2
x y z
P x y z x y z
 
       
Từ    
2 22( ) 2 2 0x y x z y z      suy ra 2 2 2 2( 2 ) 4( )x y z x y z     (1) 0.25 
 7 
Mặt khỏc 
 2 2 22 2 2 2 22 2( ) 2
2 2
x y zx y z
x y z
  
    (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 2 2 .P x y z x y z      
0.25 
Lại đặt 2 2 2,t x y z  
2 2( ) 2
1
2
x y z
t
 
  (do (*)) 
Ta được .P t t  Xột hàm số ( )f t t t  với 1.t  Ta cú 
1
( ) 1 0
2
f t
t
    với mọi 
1,t  nờn hàm số ( )f t đồng biến trờn [1; ).  Suy ra ( ) (1) 0f t f  0.P  
0.25 
Do đú GTNN của P là 0, đạt được khi 
2 2 2 11
2
0 2
2
2
x yx y z
z
x y
z

      
 
     
 0.25